矩形中“十字”模型初探-初中-数学-论文

矩形中“十字”模型初探高群西安滨河学校摘要：矩形十字架模型是数学平面几何中一个重要的解题模型，广泛应用于特殊四边形（如矩形、正方形）中的翻折、相似和全等等问题。本文旨在探讨矩形十字架模型的基本性质、常见类型、应用技巧以及在教学中的实践意义。通过具体例题分析，展示该模型在解题中的灵活性和有效性，为学生提供一套系统的解题思路和方法。关键词：初中数学十字模型思维方向数学思想2022版课标提出核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段有不同的表现，因此，2022年版数学课程将之前的“模型思想”细化成“模型意识”与“模型观念”。根据学生的认知水平及学习内容，使得中小学不同年龄段所侧重的方向各不相同。其中小学更侧重于培养学生的“模型意识”，更侧重对数学模型的初步的感悟、运用，而初中阶段侧重于培养学生的“模型观念”，二者在义务教育阶段，均是数学语言的主要表现之一。矩形十字架模型是数学平面几何中一个重要的解题模型，具有广泛的应用价值。通过本文的探讨，我们深入了解了该模型的基本性质、常见类型和应用技巧。在教学实践中，教师应注重引导学生经历模型提炼、演变、运用和拓展的全过程，培养学生的逻辑思维能力和解题能力。同时，还应鼓励学生积极探索和发现新的应用实例，以拓展模型的应用范围和教学价值。本文初步探索矩形中十字模型，抛砖引玉，期待提升学生学会自主探索数学常用模型的的能力。模型发现：(课本习题改编）如图（1）在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有-一点E，若CE⊥BD，则模型证明：【分析】根据矩形的性质可得∠BCD＝∠CDE＝90°，再根据同角的余角相等可得∠DBC＝∠ECD．进而可得△CBD∽△DCE，由此可以求出的值．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝∠ECB+∠ECD＝90°，则∠DBC＝∠ECD，∴△CBD∽△DCE，模型总结：在矩形相对两边上的任意两点联结的线段若互相垂直，此时这两条线段的比等于矩形的两边之比。如图（1）所示，图（2（3）通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。正方形是特殊的矩形，根据上述模型特征，也可以通过平移线段构造基本图形，再借助全等三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系，此时正方形的两边之比1:1.此时可得：若正方形相对两边上的任意两点联结的线段互相垂直，此时这两条线段相等，如图（4）所示。图（4）模型拓展及应用：十字模型在直角三角形中的应用我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形,所以矩形的结论可沿用至直角三角形内。例题1如图（5），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC的中点，连接BD，点E为AB上一点，CE⊥BD，交BD于点F，求CE的长．【分析】将△ABC补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G，求出BD和AG的长，证明△AEG∽△BEC，由相似三角形的判定与性质得出，则可得出答案．【解答】解： 将△ABC补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G，由题意可知，DB＝＝2，由（2）可知，，∴CG＝，∴AG＝＝，又∵AG∥BC，∴△AEG∽△BEC，∴，即，∴CE＝．平四边形中的十字模型转化为矩形内的十字模型，利用相似进行求解。举例如下：例2（1）如图①把边长为AB＝6、BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长；（2）如图②把边长为AB＝2、BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．【分析】（1）先用勾股定理求的BD，再通过添画辅助线构造相似，判断出△MNE∽△DBA，借助十字模型得，代值即可；（2先连接BD，BD与折痕垂直，形成平行四边形的十字架，此时类比联想可否借助矩形中的十字模型求出BE，DE，添画辅助线，构造矩形，再同（1）的方法即可求得．【解答】解：（1）如图①，过点M作ME⊥BC，垂足为E，连接BD，在Rt△ABD中，AB＝6，BC＝8．∴BD＝10，由折叠得，MN⊥BD，∴∠ADB+∠NMD＝90°，∵∠NME+∠NMD＝90°，∴∠ADB＝∠NME，∵∠MEN＝∠A＝90°∴△MNE∽△DBA，∴，∴，∴MN＝7.5（2）如图②，过点B作BE⊥AD的延长线于E，过F作MF⊥BC，连接BD，∴MF＝BE＝2，∴DE＝6．∴BD＝＝2，同（1）的方法，得出，△MNF∽△DBE，∴∴∴MN＝．通过以上模型探索过程中，学生可以更直观地理解数学问题，将复杂的数学问题简化成形象直观的某种模型，从而提高解题效率和准确性。同时通过模型证明，模型应用，模型拓展还可以帮助学生开拓思维，调整思维方向，指明思维方向并达到同类型题触类旁通的效果。数学模型思维的建立需要长期的积累和训练，需要学生具备扎实的数学基础知识，掌握有效的解题方法和思路，以及良好的数学思考能力和创新精神。在平时教学中，教师还可以通过创设问题情境激发学生的数学思考，引导学生建立更多数学模型，利用多媒体教学手段，如图片、视频、动画等，帮助学生理解抽象的数学概念和模型，设计探究性学习活动，让学生在自主探究和合作交流中，建立更多数学模型，拓展数学思维。本文对矩形十字架模型的探索的形式和步骤，不仅有助于学生掌握平面几何的基本性质和