初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案（人教版）

初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案（人教版）

一、前沿理念与设计总览

（一）设计指导思想与理论依据

本节教案的设计，立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心精神，以发展学生核心素养为根本导向，深度融合建构主义学习理论、深度学习理念及跨学科整合理念。位似变换作为图形变换知识体系中的关键一环，不仅是相似变换的特例，更是连接几何、代数、艺术（透视）与工程制图的桥梁。本设计摒弃传统的“定义-性质-练习”线性模式，转向“情境感知-数学抽象-概念建构-性质探究-应用创新”的螺旋上升式学习路径。课堂将模拟数学家的发现过程，引导学生从真实世界的现象（如摄影、地图、投影）中捕捉共性，通过观察、比较、分析、归纳，自主建构位似图形的数学本质。同时，注重信息技术的深度融合，利用动态几何软件（如GeoGebra）创设可交互的探索环境，使静态的教材知识动态化、抽象的概念可视化，让学生在“做数学”中实现意义建构，培养其直观想象、逻辑推理、抽象概括和数学建模等关键能力。

（二）内容解析与知识地位

“位似”隶属于“图形的变化”主题，是继平移、轴对称、旋转、相似之后学习的又一重要图形变换。其知识结构可定位如下：

1.上位概念：相似变换。位似是相似的一种特殊情况，要求对应点连线交于一点（位似中心）且对应边平行（或在同一直线上）。

2.核心内涵：从变换的角度看，位似变换是一种保持形状不变、但大小按比例缩放的特殊相似变换，其核心要素是位似中心和位似比。

3.下位发展：是学习透视作图、平面直角坐标系中的位似（为高中学习位似变换矩阵埋下伏笔）、解决测量问题（如利用“小孔成像”原理）的重要基础。

4.跨学科关联：与物理中的光学成像（凸透镜成像规律）、美术中的透视与素描、地理中的比例尺地图、计算机图形学中的图像缩放等有着深刻的内在联系。

本节第一课时的教学重心在于建立准确的位似图形概念，理解其本质特征，并掌握基本的位似图形绘制方法，为后续探究位似的性质及其在坐标系中的应用奠定坚实的认知基础。

二、多维教学目标设定

基于核心素养导向，设定以下三维融合式教学目标：

（一）知识与技能

1.结合生活实例和具体操作，理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确识别位似图形并判断位似中心及位似比。

2.掌握在位似中心同侧与异侧两种情况下，利用尺规绘制已知图形的位似图形的基本方法。

3.能初步运用位似概念解决简单的几何识别与作图问题。

（二）过程与方法

1.经历从实际情境中抽象出数学问题、归纳共性特征从而形成数学概念的过程，体会数学抽象和模型思想。

2.通过动手操作、几何画板动态演示与小组合作探究，经历“观察-猜想-验证-归纳”的数学活动过程，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在探索位似图形画法的过程中，体会转化思想（将复杂图形位似转化为关键点的位似）和程序化思想。

（三）情感、态度与价值观

1.通过感受位似在摄影、艺术、科技等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和美学价值，激发学习兴趣和探索欲。

2.在合作探究与交流分享中，培养敢于质疑、严谨求实的科学态度和协作精神。

3.通过对图形变换体系的整体感知，初步建立知识之间的联系，形成系统的认知结构。

（四）核心素养聚焦

1.直观想象：能从复杂图形中辨识位似关系，能在头脑中对图形进行位似变换的想象与操作。

2.逻辑推理：能依据位似定义进行严谨的图形判定和说理。

3.数学抽象：能从具体实例中剥离非本质属性，抽象概括出位似图形的共同数学特征。

4.数学建模：初步形成用位似模型刻画现实世界中一类缩放现象的意识。

三、教学重难点深度剖析

（一）教学重点

1.位似图形概念的本质理解：不仅仅是记住定义，更要理解“对应点连线交于一点”且“对应边平行”这两个判定条件的等价性与必要性，理解位似是相似的特殊情况。

2.位似中心与位似比的确定：能准确找出任意两个位似图形之间的位似中心，并计算其位似比（强调顺序性，即从原图到位似图形的缩放比）。

（二）教学难点及其突破策略

1.难点一：位似概念中“对应点连线交于一点”与“对应边平行”两个条件的关联与互推。

1.2.突破策略：采用“正反例辨析法”和“动态演示法”。呈现一系列具有迷惑性的图形（如仅满足对应边平行但不共点、仅满足共点但对应边不平行的一般相似形），让学生在对比、辩论中深化理解。利用GeoGebra动态展示，拖动图形使条件变化，让学生直观感受两个条件缺一不可，且可以互相推导。

