高中数学概率知识点总结和典例

事务及概率

（-）基础知识梳理：

1.事务的概念：

（1）事务：在一次试验中出现的试验结果，叫做事务。一般用大写字母A,B,C,…表示。

（2）必定事务：在肯定条件下，肯定会发生的事务。

（3）不可能事务：在肯定条件下，肯定不会发生的事务

（4）确定事务：必定事务及不可能事务统称为确定事务。

（5）随机事务：在肯定条件下，可能发生也可能不发生的事务。

2.随机事务的概率：

（1）频数及频率：在相同的条件下重第n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数

"人为事务A出现的频数，称事务A出现的比例“〃为事务A出现的频率。

（2）概率：在相同的条件卜，大量重复进行同一试验时，事务A发生的频率会在某个常数旁边摇摆，即随机事

务A发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事务A的概率，记作尺

3.概率的性质：必定事务的概率为，不可能事务的概率为“，随机事务的概率为必定事务及不

可能事务看作随机事务的两个极端情形.

4.事务的及的意义：事务A,B的及记作，表示事务A及事务R至少有一个发生。

5.互斥事务：在随机试验中，把一次试验卜.不能同时发生的两个事务叫做互斥事务。

当A,B为互斥事务时，事务是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A及B互斥

时，事务的概率满意加法公式：PO（A）（B）（A,B互斥）.

一般地：假如事务一中的任何两个都是互斥的，那么就说事务4^'E彼此互斥•假如事务

不今—彼此互斥，那么4sx^今1

6.对立事务：事务A及事务B必有一个发生的互斥事务.A,B对立，即事务A,B不可能同时发生，但A,B

中必定有一个发生.这时P（）（A）（B）=L.即P（入）（4（入）=1・

当计算事务A的概率PU）比较困难时，有时计算它的对立事务入的概率则要简单些，为此有PU）=\-P

（入）.

7.事务及集合：从集量有度来看，A,B两个事务互斥，则表示A,B这两个事务所含结果组成的岁合的逑是空

集.事务A的对立事务入所含结果的集合正是全集〃中由事务力所含结果组成集合的补柒，即HU，,月口.=乏

HYPERLINK”://xjktyg/wxc/”・对立事务肯定是互斥事务，但互斥事务不肯定是对立事务.

（二）典型例题分析：

例1.将一枚匀称的硬币向上抛掷10次，其中正面对上恰有5次是（）

A.必定事务B.随机事务C.不可能事务D.无法确定

例2.从装有2个红球及2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是（）

A.至少有1个白球，都是白球B.至少有1个白球，至少有I个红球

C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球

例3.甲，乙两名围棋选手在一次竞赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,及棋的概率为59%,则乙胜

的概率为.

例4.假如从不包括大小T的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心（事务A）的概率为，取到方片（事务

B）的概率是.取到红色牌（事务C）的概率是，取到黑色牌（事务D）的概率是.

（三）基础训练：

1.下列说法正确的是（）

A.任一事务的概率总在（0,1）内B.不可能事务概率不肯定为0

C.必定事务的概率肯定是1D.以上均不对

2.某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%,则卜面说明正确的是（）

A.明天本地有80%的区域卜雨，20%的区域不卜雨B.明天本地卜雨的机会是80%

C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨D.以上说法均不正确

3.下面事务：①若a,b£R,则a・・a：②某人买彩票中奖；③6+3>10；

④抛一枚硬币出现正面对上.其中必定事务有（）

A.①B.②C.③④D.①②

4.盒中有9个小球，分别标有1,2,3,…，9,从中任取一球，则此球的号码为偶数的概率是.

5.箱子中有2000个灯泡，随机选择100个灯泡进行测试，发觉10个是坏的，预料整箱中有个

坏灯泡。

6.对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：

抽取台数501002003005001000

优等品数4692192285479950

则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为

7.把红，黑，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人分得1张,事务“甲分得红牌”及事

务“乙分得红牌”是()

(A)对立事务(B)不可能事务

(C)互斥但不对立事务(D)以上答案都不对

8从12…9中任取2个数其中

①恰31'个是偶数及恰有1'个是奇数;②至少有1个处奇数及2个都居奇数;③至少有1个是奇数及2个都是偶

数;④至少有1个走奇数及至少有I个是偶数.

