2024-2025学年广东深圳实验学校光明部高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳实验学校光明部高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）（a1+a2）（b1+b2）（c1+c2+c3）（d1+d2+d3）完全展开后的项数是（）A．5 B．10 C．13 D．362．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）有四个极值点 B．（2，f（2））为f（x）的极大值点 C．函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增 D．函数f（x）在（﹣2，0）上单调递减3．（5分）下列数中，与AmA．A55⋅CC．Am−15+4．（5分）已知a=ln44，b=1e，c=23lnA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a5．（5分）深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（）种分配方式．A．C7B．C7C．C7D．C6．（5分）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：y＝ex在点（0，1）处的切线为y＝x+1，如图所示，易知除切点（0，1）外，y＝ex图象上其余所有的点均在y＝x+1的上方，故有ex≥x+1，该结论可通过构造函数f（x）＝ex﹣x﹣1并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（）①∀x＞0，ex﹣1≥lnx+1；②∀a∈R，∀x∈R，ex≥ea（x﹣a+1）；③∀x∈R，cosx≥1−1④∀x＞0，xex≥x+lnx+1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）已知f(x)=(2x−3)ex−12A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）8．（5分）已知0＜x＜y＜π，且eysinx＝exsiny，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A．y＜π4 B．C．cosx+cosy＞0 D．sinx＞siny二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。（多选）9．（6分）下列求导运算正确的是（）A．(ln2)′=12 B．C．（cosx）′＝﹣sinx D．（e2x）′＝e2x（多选）10．（6分）已知二项展开式(1−x)A．a0＝1 B．a1+a2+⋯+a2025＝0 C．a0D．|（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3+ax2+3x+1（a∈R），则下列说法正确的是（）A．曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝3x+1 B．当a＝﹣3时，x＝1是f（x）的极值点 C．存在实数a，使得f（x）的图象关于点（0，1）对称 D．若f（x）在区间[12，3]三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有种午餐安排方式．（答案用数字表示）13．（5分）在（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）11的展开式中，含x2项的系数为．（答案用数字表示）14．（5分）已知过点（2，b）不可能作曲线．y＝2ex的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数f（x）=axlna−b2x2四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示）（1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？（2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？（3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？（4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？16．（15分）如图所示，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若△BCD为正三角形，且AD＝CD，求平面BMC与平面ABD夹角的正弦值．17．（15分）已知函数f(x)=ae（1）a＝0时，证明：f(x)≤−(e+1)x+1（2）若函数f（x）的图象始终在直线y＝1上方，求a的取值范围．18．（17分）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图1为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图2的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…（1）设“三角垛”各层球数构成一个数列{an}，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列{an}：1，3，6，10，15，…，请写出an与an−1(n∈N∗（2）记杨辉三角的第n行所有数之和为bn，令cn=2anbnn+1（i）求Tn；（ii）若∀n∈N∗，19．（17分）牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f（x）＝0的根，选取x．作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线L，L的方程为y＝f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）．如果f′（x0）≠0，则L与x轴的交点的横坐标记为x1，称x1为r的一阶近似值．再过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为x2，称x2为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：x1，x2，⋯，xn，根据已有精确度ε，当|xn﹣r|＜ε时，给出近似解．对于函数f（x）＝x+lnx，已知f（r）＝0．（1）若给定x0＝1，求r的二阶近似值x2；（2）设x①试探求函数h（x）的最小值m与r的关系；②证明：m＜e