3.难点二：在位似中心异侧时位似图形的画法与理解（尤其是位似比为负的情形）。

1.4.突破策略：采用“类比迁移法”和“光学隐喻法”。先从同侧位似（位似比为正）入手，掌握方法。然后引入“小孔成像”模型（成倒立实像），引导学生发现像与物在孔的两侧，自然引出异侧位似。将异侧作图理解为“方向反向的缩放”，利用位似中心连接线反向延长来突破。将位似比的正负与“同侧/异侧”建立直观联系。

5.难点三：复杂图形中多个位似关系的识别与嵌套。

1.6.突破策略：采用“关键点定位法”和“分层剖析法”。教导学生识别复杂图形时，先找出所有可能的对应点对，再检验这些点对的连线是否共点。对于嵌套位似，引导学生从局部到整体进行分析，厘清不同层次上的位似中心和位似比。

四、教学资源与技术支持

1.教师端：

1.2.多媒体课件（PPT/Keynote）：集成图片、动画、探究问题。

2.3.动态几何软件GeoGebra：制作可交互的位似变换演示文件，用于概念探索与画法验证。

3.4.实物投影仪或高清摄像头：展示学生作图过程与成果。

4.5.精心设计的《课堂探究学习单》（含情境问题、观察记录表、作图任务、反思小结）。

6.学生端：

1.7.每人一份《课堂探究学习单》。

2.8.作图工具：直尺（带刻度）、圆规、量角器、铅笔。

3.9.小组合作记录板/白板纸。

10.环境创设：教室桌椅布置成4-6人合作小组形式，便于讨论与操作。

五、教学实施过程详案（核心环节）

（一）情境激疑，跨学科导入（预计时间：8分钟）

1.视觉冲击，提出问题：

1.2.教师同步投影展示四组图片：

1.2.3.组1：同一座建筑物在不同焦距下拍摄的照片（特写与全景）。

2.3.4.组2：一幅世界地图与其上一个国家的放大详图。

3.4.5.组3：一个实物（如一朵花）与其通过放大镜看到的虚像。

4.5.6.组4：一个卡通人物图案与其通过投影仪投射到墙上放大/缩小的图像。

6.7.提问：“请同学们仔细观察这四组图片，每一组中的两个图形之间，有我们之前学过的哪种图形关系？”（预设回答：相似）。

7.8.追问：“它们仅仅是相似吗？请再深入观察，每组中两个图形的‘位置’有什么特别的关系？尝试用语言描述你的发现。”

9.动手初探，聚焦特征：

1.10.发放学习单，任务一：请在图1（已印刷一组简单的位似三角形，位似中心在图形外）中，用直尺连接两个三角形的各个对应顶点（如A和A‘，B和B’，C和C‘）。你发现了什么？再测量一下对应边，看看它们的位置关系。

2.11.学生独立操作、测量，小组内交流发现。

3.12.教师请小组代表分享：发现所有对应点连线相交于同一点O；对应边看上去是平行的。

4.13.教师利用GeoGebra动态重现学生的操作，并强调：“这种所有对应点连线都通过同一个固定点的特殊相似，就是我们今天要深入研究的图形变换——位似。这个公共点O称为‘位似中心’。”

【设计意图】从多学科的现实情境出发，让学生在熟悉的“相似”认知基础上，发现新的、更特殊的“位置”特征，制造认知冲突，激发探究欲。简单的动手操作让学生亲身体验关键特征，为概念抽象积累感性材料。

