小学数学三年级上册《三位数除以一位数（商三位数）：运算一致性视域下的笔算与模型建构》导学案

小学数学三年级上册《三位数除以一位数（商三位数）：运算一致性视域下的笔算与模型建构》导学案

一、教学内容定位与课标锚点

（一）教材坐标

冀教版（2024）三年级上册第四单元《多位数除以一位数》第5课时。本课处于单元知识螺旋上升的关键节点：学生已完成整十、整百数除以一位数口算及两位数除以一位数笔算，后续将学习商中间或末尾有0的除法及三位数除以一位数（商两位数）。本课既是笔算方法从“两位”向“三位”的自然延伸，更是除法运算一致性——即“从未知到已知的转化”“计数单位逐位细分”的首次完整显性化呈现。

（二）核心素养锚点

【核心概念——非常重要】本课并非孤立的技能训练，而是承载着“数与运算”主题下两大核心概念的贯通：其一为“运算的一致性”，即无论几位数除法，其本质均为“分计数单位”；其二为“逆运算关系”，即乘除互逆是验算与建模的逻辑基座。

【课标分解——重要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数与运算”中指出：探索并掌握多位数的除法，感悟从未知到已知的转化。本课精准对应此条，要求学生在迁移中形成“将新知识转化为旧知识”的思维定势，而非机械记忆步骤。

二、学情深层诊断与教学破局点

（一）认知起点（基础）

学生已能熟练进行两位数除以一位数竖式计算（如69÷3），并理解“余数要比除数小”“除到哪一位商写在那一位上面”的程序性规则。但其理解多为“步骤记忆”，对于“为什么商的百位写1”“为什么1要写在百位”这类涉及位值与计数单位细分的问题，往往处于“会算但不明白道理”的浅层状态。

（二）真实困境（难点·高频错点）

【难点1——位值混淆】计算660÷5时，百位6除以5商1余1，学生常将此处的“1”理解为“1个一”，而非“1个百”；导致后续将十位6落下时，误以为组成“16个一”，未能辨识出实质是“1个百与6个十合并为16个十”。

【难点2——商位缺失恐惧】当被除数百位够除时，学生往往能顺利写出三位商；但在后续有落位环节（如十位除后余数需与个位合并），常出现漏写个位商或余数处理不当。

【难点3——验算形式化】学生能将商与除数相乘，但仅将其视为“老师要求的检查步骤”，未建立起“乘法是除法的还原”这一逆运算模型意识，导致验算与计算割裂。

（三）教学破局点（热点）

基于2024版冀教版新教材“情境连贯化”“算理可视化”的编写特征，本课破局点在于：将“计数单位卡片”具象化，把抽象的“1个百”“16个十”转化为可视的“百元大钞”“十元纸币”兑换情境，让算理“看得见、摸得着”；同时以“如何确认算对了？”这一元认知问题驱动，让验算从被动执行转为主动验证。

三、教学目标与达成指标

（一）素养化目标（三维融合）

1.【理解·重要】通过“放气球”的真实情境迁移，经历三位数除以一位数（商三位数）笔算方法的自主探索过程，能结合直观学具讲清算理——即“从被除数最高位起，依次用除数去除每一位，每次均是将余下的高一级计数单位细化为低一级单位继续分”。

2.【技能·基础】能规范、正确地列竖式计算三位数除以一位数（被除数百位够除），并自觉运用“商×除数=被除数”进行验算，形成“计算即检验”的习惯，计算的正确率达到90%以上。

3.【认知·高频考点】理解并归纳三位数除以一位数与两位数除以一位数在算法上的“同构性”，初步感悟除法运算的“迭代细分”模型，能清晰表达“先分什么、再分什么”的逻辑顺序。

