机器学习系统与优化 习题及答案 第一章_第1页
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文档简介

1.证明下列集合S是凸集：S={其中A是n×m矩阵，2.简述牛顿法的优缺点。3.判断题。（1）牛顿法具有二阶收敛性；（2）在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向；（3）若f(x)在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且4.判别下列函数是否为凸函数：

（1）fx1,x2=x12-2x1x2+x5.用最速下降法求解f(X)=6.用外点法求等式约束问题：min7.用乘子法求下列问题：

min8..用内点法求解下列问题：min112x1+13x29.用牛顿法求f(x)=x10.求解如下等式约束问题：习题11.证对任意的x(1),x(n)∈S及每个数λ∈[0,1]，存在y1,2.牛顿法是一种高效的迭代优化算法，具有二阶收敛速度，适用于光滑函数，能快速逼近最优解。然而，它需要计算和存储Hessian矩阵及其逆矩阵，计算成本高，且对初始点敏感，可能因Hessian矩阵不正定而失效。因此，它更适用于中小规模、凸优化问题，而在高维或非凸情况下常需改进（如拟牛顿法）来提升稳定性。3.（1）√；（2）×；（3）×。4.解（1）∇2f(x)=2−2−22为半正定矩阵，故f∂f因此Hesse矩阵∇为半正定矩阵，因此f(5.x∗6.（外点罚函数法）（1）构造罚函数F（2）求偏导∂（3）联立两个偏导式，求驻点，并得到x1和x2的表达式得到x1+2将x1和xx∗（4）令Mkx∗7.x8.

令

用解析法求解：（求偏导并令其等于零）∂G由（1）式可得，x1=1+2x当rk

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