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文档简介

极值和最大、最小值问题属于优化问题范畴,它是一种简单的优化问题.

多元函数的极值

无条件极值条件极值

变量替代法

拉格朗日乘数法5.4.1无条件极值则称该函数在点P处有极大值内有定义,对于该邻域内异于点的任意点若恒有在点定义设函数的某邻域为极大值点。(极小)(极小)说明：极值点一定是区域的内点，而不是边界点。极值定义极大值与极小值统称为极值.如函数在点处取得极大值.极大值点与极小值点统称为极值点.极大值极值定义解在点(0,0)的某邻域内，

求二元函数极值函数的具有偏导数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。的驻点.称为函数使同时成立的点则有定理1

(极值存在的必要条件)

设函数在点的某邻域有定义，且存在一阶偏导数,若为极值点，极值必要条件说明

例如：双曲抛物面（马鞍面）显然：即点（0，0）是函数的驻点。但函数在（0，0）不取得极值。二元函数极值如：在(0,0)点其偏导数不存在，但在该点有极小值.偏导数不存在的点也可能是极值点。极小值z=0问题：如何判定一个驻点是否为极值点？二元函数极值定理2

(极值存在的充分条件)设函数有驻点,且在点(a,b)的某邻域内有存在二阶连续偏导,记(1)若则(a,b)是极值点,且A<0时(a,b)是A>0时(a,b)是极小值点.(2)若则(a,b)不是极值点.(3)若情况不定.则有极大值点;极值充分条件求二元函数极值步骤解由解得驻点例2

求函数

的极值．求二元函数极值

求二元函数极值由得驻点(120，80)．求二元函数极值1.求函数在D

内的所有驻点和不可导点2.计算在所有驻点和不可导点的函数值3.计算在D

的边界上的函数值4.上述函数值相互比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法5.4.2多元函数的最大值与最小值(1)根据实际问题建立函数关系，确定其定义域;(2)求出驻点;(3)结合实际意义判定最大、最小值．对于实际问题中的最值问题，如果从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，并且，如果函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．求实际问题中的最值问题的步骤多元函数的最大值与最小值现需用钢板制造容积为2m3的有盖的长方体水箱,问当长、宽、高各为多少时用料最省？解设长方体的长、宽、高分别为则从而水箱表面积为令故当水箱的长、宽、高均为时,用料最省.解得惟一驻点多元函数的最大值与最小值例

理解多元函数极值是局部的最值对二元函数极值的几点认识

理解多元函数的最大最小值

会求无条件极值1、求函数的极值；2、某

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