上述事务中，是对立事务的是()

(A)(D⑻②®(C)(3)(D)砥)

9.一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球及2个红球，假如从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概

率是()

1321

(A)5(B)10(C)5(D)2

10二掷一个骰子的试验,事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事

务月发生的概率为()

1125

(A)3(B)2(C)3(D)6

(四)巩固练习：

1.把红，黑，蓝，白4张纸牌短机的分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”

及事务“乙分得红牌.”是()

A.对立事务B.不可能事务C.互斥但不对立事务D.以上答案都不对

2.下列四个命题中错误命题的个装是()

(1)对立事务肯定是互斥事务(2)若A,B是互斥事务，则P(A>(B)<1

(3)若事务A,B,C两两互斥，则P(A)(B)(C)=1

(4)事务A,B满意P(A)(B)=1,则A,B是对立事务

A.0B.1C.2D.3

3.抛掷一枚质地匀称的骰子，事务A表示“所得点数是1,2”，事务B表示“所得点数大于4"，则P().

4.某射手射击1次射中10环,9环，8环,7环的概率分别是0.24,C.28,0.19,0.16,则这名射手射击1次，射

中】0环或9环的概率为,至多射中6环的概率.

5.在10件产品中有8件1级品，2件2级品，从中任取3件，记“3件都是1级品”为事务A,则A的对立事务

是.

6.袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球，从中任取I球，得到红球的概率是3,得到黑球或黄球

5

的概率是12,则得到绿球的概率是.

第02讲古典概型

(一)基础知识梳理：

1.基本领件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果，称为一个基本领件

基本领件是试验中不能再分的最简单的随机事务。基本领件有以下两个特点：

(1)任何两个基本领件是互斥的；(2)任何事务(除不可能事务)都可以表示成基本领件的及。

2.等可能性事务：假如•次试验中可能出现的结果有。个，而且全部结果都是等可能的，这种事务叫等可能性事

务

3.古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。

(1)试验中全部可能出现的基本领件只有有限个；

(2)每个基本领件出现的可能性相等。

4.古典概型的概率计算公式：对于占典概型，若试验的全部基本领件数为n,随机事务A包含的基本领件数为

P(A}=—

m,那么事务A的概率定义为n。

(二)典型例题分析：

例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。假如考生驾驭了考

查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是.

例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率是.

例3.将一枚质地匀称的硬币连掷二次，视察落地后的情形

(1)写出这个试验的全部的基本领件：

(2)”出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事务包含了哪几个基本领件？

（3）求事务”出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。

例4.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6）

（1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率：

（）连续抛掷2次，求向上的数之及为6的概率；

（三）基础训练：

1.下列试验中，是古典概型的是：）

A.种下一粒种子视察它是否发芽

B.从规格直径为（25ot0.6）的一批合格产品中随意抽一根，测量其直径d

C.抛一枚硬币，视察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶

2.从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）

££2_

A.2B.3c.3[）.1

]_

3.某学生通过计竟初级水平测试的概率为2,他连续测试两次,则恰有1次获得通过的概率为.

4.甲，乙两人做出拳嬉戏（锤子,剪刀，布）。则平局的概率为，甲赢的概率为。

5.一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球，随即的选取两个小球，依据下列条件求两个小球上的数字之及

为偶数的概率。

（1）小球的选取是无放回的；（2）小球的选取是有放回的。

6.现有一批产品共有6件，其中5件为正品，1件为次品.

（1）假如从中取出1件，然后放回.再取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；

（2）假如从中一次取2件，求2件都是正品的概率.

7.袋中有大小相同的红，黄两种须色的球各1个，从中任取1个，有放回地抽取3次。求：

（1）3次全是红球的概率（2）3次颜色全相同的概率（3）3次颜色不全相同的概率

（四）巩固练习：

1.袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率是

（）

£3_£_3_

A.5B.4C.2D.10

2.在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选

题都答对的概率为（）

LLL_L

A.2B.4C.8D.16

3.甲，乙两人随意入住2间空房，则甲乙两人各住1间房的概率是（）

A.3B.4c.2D.无法确定

4.4本不同的语文书，3本不同的数学书，从中随意取出2木，能取出数学书的概率是.

5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，则点P（m,n）落在圆二^^^屋内的概率是.