（二）表现性指标

·水平一（合格）：能参照例题完成基本竖式计算，验算时能正确列式。

·水平二（良好）：在无提示下，主动进行验算；能向同伴解释“商的百位为什么写在那”。

·水平三（优秀）：能将660÷5的算理迁移至四位数除以一位数的猜想中，形成知识迁移假设。

四、教学材料与资源支架

（一）学具开发

【计数单位操作板——非常重要】每生一套简化的“数位卡片”：硬质纸条上分别印制“百位”“十位”“个位”方框，另配可移动的“计数单位磁粒”（红圆片代表百、蓝条代表十、黄块代表一）。此设计源于对2022版课标“几何直观”的响应，将竖式中的每一步余数与落位，同步在数位板上用实物卡片移动呈现，实现“动作表征—图形表征—符号表征”的三阶转化-2-3。

（二）情境素材优化

舍弃教材原“放飞气球”情境（虽然真实但缺乏认知冲突），重构为“爱心基金兑换”大情境：学校爱心基金收到一笔660元捐款，要平均分给5个困难家庭。这一情境的优势在于：人民币单位（元）天然对应计数单位（100元、10元、1元），兑换过程即为“大单位化小单位”的过程，与算理中的“退一化十”高度同构。

五、教学实施过程（核心·全景深描）

【环节一】经验激活与认知冲突创设（8分钟）

1.口算热身与算法回忆（基础）

·呈现：60÷3=69÷3=600÷3=

·指名口答，追问：600÷3你心里想的是怎样算的？学生答：6个百除以3等于2个百，商200。

·板书关键句：“几个百除以几，得到几个百”。此为本课核心算理的“种子句”。

2.情境导入与问题提出

·呈现大屏：学校爱心基金募集到一笔善款660元，要平均分给5个低收入家庭，每户分得多少元？

·列式：660÷5=

·组织估算（热点）：不计算，先猜一猜每户得到的是100多元还是200多元？为什么？

·生1：600÷5=120，660比600多，所以比120多，应该是100多元。

·生2：我反对，500÷5=100，600÷5=120，700÷5=140，660在600和700之间，所以应该在120到140之间，肯定是一百多元，不是二百多。

·师顺势小结：刚才大家其实用了“区间估算”，把除数不变，将被除数看成整百数去试。这就为我们精确计算提供了“商的大概范围”。

3.认知冲突植入（难点）

·师：如果我们真的要把660元分给5户，你是爱心小天使，你手里有3张100元、6张10元，还有0个1元硬币，你打算怎么分？

·此设问直击要害：学生原有经验“从大面额开始分”，对应竖式“从高位除起”。有学生会说：先分百元大钞，3张100元分给5户，每户不够1张啊！

·由此引爆核心困惑：百位是6，除以5够除；但此处给的是3张100元（即被除数是360元时才3张），而我们是660元，应该是6张100元。故意给错学具，引发学生纠错——深刻体会“百位上的6表示6个百”。

【环节二】算理具身化探索与竖式建模（18分钟·重中之重）

1.动作表征——分币模拟（非常重要）

·同桌合作：一人持币（6张百元、6张十元、0个一元），另一人记录分的过程。

·分步引导：

①先分百元大钞：6张百元，分给5户，每户得1张（得1个百），分掉5张，还剩1张百元。

②剩下的1张百元还能直接分给5户吗？不够1张了怎么办？（核心操作）

·生：去银行换成10张10元。（动作：将1张百元换成10张十元）

③现在十元面额共有：原来的6张十元+新换的10张十元=16张十元。

④分十元：16张十元，分给5户，每户得3张（得3个十），分掉15张，还剩1张十元。

⑤剩下的1张十元还能分吗？再换成10个一元硬币。

⑥分一元：10个一元，分给5户，每户得2个（得2个一），分完。

⑦统计：每户得到1张百元、3张十元、2个一元，即132元。

2.图形表征——在数位板上圈画

·教师在黑板磁性数位板同步演示：百位格内原有6个红圆片，移动5个至“已分”区，余1个红圆片；将此红圆片取出，在后一位十位格内添加10个蓝条（体现“退一当十”）；十位格内现有16个蓝条，移走15个，余1个蓝条；此1个蓝条换为10个黄块放入个位格；个位10个黄块全部分完。