（二）合作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.归纳定义，明晰要素：

1.2.基于以上观察，教师引导学生尝试用自己的语言描述“位似图形”。

2.3.小组讨论后，师生共同提炼、完善，给出严谨的数学定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。

3.4.教师板书定义，并圈出三个关键词：“相似”、“对应点连线共点”、“对应边平行”。强调三者是位似图形的一体多面。

5.概念辨析，深化理解（突破难点一）：

1.6.探究活动：教师通过GeoGebra展示四组动态图形，学生以小组为单位判断是否为位似图形，并说明理由。

1.2.7.案例A：明显满足三个条件的标准位似图形。（是）

2.3.8.案例B：满足相似、对应边平行，但故意将对应点连线做成不交于一点（平移相似）。（不是）

3.4.9.案例C：满足相似、对应点连线共点，但对应边不平行（旋转相似）。（不是）

4.5.10.案例D：两个全等三角形，对应点连线共点且对应边平行。（是，位似比为1的特殊位似）

6.11.小组辩论后，教师总结：“相似”是位似的前提，“对应点连线交于一点”和“对应边平行”是位似区别于一般相似的“位置”特征，且这两个特征可以互相推导，本质上是等价的。

7.12.引入位似比概念：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比（即位似图形的相似比），称为位似比。记作k。强调k有正负之分（同侧为正，异侧为负），其绝对值等于缩放倍数。

13.寻找与命名：

1.14.任务二：在学习单提供的几组位似图形中，标出位似中心O，并测量计算位似比k（原图到新图）。

2.15.学生实践，教师巡视指导，关注测量和计算的准确性。

【设计意图】此环节是概念形成的核心。通过学生自主归纳、正反例深度辨析、动态软件验证，使学生经历概念的“打磨”过程，深刻理解位似的本质内涵，突破形式化记忆，达成深度理解。明确位似比的概念为作图奠基。

（三）探究画法，掌握技能（预计时间：18分钟）

1.问题驱动，引出画法需求：

1.2.教师：“我们已经能识别位似图形了。现在，如果给定一个△ABC，一个点O，和一个比例k=2，你能画出以O为位似中心，位似比为2的△ABC的位似图形吗？”

3.探索同侧位似画法（k>0）：

1.4.小组探究：学生分小组讨论画法策略。教师提示：“位似图形的关键特征是‘对应点连线过位似中心’。如何确定新图形的顶点？”

2.5.学生可能提出方法：连接OA、OB、OC并延长，在其上截取OA‘=2OA，OB’=2OB，OC‘=2OC，再连接A’B‘C’。

3.6.教师请一组学生上台演示讲解。教师追问：“为什么这样画出来的一定是位似图形？如何验证对应边平行？”引导学生用理论解释（根据作图，对应点连线过O，由三角形中位线或相似可证对应边平行）。

4.7.归纳步骤：师生共同总结“取点法”作图步骤：

1.5.8.1.2.6.9.连接位似中心O与多边形的各顶点（如A，B，C）。

3.7.10.1.4.8.11.分别在线段OA，OB，OC（或其延长线）上，按位似比k截取点A‘，B’，C‘，使OA’/OA=OB‘/OB=OC’/OC=k。

5.9.12.1.6.10.13.顺次连接点A‘，B’，C‘，所得图形即为所求。

11.14.学生在学习单上实践练习。

15.挑战异侧位似画法（k<0）（突破难点二）：

1.16.教师提出新问题：“如果位似比k=-2，又该如何画呢？这里的‘负号’在图形上意味着什么？”

2.17.引导学生联系导入中的“小孔成像”（倒立实像）：像与物在孔的两侧，像的大小可能是物的2倍，但方向是颠倒的。

3.18.类比猜想：学生猜想：k为负，可能意味着新图形在位似中心O的另一侧。

4.19.验证探究：学生尝试修改画法。关键发现：截取点时，应在反向延长线上截取。即OA‘=2OA，但A’在OA的反向延长线上。

5.20.教师利用GeoGebra动态演示k从正到负连续变化的过程，让学生直观感受图形如何从同侧缩放平滑过渡到异侧缩放并翻转。

6.21.归纳升华：教师总结：位似比k的符号决定了位似图形与位似中心的相对位置。k>0，在位似中心同侧；k<0，在位似中心异侧。画法步骤统一为：连接并（按k的绝对值）截取，但截取方向根据k的符号决定（同向或反向）。

