排列数课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数第六章

计数原理新课导入前面我们根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越繁琐了，是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？从

n

个不同元素中取出

m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从

n

个不同元素中取出

m

个元素的排列数，用符号An

表示.m一、排列数的定义An

m排列的第一个字母元素总数取出元素数(排列：arrangement)m，n所满足的条件是：(1)m，n∈N*

；(2)m≤n.例如，前面问题1是从4个不同元素中任取2个元素的排列数为

4×3＝12，可记作概念讲解An

m排列的第一个字母元素总数取出元素数A4

2

＝4×3＝12又如，问题2是从3个不同元素中任取2个元素的排列数为

3×2＝6，可记作：A3＝3×2＝62概念讲解思考：排列与排列数相同吗？所以

表示排列数，是所有排列的个数，不表示具体的排列.如：从

4

个不同的元素

a，b，c，d

中任取

2

个元素的排列有：ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc

共12个，每一个都叫做一个排列，它不是数12叫做这个排列的排列数，它是一个数A7

5＝?＝?An

m新知探究问题：(1)已知如何求排列数？A3＝3×2＝6，2A4

2

＝4×3＝12，An

2第1位第2位n种(n-1)种An

2＝n(n－1)可以按依次填

2个空位得到：第1位第2位第3位n

种(n-1)种(n-2)种同理，排列数

可以按依次填

3个空位得到：An

3An

3＝n(n－1)(n－2)新知探究问题：(2)类比排列数

和

的方法，排列数

是多少？An

2An

3An

m......n

种(n-1)种(n-2)种n-(m-1)种第1位第2位第3位第m位......排列数公式An

m＝n(n－1)(n－2)···(n－m＋1)

m，n∈N*，m≤n.Anm＝n(n－1)(n－2)···(n－m＋1)，

m，n∈N*，m≤n.1.公式中是

m个连续正整数的连乘积；2.连乘积中最大因数为

n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).根据排列数公式，可以计算A5＝5×4＝20，2A8＝8×7×6＝3363排列数公式的特征：二、排列数公式正整数

1到

n的连乘积叫阶乘，用

n!表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成

把

n个不同元素全部取出的一个排列叫全排列。此时

m＝n全排列数:概念讲解也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积1×2×···×n.Ann＝n×(n－1)×(n－2)×···×2×1另外，规定：0!＝1An＝n！

n典例剖析例1

计算：(1)；(2)；(3)；

(4).A73A74A77A44A6×4A22解析：根据排列数公式，可得：＝7×6×5＝210A73(1)＝7×6×5×4＝840A74(2)＝

＝7×6×5＝210(3)A77A447!4!A6×4A22＝6×5×4×3×2×1＝6!＝720(4)变式训练练习1计算：A124(1)；A88(2)；A155－15A144(3)；A127A126(4).解析：A124(1)＝12×11×10×9＝11880A88(2)＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40320A155－15A144(3)＝15×14×13×12×11－15×14×13×12×11＝0A127A126(4)＝612×11×10×9×8×7×612×11×10×9×8×7＝公式理解思考：由例1可以看到，排列数公式的阶乘形式：连乘形式一般用于计算，阶乘形式用于化简或证明.Anm观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？变式训练练习3

已知,则n＝.An＝132

212解析：An＝n(n－1)＝132，

2即n2－n－132＝0，解得n＝12，或n＝-11(舍去)C练习2

乘积

5×6×7×···×12＝()A.B.C.D.A128A125A127A124变式训练练习3一个火车站有

8股岔道，如果每股道只能停放

1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?解析：要停放

4列不同的火车，需要从

8股岔道上任选

4

股岔道，所以不同的停放方法有变式训练练习4某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？解析：从6个门中选取进出各一个门，有

种不同的

进出方式.典例剖析例2

用

0~9

这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在0~9

这10个数字中，因为

0不能在百位上，其他

9个数字可以在任意数位上，因此

0是一个特殊元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.典例剖析例2

用

0~9

这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：如图，由于百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第①步，确定百位上的数字，可以从

1~9

这9个数字中取出1个，有

取法；百位十位个位种A91A92A91第②步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有取法.种A92根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A92A91×＝9×9×8＝648特殊位置法典例剖析例2

用

0~9

这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法2：分为三类：①每一位数字都不是0；

②个位上的数字都是0；

③十位上的数字都是0.百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位A93A92A92A93A92A92＋

＋

＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：特殊元素优先法典例剖析例2

用

0~9

这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法3：从

0~9

这10个数字中选取3个的排列数为A103其中0在百位上的排列数为A92，即所求三位数的个数为A103百位十位个位A92百位十位个位0A92A103－

＝10×9×8－9×8＝648间接法方法归纳带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数分步先分类后分步变式训练练习5有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A.12种

B.24种

C.48种

D.120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A4＝24(种).4B变式训练练习6植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为(

)A.30 B.36 C.40 D.42C变式训练练习7用数字2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A.

120

B.

72

C.

60

D.

48B课堂总结1.排列数公式：2.全排列数:3.阶乘：正整数1到n的连乘积

1×2×···×n称为n的阶乘，用

表示，4.排列数公式的阶乘形式：即课后练习1.等于()A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3A93C2.89×90×91×92×…×100可表示为()C课后练习3.从

5人中选

3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？解法一:(特殊元素法)第一类:不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有

种；第二类:选甲，先排甲有

种，然后从剩下的4人中选2人排列有种，则共有

种；所以共有

种不同的排列方法.＋

＝4×3×2＋2×4×3＝48课后练习3.从

5人中选

3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？解法二:(特殊位置法