高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 学案（无答案）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质学案重难点：通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质；能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题；能够解决简单的函数性质的综合问题．复习1.正弦函数y=sinα的定义域；余弦函数y=cosα的定义域为正切函数y=tanα的定义域为2.(1)正弦函数y=sin、、、、。(2)余弦函数上的图象中有五个关键点：、、、、。3.(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（3）正弦函数是，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是.（4）余弦函数是，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是.4.正弦函数是，余弦函数是．(填奇函数或偶函数)二．新课讲解1.你能作出正弦函数y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的函数图象吗？由上图我们发现，区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))正好是函数的一个周期，其中在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减．类似地，我们通过观察余弦函数在一个周期[－π，π]上的函数值的变化规律，可知y＝cosx在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减．2.正弦函数、余弦函数的性质y=cosxx∈[0,2π]图象定义域值域周期奇偶性对称轴单调性在上是增函数在上是减函数在上是增函数在上是减函数最值的值当，最大值是。当，最小值是。当，最大值是。当，最小值是。注意点：(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．3.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin⁡(-π18)(3)coseq\f(15π,8)，coseq\f(14π,9)；(4)sin164°与cos110°；(5)cos1，sin1.解小结比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．4.(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A．sinα<sinβB．cosα<sinβC．cosα<cosβ D．cosα>cosβ(2)下列关系式中正确的是()A．sin11°<sin168°<cos10°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<cos10°<sin168°D．sin168°<cos10°<sin11°5.（1）求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的单调区间．(2)求函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，x∈[0,2π]的单调区间．(3)求函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的单调递增区间．小结求正弦、余弦函数的单调区间的策略=1\*GB3①结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．=2\*GB3②在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．6.(1)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，x∈[0,2π]的单调递减区间为________________．(2)求函数y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的单调区间．7.(1)下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值．=1\*GB3①y=cosx+1,x∈R=2\*GB3②y=-3sin2x,x∈R(2)已知函数f(x)＝asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b(a>0)．当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为eq\r(3)，最小值是－2，求a和b的值．小结三角函数的值域(最值)问题的求解方法=1\*GB3①形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．=2\*GB3②形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．=3\*GB3③求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)型的函数求值．(3)求函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域．8.(1)求二次函数的最值，需要明确哪些方面？提示开口方向，对称轴，函数的定义域．(2)同角三角函数的平方关系是什么？提示sin2α＋cos2α＝1.9.(1)函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________．(2)函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值．(3)已知y＝sin2x＋2cosx－2，x∈R，求函数的值域．小结求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．（4）函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cosx－eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．10.求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,4)))的对称轴、对称中心．11.若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π②图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；③在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))D.y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))小结研究三角函数的几个方面整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑．二、课后作