·此处必须放慢节奏，反复追问：这1个百变成了什么？是凭空消失了吗？——让学生深刻感知：计数单位变小了，但总量守恒。

3.符号表征——竖式的一一对应（高频考点·难点突破）

·师：刚才我们用人民币和学具分的过程，每一步都能在竖式中找到“影子”。现在我们尝试把分的过程“翻译”成竖式。

·师生共建竖式（边写边问）：

①写660÷5，先看哪一位？百位。6除以5，商几？商1。这个1写在哪里？百位上面。为什么写在百位？因为它表示每户分到1个百。（对应动作：分掉5张百元）

②1×5=5，6-5=1。这个1表示什么？是剩下的1张百元。（对应动作：还剩1张）

③把十位的6落下来。大家注意，这个落下来的6，它自己就是6个十吗？不！它要和剩下的1个百合起来。1个百是10个十，加上6个十，一共是16个十。（此处是区分新手与高手的分水岭，必须让学生指着竖式说：“这里的16，不是16个一，是16个十！”）

④16除以5，商几？商3。3写在哪里？十位上面。为什么？因为它是3个十。

⑤3×5=15，16-15=1。这个1表示什么？是剩下的1张十元。

⑥把个位的0落下来。0本身是0个一，但和剩下的1个十合并，1个十是10个一，加上0个一，就是10个一。

⑦10除以5，商2，写在个位。2×5=10，余0。

4.模型初建：追问与对比

·追问1：今天我们分的钱是660元，如果被除数是662元，最后一步个位是2，你能接着分吗？——渗透“余数可为0或非0”，为有余数除法埋伏笔。

·追问2：回顾刚才我们分的过程，是先把什么分完再分什么？（必须分完百位，有余才能与十位合并；不能百位没分完就去分十位）——强化“逐位、有序”的思维严谨性。

·追问3：看一看黑板上的竖式，再想想以前学的69÷3，你觉得它们哪里像？（都是从高位除起，都是除到哪位商哪位，都是余数比除数小，都是落下一位继续除）——提炼除法计算的“通用法则”。

【环节三】验算逻辑的理性建构（7分钟·重要）

1.冲突重启

·师：我们算出了132元，可是怎么知道这个结果是对是错呢？毕竟我们手里并没有真的钱去验证。

·生1：可以再算一遍。

·师：再算一遍有可能犯同样的错误。有没有一种不依赖除法的方法来检验？

2.逆运算建模

·引导：每户得了132元，一共5户，如果我把5户的钱都收回来，一共应该是多少钱？

·生：132×5。

·计算132×5=660，得到原数。

·师揭示：除法是把总数平均分，乘法是把每份数还原成总数。乘法和除法是相反的运算，所以用“商×除数=被除数”可以验算除法。

·板书验算竖式，强调：乘法竖式也要数位对齐，进位要标注清楚。

3.辨析“验算”与“重算”

·出示错例：某生计算660÷5=122，验算时122×5=610，他却说“验算过了，是对的”。

·组织学生当“小法官”：他的问题出在哪？（他验算时乘法算错了，以为122×5=610）——让学生明白：验算不是形式，必须独立计算乘法；如果验算结果与被除数不一致，说明计算一定有误，要么除法错，要么乘法错。

