直线与平面垂直课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直（1）学习目标：（1）理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。（2）掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。（3）掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。

碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦。大漠孤烟直，长河落日圆。垂直构图一、创设情境、揭示课题

旗杆与底面“竖直的”

“一条直线不向平面的任何一面倾斜，则直线与平面垂直.”——克莱罗《几何基础》直线与平面垂直该如何定义呢？

观察：我们都知道，在阳光下直立于地面的树干及它在地面的影子，随着时间的变化，影子的位置也在不断变化。问题一：树干所在直线与影子所在直线是否垂直？垂直；基于基本事实，随着时间的变化，树干所在直线始终垂直影子所在直线。思考:树干所在直线与平面内所有直线都垂直吗？二、直线与平面垂直的定义

垂直

垂线垂足垂面注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．很难利用定义证明线面垂直，能否找到充分条件判定直线与平面垂直？二、直线与平面垂直的定义

一条直线和平面内两条平行直线垂直，不能确保线面垂直；思考：一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？直线的条数和方向

三、直线与平面垂直的判定定理

追问：一条直线和平面内两条相交直线垂直，能确保线面垂直吗？三、直线与平面垂直的判定定理

三、实验探究

三、实验探究

作用：判定线面垂直

判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。符号语言图形语言转化思想“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化三、直线与平面垂直的判定定理

五个条件缺一不可本质：由线线垂直（两次）得到线面垂直

一、判断题（若不正确请举出反例）---

概念辨析1、如果直线b与平面α内的无数条直线都垂直，则直线与平面互相垂直；不正确2、如果直线b和平面α内的两条直线都垂直，则直线与平面互相垂直。不正确解题技巧：线面垂直的定义中，一定是垂直于面内任意/所有直线；线面垂直判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，相交两字必不可少，否则，就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.

题型一：线面垂直的定义及其判定定理的理解

例1：如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，∠ABC=90°，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：SD⊥平面ABC；证明:

E题型二：线面垂直判定定理的理解及应用

证明:

E题型二：线面垂直判定定理的理解及应用∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，又由(1)知SD⊥BD.又∵SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.

解题技巧：（1）线面垂直证明步骤：分析题目（有效信息）-->面内找线（辅助线）-->证明线线垂直-->证明线面垂直（判定定理）（2）线线垂直证明方法：①初等几何图形性质（如等腰三角形三线合一）

②线面垂直的定义（如异面直线）（3）线面垂直的定义与判定定理的关系题型二：线面垂直判定定理的理解及应用【特别提醒】要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（线面角）Pl斜线斜足垂线射影AO五、直线与平面所成角斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上.思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？Plll五、直线与平面所成角五、直线与平面所成角BAOPC五、直线与平面所成角BAOPC五、直线与平面所成角【解析】ABCDA1B1C1D1O题型三：直线与平面所成角【解析】ABCDA1B1C1D1O题型三：直线与平面所成角【详解】【变式】题型三：直线与平面所成角【反思感悟】求直线与平面所成的角的步骤(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角．(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角．(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．题型三：直线与平面所成角能力提升训练CAMB能力提升训练教材152页变式3.如图，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，

A′C⊥B′D′？解：连接AC,BD,当AC⊥BD时,

A′C⊥B′D′.理由如下：∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，

AA′⊥底面ABCD.BD

⊂底面ABCD，∴AA′⊥BD.若AC⊥BD，而AA′∩AC=A.则BD⊥平面AA′C，而A′C

⊂平面AA′C，∴则BD⊥A′C.又∵BB′//DD′，且BB′=DD′，∴四边形BB′D′D是平行四边形，∴BD//B′D′，因此B′D′⊥A′C.DACA'B'C'D'B能力提升训练4.过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.

(1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心.(2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点.(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心.BCPAO•BCPAO•BCPAO•DFE外中垂教材152页能力提升训练六、课堂总结8.6.2直线与平面垂直性质（2）学习目标：（1）理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角。（2）掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。（3）掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题。abc

在初中，我们已经学习了：垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间当中是否仍然适用？

一、复习引入

已知直线和平面垂直，根据添加条件写出合适的命题，并判断真假.线面垂直的性质定理

一、复习引入线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（1）图形语言

（2）符号语言

aαb线面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.二、直线与平面垂直的性质下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m.性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b.(性质定理)性质3：若a⊥α，c

α，且c⊥a，则c//α.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.αβ二、直线与平面垂直的性质

例1

如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.证明：αAA1βBB1l

过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1//BB1.设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.∵l//α，∴l//A1B1，∴四边形AA1B1B是矩形，∴AA1=BB1.∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等.

通过此例题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离.

如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离.二、直线与平面垂直的性质αAA1BB1练习1：已知A,B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α.解：过A,B两点分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.则又A1B1

⊂α，又AA1//BB1.∴AB//α.∴AB//A1B1.∴四边形AA1B1B是矩形.AA1=BB1，教材155页二、直线与平面垂直的性质1.点到平面的距离如图，过P点向平面α作垂线，垂足为A，线段PA的长称为点P到平面α的距离.2.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.alAB3.平面到平面的距离如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离叫做这两个平行平面间的距离.三、空间中的距离

作高求高等积求高确定平行关系，转化为点到平面的距离三、空间中的距离

三、空间中的距离ADBCA′B′C′D′OO′P(S′,S,h分别是棱台的上下底面积和高)例2推导棱台的体积公式四、棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离)1.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点.求证：DF//平面ABC.DAFBECM教材155页解：

取AB的中点M，连接FM，CM.∴DF//平面ABC.∴DF//CM.∴四边形DCMF是平行四边形.由F是EB的中点可得，EA

2FM.

又EA

2DC，∴FM

DC，又DF

平面ABC，CM⊂平面ABC，五、课堂练习2.求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)证明：已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α//β.γa′aδb′bβαm教材155页设平面α,β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α,β分别相交于直线a,b.

∵a⊥l，b⊥l，又a,b,l都在平面γ上，∴a//b，∴a,b分别是平面α,β上任意两条交线，∴

α//β.五、课堂练习五、课堂练习五、课堂练习

五、课堂练习O五、课堂练习O五、课堂练习求点到平面的距离的方法：

从