2026年高考考前预测卷-数学（北京卷01）（考试版）

/2026年高考考前预测卷数学试卷特点：【新定义】创设全新数学概念，考查抽象概括与迁移应用能力试题通过定义**全新数学概念/规则**，要求考生快速理解定义内涵，结合已有知识解决问题，侧重考查抽象概括、逻辑推理和知识迁移能力，此类题型集中在填空题和解答题压轴位置，难度偏高。1、第15题（冰雹猜想）：定义“冰雹猜想”的递推关系，结合数列递推、周期数列、反向推理等知识设计结论判断，考生需先吃透“雹程”“奇偶递推规则”，再逐一验证四个结论，考查对新定义的快速理解和数列知识的综合应用。2、第21题（阶跳跃等差数列）：首次定义“k阶跳跃等差数列”（存在正整数k，对任意正整数n，满足an+k【新情景】结合现实生活/实际应用，考查数学建模与解决实际问题能力以现实生活、生产实践、科技发展为背景创设问题情景，将数学知识融入实际问题，要求考生构建数学模型（如概率模型、函数模型、数列模型），将实际问题转化为数学问题求解，体现数学的应用性，此类题型分布在选择、解答题，难度中等至偏上。1、第8题（生产线工时问题）：以新技术生产的工时递减为背景，给出生产n件产品的平均工时函数，结合“工时递减速率”考查数列与函数的实际应用，考生需根据题意代入参数，化简求解平均工时之比，贴近工业生产实际。2、第18题（密室逃脱游戏）：以当下热门的密室逃脱为背景，结合独立事件概率、数学期望设计问题，涉及“报名费、奖励、通关币购买与回收”等实际经济元素，要求考生分情况讨论通关概率、计算收益期望，构建概率模型解决实际问题，情景贴近生活，趣味性与综合性兼备。第14题（祖暅原理与半球壳漂浮）：以祖暅原理为背景，结合空心铁质半球壳的水中漂浮问题，考查几何体体积的求解，要求考生利用祖暅原理将不规则几何体的【新考法】突破传统命题形式，考查知识综合与灵活解题能力打破传统单一知识点的命题形式，通过“多知识点融合”“条件选择性求解”“逆向设问”“存在性问题”等创新考法，考查考生的知识综合运用、逻辑推理和灵活解题能力，此类题型覆盖全题型，是试卷的核心考查维度。选择题/填空题新考法1、第7题（直线与圆的存在性问题）：将直线上的点、圆上的点与向量垂直结合，通过设点坐标转化为一元二次方程的有解性问题，考查直线、圆、向量、二次方程判别式的综合应用，突破传统直线与圆的位置关系考法。2、第9题（等比数列与基本不等式）：将等比数列通项与基本不等式结合，化简后求最值，打破传统等比数列单一求项、求和的考法，考查等比数列与不等式的综合应用。3、第10题（伯努利双纽线）：以新曲线为背景，将解析几何、向量数量积、余弦定理、三角形面积综合，设计“不正确结论判断”，突破传统圆锥曲线的考法，考查曲线方程推导和几何性质分析能力。4、第13题（分段函数的双问考查）：一道题同时考查分段函数的值域和零点个数问题，结合导数研究函数单调性，通过数形结合求解，突破传统单一考查函数性质的考法。解答题新考法1、第17题（三角函数的条件选择性求解）：给出三个条件（奇函数、相邻对称轴距离、f0=0），要求2、第20题（函数极值与零点的多问证明/求解）：函数题分三问，先证明唯一极值点，再证明零点相关不等式，最后结合极值点求参数范围，采用**“多次求导、隐零点代换、分类讨论”**等方法，突破传统函数单一求极值/零点的考法，考查导数的综合应用和逻辑证明能力。3、第19题（椭圆与三角形面积最值）：将椭圆与直线相交、点动成线、垂线交轴、三角形面积最值结合，考查椭圆方程、联立方程求根、点到直线距离、基本不等式求最值，突破传统椭圆单一求轨迹、弦长的考法，考查解析几何的综合运算能力。【跨学科】融合其他学科知识，考查学科交叉与综合应用能力将数学知识与物理、历史、工程学等其他学科知识融合，打破学科边界，考查考生的跨学科综合应用能力，体现数学作为基础学科的工具性，此类题型分布在填空、选择题，难度中等。1、第14题（数学+物理+历史）：融合数学的祖暅原理、几何体体积，物理的浮力与物体浸入水中的深度，历史的中国古代数学成就，考查跨学科知识的结合应用，体现数学与物理、历史的关联性。2、第8题（数学+工程学）：融合数学的数列、函数，工程学的生产线工时、生产效率，将工业生产中的工时递减问题转化为数学问题，考查数学在工程学中的应用。3、第18题（数学+经济学）：融合数学的概率、期望，经济学的成本、收益、回收，将密室逃脱的消费、奖励转化为概率期望模型，考查数学在经济生活中的应用。【创新题】设计新颖问题形式/解题思路，考查创新思维与探究能力试题通过“新颖的问题形式、独特的解题思路、开放性的设问”设计创新题，要求考生跳出常规解题思维，进行自主探究、逻辑推理和创新求解，此类题型集中在压轴题（填空15题、解答20/21题），难度偏高，侧重考查数学核心素养和创新思维。1、第15题（冰雹猜想）：以著名的数学猜想为背景，设计反向推理问题（已知a72、第21题（阶跳跃等差数列）：全新定义数列类型，将新定义与概率、数列求和、不等式证明综合，最后一问要求证明Pn3、第20题（函数零点与极值点）：利用隐零点代换证明不等式，结合极值点的范围求参数取值，需要考生多次求导研究函数单调性，通过构造新函数求解，解题思路独特，考查考生的创新解题能力和逻辑推理能力。4、第10题（伯努利双纽线）：以非圆锥曲线的新曲线为背景，设计多项性质判断，要求考生自行推导曲线方程，结合向量、余弦定理分析几何性质，打破传统解析几何的圆锥曲线考法，考查考生的自主探究和知识迁移能力。本试卷五大创新维度相互融合、层层递进，新定义侧重抽象概括，新情景侧重数学建模，新考法侧重知识综合，跨学科侧重学科融合，创新题侧重创新思维，全面考查考生的数学核心知识、基本方法和学科素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）。试题难度梯度合理，基础题考查核心知识，中档题考查综合应用，压轴题考查创新思维，符合高考北京卷的命题特点和趋势，兼具基础性、综合性、应用性和创新性。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知焦点为F的抛物线上有一点A，满足，则的面积为（

）A． B． C．2 D．4．已知，则（

）A． B．1 C．32 D．2435．已知数列是公差不为零的等差数列，若，，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．在中，已知，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为（

）A．0 B．2 C．3 D．48．随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（

）A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.69．已知等比数列，其公比，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．10．如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（）A．若是曲线上一点，且在第一象限，则B．当时，的最大值是（为坐标原点）C．曲线C的方程是：D．面积的最大值是.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．在中，，，，则________．12．已知双曲线的渐近线方程为，则__________.13．已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________.14．祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______．15．任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有①．若，则使得需要步“雹程”;②．若，则;③．若，则数列的前项和为;④．若，则m的所有可能取值之和为.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（13分）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.(1)证明：平面平面；(2)当时，求平面与平面所成角的正弦值.（13分）已知函数下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，并解出以下问题：①为奇函数;②图象的相邻两对称轴间的距离为;③f(0)=0(1)求的解析式.(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.18．（14分）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．（3）请比较“不购买通关币的收益期望值E1”与“购买1枚通关币的收益期望值E219．（15分）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.(1)求椭圆的方程;(2)直线