【环节四】分层练习与错例深度学习（10分钟）

1.基础性练习——独立试商（基础）

·计算并验算：738÷6924÷7

·要求：第一步先估算商是几位数（百位7＞6，百位9＞7，都是三位数）；第二步列竖式，每步余数用尺子画横线；第三步验算，将验算结果与被除数圈出来对比。

·教师巡视，收集典型资源：

资源A：738÷6，学生百位商1，1×6=6，7-6=1；十位13÷6，商2，2×6=12，13-12=1；个位18÷6，商3，余0。完全正确且书写工整。

资源B：924÷7，百位商1，1×7=7，9-7=2；十位22÷7，商3，3×7=21，22-21=1；个位14÷7，商2，余0。正确。

资源C（典型错例）：某生924÷7，十位22÷7商3后，余1，落个位4，14÷7商2，但他在个位写2后，忘记将2×7=14写在下面，直接写余0。竖式结构缺失。

2.诊疗式练习——错例会诊（热点·高频错点）

·教师出示故意设计的“病历”：

752÷4=学生竖式呈现：百位7÷4商1余3，十位35÷4商8余3，个位32÷4商8，商是188。但验算188×4=752，正确。

师：这位同学算对了，但有一处“小瑕疵”被扣分了，大家找找。（学生发现：个位计算时，32÷4=8，他写了8，但没有写8×4=32的步骤，直接写了0。）

辨析：这一步可以不写吗？对于熟练者，可以省略；对于初学者，建议写全，防止数位混淆。

3.变式练习——逆推思维（重要）

·出示：在算式□□□÷5=1□2中，被除数可能是多少？（商是三位数，百位已知是1，个位是2）

·此题为素养立意题，旨在考查对乘除互逆关系的深度理解。学生需先求商×除数=被除数：1□2×5。十位未知，需推理：乘积为三位数，且百位为1×5+进位。

·此环节不要求全员掌握，但为学有余力者提供思维跑道。

【环节五】课堂总结与认知地图绘制（5分钟）

1.师生共建板书脑图（非表格，纯叙述式提炼）

·师：今天我们解决的是“三位数除以一位数，而且百位够除”的问题。大家回忆一下，我们是怎么学会的？

·生：我们是先分百元、再分十元、再分一元，就像爬楼梯一样，从高位到低位一步一步分。

·师：如果明天我们遇到四位数除以一位数，比如1324÷3，你会不会？你能预测第一步算什么、商写在哪里吗？

·生：先分千位，商写在千位上面……

·师：这就是我们今天最大的收获——我们不仅学会了一道题，更学会了一类题。数学的智慧，就是把没学过的转化成学过的。

2.反思性学习单

·留3分钟完成“课堂微日志”填空式书写：

①今天学习的三位数除以一位数，我认为最关键的一步是（）。

②我在计算时最容易犯的错误可能是（），我打算这样避免（）。

六、板书设计（结构化叙事）

主板书分区：

左侧区域：人民币兑换流程图（6张百元→分5→剩1→换10张十元→共16十→分15→剩1→换10个一元→分完）。此区域颜色标注，箭头清晰。

中部区域：竖式书写区，分步对齐。用红色粉笔在“16”处画圈，标注“16个十”；在“10”处画圈，标注“10个一”。

右侧区域：验算区（132×5=660），并板书“商×除数=被除数”。

顶部通栏大字标题：分计数单位——从高位分起，逐位细分。

底部板书核心箴言：新知识=旧知识+转化。

七、作业设计与评价量规

（一）分层作业（基础·发展·挑战）

【基础必做题】

1.列竖式计算并验算：555÷3、848÷4、936÷6。

2.改错题（先判断对错，再改正）：竖式错例呈现——某生计算848÷4，百位8÷4商2，十位4÷4商1，个位8÷4商2，得212，验算212×4=848。表面正确，但十位计算时未体现“落位”，要求补全竖式过程。

【发展选做题】

3.李叔叔摘苹果，共摘了875千克，每5千克装一箱，能装多少箱？如果每箱卖4元，一共能卖多少钱？（两问，需先除后乘）

4.在□里填合适的数：7□2÷3，要使商的中间一位是0，□里可以填几？（此题为下节课商中间有0做孕伏）

【挑战探究题】

5.小马虎在计算一道除法题时，把除数5看成了8，计算得到商是112，余数是4。正确的结果应该是多少？（考查逆推：先求被除数112×8+4=900，再算900÷5=180）

（二）评价量规（叙事性描述）

·水平A（卓越）：能独立、规范完成全部竖式，验算与计算互逆逻辑清晰；在挑战题中展现较强的推理意识，能清晰表述从错误条件还原被除数的思路。

·水平B（达标）：竖式步骤完整，商定位准确，验算习惯初步养成；在改错题中能敏锐发现竖式书写不规范之处。

·水平C（待提高）：商定位基本正确，但计算过程中有余数落位时，合计数辨识不清；需在教师或同伴提示下完成验算。

八、教学反思与跨视