2024-2025学年广东深圳龙华中学高二下学期第一次段考数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.）1．（5分）过点（0，0）和点（0，1）的直线倾斜角为（）A．45° B．90° C．135° D．0°2．（5分）已知非零向量a→=(2，3，−1)和b→A．﹣6 B．6 C．−103 3．（5分）若直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0平行，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣34．（5分）已知点C的坐标为（1，1），动点P满足|PC|=22，O为坐标原点，则|OPA．42 B．32 C．225．（5分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a8＝16，则S13＝（）A．13 B．45 C．104 D．1306．（5分）曲线f（x）＝x3+x2﹣2在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝x+3 D．y＝﹣x﹣17．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（e1﹣x）′＝e1﹣x B．（cos3x）′＝﹣sin3x C．（x−1）′=2x−1 D．（xlnx8．（5分）用0、1、2、3、4这5个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有（）A．36个 B．72个 C．48个 D．60个二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）（多选）9．（6分）已知双曲线C：x2a2−y23a2=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若|FA．a＝1 B．C的虚轴长为23C．e=2D．C的一条渐近线的斜率为3（多选）10．（6分）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+x+a）（a∈R），则下列说法正确的是（）A．当a＝﹣2时，f（x）的极小值为f（﹣1） B．y＝f（x）+a为奇函数 C．当﹣2＜a＜0时，f（x）一定有三个零点 D．若直线y＝x﹣a与f（x）有三个交点x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0（多选）11．（6分）在二项式(1A．n＝8 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为116D．展开式中系数最大项为第3项和第4项三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T5＝32，则a3＝．13．（5分）设函数y＝f（x）的导数为y＝f′（x），若f′（x0）＝﹣2，则limk→0f(x14．（5分）某环保局派遣包括张三、李四、王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三、李四、王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2．（1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；（2）求点P到平面DEF的距离．16．已知椭圆C：y2a2+（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F的直线与椭圆C交于P，Q两点（直线PQ与坐标轴不垂直），过P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N，若直线PN与QM交于点H，证明：点H的纵坐标为定值．17．已知数列{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1，（1）请证明{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；（2）令bn＝（2n+1）（an+1），求数列{bn}前n项的和Tn．18．3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．（1）从中选出2名男生和2名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生互不相邻；（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；19．设函数f（x）＝lnx+a（x﹣1）（x﹣2），其中a为实数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；（3）设f（x）的两个不同的极值点为x1，x2，证明：f(x

2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCBBCADD二．多选题（共3小题）题号91011答案ABBCDABD一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.）1．【答案】B【解答】解：点（0，0）和点（0，1）横坐标相同，则过点（0，0）和点（0，1）的直线为x＝0，即其倾斜角为90°．故选：B．2．【答案】C【解答】解：∵a→⊥b→，∴化为3λ＝﹣10，解得λ=−10故选：C．3．【答案】B【解答】解：因为l1∥l2，直线l1：ax+3y﹣6＝0与直线l2：x+（a﹣2）y﹣2＝0，所以a（a﹣2）﹣3＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣3）（a+1）＝0，所以a＝3或a＝﹣1．当a＝3时，l1：3x+3y﹣6＝0，l2：x+y﹣2＝0，l1，l2重合；当a＝﹣1时，l1：﹣x+3y﹣6＝0，l2：x﹣3y﹣2＝0，符合题意．综上a＝﹣1．故选：B．4．【答案】B【解答】解：根据题意可得动点P的轨迹是以C（1，1）为圆心，半径r=22又|CO|=1所以|OP|的最大值为|CO|+r=2故选：B．5．【答案】C【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6+a8＝16，由等差数列的性质，a1+a13＝a6+a8，所以S13故选：C．6．【答案】A【解答】解：由f（x）＝x3+x2﹣2，可得f′（x）＝3x2+2x，则f′（﹣1）＝1，又f（﹣1）＝﹣2，所以所求切线方程为y+2＝x+1，即y＝x﹣1．故选：A．7．【答案】D【解答】解：（e1﹣x）′＝﹣e1﹣x，（cos3x）′＝﹣3sin3x，(x−1)′=12x−1故选：D．