6.高一（1）班数学爱好小组有男生及女生各3名，现从中任选2名学生去参与数学竞赛，则恰有一名参赛学生是

男生的概率是：至少有一名参赛学生於男生的概率处。

7.有A,B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0：2张写有1；3张写有2：B袋中有5张卡片，其中2张

写有0：1张写有1：2张写有2.。从A,B两个袋中各取1张卡片，求：

（1）取出的2张卡片都写有0的概率；（2）取出的2张卡片数字之及为2的概率。

第03讲随机数及几何概型

（一）基础知识梳理：

1.几何概型的概念：假如每个事务发生的概率只及构成该事务区域的长度（面积或体积）成正比，则称这洋的概率

模型为几何概型。

2.几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在•次试验中，可能出现的结果有无限多个：（2）等可能

性：每个结果的发生具有等可能性，

3.几何概型事务的概率计算公式：

（二）典型例题分析：

例L如图，在墙上挂着一块边长为16的正方形木板，上面画了小，中，大三个同心圆，半径分别为2,4,6,

某人在在3m外向此板投镖，设投镇击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：

（1）投中小网内的概率是多少？

（2）投中大圆及中圆形成的圆环的概率是多少?

（3）投中大圆之外的概率是多少?

例2.在游乐场，有•种嬉戏是向个画满匀称方格的大桌面上投硬币,若硬币刚巧落

在任何一个方格的范围内不及方格线重段)，便可获奖。假如硬币的直径为2,

而方格的边长为5,随机投掷一个便币，获奖的概率有多大？

(三)基础训练：

1.在500的水中有一个草履虫，现从中随机取出2水样放到显微镜下视察，则发觉草履虫的概率是()

A.0.5B.0.4C.0004D.不能确定

2.有一半径为4的圆，现将一枚直径为2的硬币投向其中(硬币及圆面有公共点就算是有效试验，硬币完全落在圆

外的不计)，则硬币完全落入圆内的概率为()

4_2

A.9B.16c.25D.25

3.一轮船停靠在某港口,只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间是早晨5:00到7:00及下午

5:00到7:00,则该船在一昼夜内可以出港的概率为.

4.一海豚在水池中自由游弋，水池是半径为20m的圆,海豚啸尖离岸边不超过2m的概率是.

5.取一个边氏为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内概率是。

6.甲，乙两艘轮船都要在某个泊位停骅6小时，假定它们在一昼夜的时间段中

随机到达，试求这两艘船中至少有•艘在停靠泊位时必需等待的概率。

(三)巩固练习：

1.如下图，设M是半径为R的网周上肯定点，至啰周上等可能地任取一点N,连接，则

弦的长超过小11的概率为()

LLLL

A.5B.4&3D.2

2.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10

分钟的概率是。

3.在长为12的线段上任取一点M,并以线段为边作正方形，试求正方形面枳介于3占到81C之间的概率

是。

4.如图所示，取一根长度为3m的绳f,拉直后在随意位置剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1m的概率

是.

3cm

5.在△内任取一点P,求△及△的面积之比大于？时的概率为

6.设6,在线段上任取两点(端点A,B除外)，将线段分成三条线段.

(1)若分成三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

(2)若分成三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

概率练习卷

1.甲，乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字^设甲，乙所抛掷骰子朝

上的面的点数分别为【，！，则满意复数”十岁的实部大于虚部的概率是<)

2.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为

3.在面积为S的A的边上任取•点R则d的面积不小于的概率是()

0<%<2,

4.设不等式组\9-y-2,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概

率是()

,7-2I4-.7

―---------―---------

(A)[(B)2(C)>(D)4

5.从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个教为b,则b>a的概率是()

(A)•(B)(C))(D)-

6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球及3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为

一白一黑的概率等于()

（A）（B）［（C）•（D）

7.每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以1,2,3,4,5,6）.连续抛掷2次，则2次向上的数之及不小于10的概

率为_

8.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中随意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是。

9.甲，乙两人玩猫数字嬉戏，先由甲心中想一个数字，记为0,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为।,

其中若|片4已就称甲乙，，心有灵扉”.现随意找两人玩这个嬉戏,则他们“心有

灵犀”的概率为（）.

A.1B.1C.1D.1

£

10.从边长为1的正方形的中心及顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为：的概率是。

11.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司打算了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中

的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3

杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A及B两种饮料没有鉴别实力

（1）求此人被评为优秀的概率

（2）求此人被评为良好及以上的概率

12.11.在区间［T,2］上随即取一个数x,则x£［0,1］的概率为-

13.为长方形，=2,=1,。为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到0的距离大于1的概率为（）

・1--■I--

（A）:（B）&（C）'（D）8

14.如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撤300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数

为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面枳约为（）.

力.7.68氏16.32c17.32〃,8.68

15.下图的矩形，长为5,宽为2,在矩形内随机地撤300颗黄豆，数得落在阴影部分的

黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为.

16已知圆直线丁

（1）圆’的圆心到直线的距离为.