22.总结与变式：

1.23.教师提问：“画一个图形的位似图形，最关键的是什么？”（抓住关键点的变换）。

2.24.变式思考：如果位似中心O在多边形内部，画法还一样吗？学生快速思考，得出方法一致的结论。

【设计意图】画法教学不是机械的步骤传授，而是解决问题的策略探究。通过从特殊（k>0）到一般（k可正可负）的探索过程，让学生自主发现画法原理，特别是利用“负号”与“异侧”的关联，巧妙化解难点。动态演示将抽象的“k的符号”意义可视化，建立了牢固的数形结合认知。

（四）典例精析，综合应用（预计时间：10分钟）

1.例题示范：

1.2.例1（识别与计算）：如图，四边形ABCD与四边形A‘B’C‘D’是位似图形，O是位似中心。若OA:OA‘=3:4，(1)求位似比k（从ABCD到A’B‘C’D‘）；(2)若AB=6cm，求A’B‘；(3)若S_ABCD=27cm²，求S_A’B‘C’D‘。

2.3.教师引导学生分析：首先要明确求的是哪个图形到哪个图形的位似比（顺序！）。然后利用位似比是对应线段比也是面积比的平方根进行求解。强调解题的规范性。

4.小组挑战：

1.5.例2（作图与设计）：学习单上有一个五角星图案和一点P。请以点P为位似中心，完成以下任务：

1.2.6.(1)画出这个五角星的同侧位似图形，位似比为0.5。

2.3.7.(2)画出这个五角星的异侧位似图形，位似比为-0.5。

3.4.8.(3)比较两个新图形与原图形的位置、大小和方向关系。

5.9.学生小组合作完成，教师巡视，重点关注异侧作图时反向延长线的使用。完成后选择有代表性的作品通过实物投影展示、互评。

【设计意图】例1巩固概念，将位似比与线段长、面积计算联系起来，提升综合运用能力。例2是作图法的综合应用与对比，通过亲手绘制和对比观察，让学生对k的几何意义产生更深刻的身体记忆。

（五）课堂小结，体系初建（预计时间：5分钟）

1.知识树梳理：教师引导学生以思维导图形式共同回顾本节课内容。

1.2.中心主题：位似变换

2.3.主干1：概念（定义、三要素：相似、共点、平行）

3.4.主干2：要素（位似中心O、位似比k（符号意义））

4.5.主干3：画法（步骤、关键、k>0与k<0的区别）

6.思想方法提炼：教师引导学生反思学习过程中用到的数学思想方法：从特殊到一般、类比、转化（化整体为关键点）、数形结合、模型思想等。

7.悬念与延伸：教师提问：“我们今天画的位似图形，位似中心都是任意点。如果我把位似中心放在直角坐标系的原点，那么位似图形的坐标会有什么规律？这又能给我们带来哪些更强大的功能？”（为下节课“坐标系中的位似”埋下伏笔）

（六）分层作业，拓展延伸

【基础巩固】（必做）

1.阅读教材，整理本节课笔记，复述位似定义、要素及画法步骤。

2.教材课后练习题：第1题（识别），第2题（简单作图）。

【能力提升】（选做）

3.探究题：利用位似原理，设计一个方案，测量校园内一棵大树的高度。要求画出测量示意图，并写出计算高度的公式。（提示：可利用一面小镜子进行“镜面测高”，本质是小孔成像位似模型）。

4.艺术与数学：查找荷兰画家埃舍尔（M.C.Escher）的作品，找出其中运用了位似原理（无限缩放）的画作，写一篇简短的赏析（100字左右）。

【实践创新】（小组合作选做）

5.用GeoGebra软件创作一幅包含位似变换元素的动态图案，并简要说明创作思路。

六、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在情境导入中的反应、探究活动中的参与度、讨论的深度、作图操作的规范性。

2.3.《课堂探究学习单》完成情况：评估学生的观察记