2024-2025学年广东深圳红岭中学高一下学期期中数学试题含答案

高中红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试高一数学试卷（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A.i B. C. D.12.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（）A. B. C. D.3.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A.，，则B.若且，则C.，则与同向D.若，是非零向量，且，则与同向5.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（

）A. B. C. D.6.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）A若，，则B.若，，，，则C.若，，，，则D.若，，则7.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为A. B. C. D.8.如图，已知正方形边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9.已知复数，下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆D.若是关于方程的一个根，则10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（）．A.当船航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时，C.当时，船的航行时间为12分钟 D.当时，船的航行距离为11.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（）A.若，则四面体的体积为定值B.若的外心为O，则为定值2C.若，则点Q的轨迹长度为D.若且，则存在点，使得的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.13.在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______．14.在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设，，向量，，，且，．（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值．16.已知中，.（1）求的值；（2）为边的中点，若，求.17.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.18.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.（1）求的值；（2）求的长；（3）若，求的面积.19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处离散曲率为．①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试高一数学试卷（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A.i B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据i的周期性可得复数，即可由复数除法运算法则求解.【详解】由得，故z的虚部为为，故选：B2.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；综上，可以为、、、部分，不能为部分，故选：B.3.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，所以，，所以在上的投影向量为.故选：A.4.已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A.，，则B.若且，则C.，则与同向D.若，是非零向量，且，则与同向【答案】D【解析】【分析】根据向量的基本概念和相关运算法则对各选项进行判断即可.【详解】对于A，若，则，，但不一定成立；、对于B，因为，所以，即，无法推出（即当时原式也可以成立），故B错误；对于C，因为，所以，即，所以，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为或，即与同向或异向，故C错误；对于D，由平方得，化简得，由于两向量夹角范围为，所以与夹角为，即与同向，故D正确.故选:D5.紫砂壶是中国特有手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.【详解】根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以，解得：，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积.故选：B.6.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，，则D.若，，则【答案】D【解析】【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明.【详解】A选项，若，则或，A错误；B选项，若，不能推出，B错误；C选项，若，则不能推出，C错误；D选项，因为，所以，D正确.故选：D7.已知三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形，根据棱锥的体积求出到平面的距离，利用勾股定理计算球的半径，得出球的面积．【详解】由余弦定理得，解得，，即．为平面所在球截面的直径．作平面，则为的中点，，．．．故选：．【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断的形状是关键．8.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接，利用即可求解.【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，又由，所以.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9.已知复数，下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆D.若是关于的方程的一个根，则【答案】BCD【解析】【分析】由复数，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得的值，可判定D正确.【详解】对于A中，若复数，满足，但两个虚数不能比大小，所以A项错误；对于B中，若，则，即，可得或，所以，所以B项正确；对于C中，由于表示两个复数在复平面上对应的两点之间的距离，所以，表示复平面内到点距离为3的点的集合，所以对应的点的轨迹为圆心在，半径为3的圆，所以C项正确；对于D中，由是关于的方程的根，故，即，可得，所以，所以D项正确.故选：BCD．10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（）．A.当船的航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时，C.当时，船的航行时间为12分钟 D.当时，船的航行距离为【答案】AB【解析】【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确；对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误；对于D，由题意设位移分量为，位移为，则，其中（小时），又因为，，和的夹角为，从而，故D错误.故选：AB.关键点点睛：判断B选项关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解.11.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（）A.若，则四面体的体积为定值B.若的外心为O，则为定值2C.若，则点Q的轨迹长度为D.若且，则存在点，使得的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定轨迹，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D，把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度.此时有最小值.【详解】对于A，取的三等分点分别为，如图所示，因为，所以，令，，则，所以．因为，所以的面积为定值，点P到平面的距离也是定值，故A正确．对于B，若的外心为O，过点O作于点H，则H是的中点．因为，所以，故B错误．对于C，在平面中作，显然平面，由长度和角度，可得．在中，，所以，则点Q在以为圆心，为半径的圆上运动．设此圆与交于点，因为且，所以，则点Q的轨迹长度是．故C正确．对于D，若且，则点Q与点P重合．把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，此时有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．在中，，，，满足勾股定理，所以，从而，在中，由余弦定理得，故D正确．故选：ACD【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.【答案】【解析】【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.【详解】在中，，，，，在中，由正弦定理得，所以，所以树的高度为.故答案为：.13.在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______．【答案】5【解析】【分析】根据向量的加减运算表示出，利用三点共线可得即可求得答案.【详解】由题意知，由于M、O、N三点共线，可知，所以，故答案为：5.14.在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：根据余弦定理和基本不等式可求的最大值，再利用三角形的面积公式求最大值即可；第二空：在中，由正弦定理得，由，根据余弦定理表示方程，进而可将表示成关于角的三角函数，即可求的最小值.【详解】第一空：在中，由余弦定理得，又，，所以，当且仅当，即为等边三角形时等号成立，所以，又D是边上靠近B的三等分点，所以，即的面积的最大值为.第二空：在中，，，由正弦定理，得，又，所以，因为，所以，由余弦定理，得，将代入上式，化简得，所以，其中，当，即时，取得最小值，因此，取得最小值.故答案为：①；②.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设，，向量，，，且，．（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值．【小问1详解】向量，，，且，，可得且，解得，，即，，则，则；【小问2详解】因为，，所以，，设向量与夹角为，则，即向量与夹角的余弦值为．16.已知中，.（1）求的值；（2）为边的中点，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可；（2）设，由余弦定理求解即可；【小问1详解】，即，由正弦定理角化边可得，由余弦定理可得；【小问2详解】设，由余弦定理结合（1）得，即，在中，，在中，，所以，即，所以，所以，等式两边同时除以可得，解得或（舍去），所以.17.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由棱台的性质可证得，再根据线面平行的判定定理可得证；（2）根据条件，利用几何关系求得及面积公式求得，再利用等体积法，即可得出点到平面距离．【小问1详解】连接BD，交AC于O，连接，∵四边形是正方形，∴，由棱台的性质可得，由，，可得，则，，∴四边形是平行四边形，则，又∵平面，平面，∴平面；【小问2详解】因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离，取中点，连，，因为，且，所以是平行四边形，则，而平面，故平面，又平面，故，，得，又，所以，所以，所以，设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为，因为，所以，所以故直线到平面的距离为.18.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.（1）求的值；（2）求的长；（3）若，求的面积.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可；（2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出；（3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积.【小问1详解】因为，对角线为钝角的平分线，所以，解得或（舍），所以；【小问2详解】由题意，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），因为，所以，又因为，所以，所以，解得；【小问3详解】方法一：在中，由正弦定理可得，即，所以，因为钝角，所以，因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，解得，因为，所以