8．【答案】D【解答】解：根据题意，要求组成五位偶数，则其个位数字必须为0或2、4，分2种情况讨论：①、当个位数字为0时，将剩下的数字全排列，作为这个五位数的前四位，有A44＝24种情况，则此时有24个五位偶数，②、当个位数字为2或4时，个位数字有2种情况，首位数字不能为0，有3种情况，将剩下的数字全排列，作为这个五位数的中间三位，有A33＝6种情况，共有2×3×6＝36种情况，则此时有36个五位偶数，则可以组成24+36＝60个无重复数字的五位偶数；故选：D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AB【解答】解：由C：x设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1F2|＝2c，因为|F1F2|＝2e＝2ca，所以2c＝2c得a＝1，b2＝3a2＝3，c2＝4，故A正确；离心率e=ca=C的虚轴长为23，故B由C的渐近线方程为y=±3两条渐近线的斜率分别为3，−3，故D故选：AB．10．【答案】BCD【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x2+x+a），则f′（x）＝x2+x+a+（x﹣1）（2x+1）＝3x2+a﹣1，A选项：当a＝﹣2时，f'（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（﹣1）为极大值，故A错误；B选项：令g（x）＝f（x）+a＝x3+（a﹣1）x，所以g（﹣x）＝﹣g（x），故y＝f（x）+a为奇函数，故B正确；C选项：因为f'（x）＝3x2+a﹣1，当﹣2＜a＜0时，令x1=1−a所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，1）上单调递增，而f（0）＝﹣a＞0，f（1）＝0，所以f（x1）＜f（1）＝0，故f（x）在（0，x1）一定有一个零点，又因为f（x）在（﹣∞，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，而f（0）＝﹣a＞0，f（x2）＞f（0）＞0，又因为f（﹣2）＝﹣3（a+2）＜0，所以f（x）在（﹣2，x2）一定有一个零点（或直接利用三次函数的对称性得到f（x）有三个零点），故共有三个零点，故C正确；D选项：因为f（x）+f（﹣x）＝（x﹣1）（x2+x+a）+（﹣x﹣1）（x2﹣x+a）＝﹣2a，所以f（x）关于点（0，﹣a）对称，又直线y＝x﹣a也关于点（0，﹣a）对称，所以若直线y＝x﹣a与f（x）有三个交点x1，x2，x3，则由对称性可知x1+x2+x3＝0，故D正确．故选：BCD．11．【答案】ABD【解答】解：二项式(1(1x+则前3项的系数分别为Cn对于A，由题意可得2×1即n=1+n(n−1)8，解得n＝8或所以n＝8，故A正确；对于B，(1x+x2对于C，(1x+令k﹣4＝0，则k＝4，所以常数项为124⋅对于D，设展开式中第r+1项的系数最大项，则有12r⋅Cn所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】2．【解答】解：等比数列{an}的前n项积为Tn，T5＝32，∴a1a1qa1∵等比数列中奇数项同号，偶数项同号，∴a3＝2．故答案为：2．13．【答案】12【解答】解：因为f′（x0）＝﹣2，以limk→0f(x0−12故答案为：1214．【答案】18774．【解答】解：根据题意，安排张三、李四、王五的组合时，有如下4种情况：①当张三、李四、王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有C9②当张三、李四、王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有C9③当张三、李四、王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有C9④当张三、李四、王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有C9然后将三组人员分配到三个镇，有A3因此，所有的安排方法总数为（210+819+1260+840）×6＝18774．故答案为：18774．四、解答题（本大题共5小题，共77分）15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D（12，0，0），E（12，12，0），F（012，1），∴AP→=（0，0，2），DE→=（0，设面DEF的法向量为n→=（x，y，则y=0x=2z取z＝1，则n设PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝|225|（2）∵PF→=（0，12∴点P到平面DEF的距离d=|16．【答案】（1）y2（2）证明过程见解析．【解答】解：（1）因为椭圆E的下焦点为F（0，﹣2），其离心率为22所以a2解得a2＝8，b2＝4，则椭圆C的标准方程为y2（2）证明：设直线PQ的方程为y＝kx﹣2（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），此时M（0，y1），N（0，y2），联立y28+x24=1y=kx−2，消去y并整理得（此时Δ＝16k2+16（k2+2）＞0，由韦达定理得x1易知直线PN与QM的斜率均存在，则直线PN的方程为y=−y2−y1可得y==−2+2k故点H的纵坐标为定值﹣4．17．【答案】（1）证明见解析，an（2）Tn【解答】（1）证明：因为an+1＝2an+1，所以an+1+1＝2an+2＝2（an+1），结合a1+1＝4，可知{an+1}是以4为首项，公比q＝2的等比数列．由an+1＝4•2n﹣1＝2n+1，可得an＝2n+1﹣1；（2）解：由（1）可知bn＝（2n+1）（an+1）＝（2n+1）2n+1，所以Tn＝3•22+5•23+7•24+⋯+（2n+1）•2n+1…①，两边都乘以2，可得2Tn＝3•23+5•24+7•25+⋯+（2n﹣1）•2n+1+（2n+1）•2n+2…②，由①﹣②，得−Tn=3⋅22+2⋅(23+24+⋯+2n+所以−Tn=2⋅18．【答案】（1）432．（2）1440．（3）3600．（4）1440．【解答】解：（1）从3名男生中任选2名有C32种选法，从4名女生中任选2名有再将选取的4人排列有A44种排法，由乘法原理共有（2）先将女生全排有A44种，再从5个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有由乘法原理共有A4（3）先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有A22种，再与剩下的5个人排列有A619．【答案】（1）单调递增区间为(0，12)，(1，+∞)（2）(8（