2024-2025学年广东省深圳实验学校光明部高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDCBBDAC二．多选题（共3小题）题号91011答案BCACDACD一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】D【解答】解：根据分步乘法原理，展开后的项数为C2故选：D．2．【答案】D【解答】解：由题意图中给出的是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，由图可知，x∈（﹣3，﹣2），x∈（0，2）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣3，﹣2）和（0，2）上单调递增，x∈（﹣2，0），x∈（2，4）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣2，0）和（2，4）上单调递减，所以函数f（x）的极大值点为﹣2，2，极小值点为0，故ABC错误，D正确．故选：D．3．【答案】C【解答】解：A55⋅Cm2=AmmAm−5m−5Am−1显然无论m取何值和Am5=Am5=故选：C．4．【答案】B【解答】解：设f(x)=lnxx，则当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．所以f（x）在x＝e时取到最大值，因为a=ln4又因为f（x）在（0，e）上单调递增，所以f(e)＞f(2)＞f(32)，即b＞a故选：B．5．【答案】B【解答】解：将7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，则先将7位校领导按要求分配，有C7再将18位老师按要求分配，有C18所以一共有C7故选：B．6．【答案】D【解答】解：对命题①：因为ex≥x+1，所以ex﹣1≥x恒成立，当x＞0时，有lnex﹣1≥lnx，即x﹣1≥lnx，所以ex﹣1≥x≥lnx+1在（0，+∞）上恒成立，且x＝1时取等号，①成立；对命题②：因为ex≥x+1，所以ex﹣a≥x﹣a+1，得ex≥ea（x﹣a+1），②成立；对命题③：设f(x)=cosx+12x2−1，则f′（x设h（x）＝﹣sinx+x，则h′（x）＝﹣cosx+1≥0恒成立，所以h（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又h（0）＝0，所以当x＜0时，h（x）＜0，当x＞0时，h（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＝0，所以f（x）≥0恒成立，即cosx≥1−12x对命题④：因为ex≥x+1，所以当x＞0时，ex+lnx≥x+lnx+1，即xex≥x+lnx+1，所以④成立．故选：D．7．【答案】A【解答】解：由已知可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，因为f（x）在(−∞，12]上单调递增，故f′（x故（2x﹣1）ex﹣ax+a≥0在(−∞，12]上恒成立，进而(2x−1)令g(x)=(2x−1)ex当x∈(0，1当x∈（﹣∞，0]，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）max＝g（0）＝1，故a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．8．【答案】C【解答】解：由0＜x＜y＜π，且eysinx＝exsiny得ex令f（x）=exsinx，（0＜x则f′(x)=e当0＜x＜π4时，f′（x）＜0，函数单调递减，当π＞x＞π4时，由f（x）＝f（y）得0＜x＜π4时，π4＜因为0＜x＜y＜π，ex＜ey，ex所以siny＞sinx＞0，故D错误，所以π4＜y＜π−x＜π，故所以cosy＞cos（π﹣x）＝﹣cosx，所以cosx+cosy＞0，故C正确．故选：C．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。9．【答案】BC【解答】解：对于A，（ln2）′＝0，故A错误；对于B，(1x)′=−对于C，（cosx）′＝﹣sinx，故C正确；对于D，（e2x）′＝e2x•（2x）′＝2e2x，故D错误．故选：BC．10．【答案】ACD【解答】解：二项展开式(1−x)对于A，令x＝0，则a0＝1，故A正确，对于B，令x＝1，则a0+a1+a2+⋯+a2025＝0，故a1+a2+⋯+a2025＝﹣1，故B错误，对于C，令x＝﹣1，则a0−a1+对于D，由(1−x)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025可知a0故选：ACD．11．【答案】ACD【解答】解：由题意可得f′（x）＝3x2+2ax+3，对于选项A，f′（0）＝3，f（0）＝1，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣0），即y＝3x+1，故A选项正确；对于选项B，当a＝﹣3时，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，无极值点，故B选项错误；对于选项C，若函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，则∀x∈R，f（x）+f（﹣x）＝2，又f（﹣x）＝﹣x3+ax2﹣3x+1，所以2ax2+2＝2恒成立，故a＝0，所以存在a＝0，使得f（x）的图象关于点（0，1）对称，故C选项正确；对于选项D，若f（x）在区间[12，3]内存在极值点，则f′（x）＝3x2所以a=−3x2−当x∈[12，1]时，h′（x）＞0，函数h当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，又ℎ(1所以要使得f′（x）＝3x2+2ax+3＝0有变号零点，则a的取值范围是（﹣5，﹣3），故D选项正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】1860．【解答】解：已知学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，则从7种菜品中选5种的排列数为A7周一排汤粉的排列数有A64=360周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有A5所以他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有2520﹣360×2+60＝1860．故答案为：1860．13．【答案】219．【解答】解：由题意，在（1+x）3+（1+x）4+⋯+（1+x）11的展开式中，含x2项的系数为C32+C4故答案为：219．14．【答案】e2．【解答】解：设(x0，2ex0y′＝（2ex）′＝2eˣ，所以曲线在点(x0，2所以曲线在点（x0，2ex0）处的切线方程为代入点（2，b）得b﹣2ex0=2ex0（2﹣x0），即b＝6e由于过点（2，b）不可能作曲线y＝2eˣ的切线，则直线y＝b与函数y＝6eˣ﹣2xeˣ的图象没有公共点，y′＝（6ex﹣2xex）′＝（4﹣2x）•ex，所以函数y＝6ex﹣2xex在区间（﹣∞，2）上导数大于零，函数单调递增，在区间（2，+∞）上导数小于零，函数单调递减，所以当x＝2时，函数y＝6ex﹣2xex取得极大值也即是最大值6e2﹣4e2＝2e2，则b＞2e2，对于满足此条件的任意的b，函数f（x）=axlna−b2x等价于f′（x）＝ax﹣bx+e2恒有两个不同的变号零点，等价于方程exlna﹣bx+e2＝0有两个不同的解，令t＝xlna，则et即直线y=blna与函数记g(t)=et+e2t，则记h（t）＝et（t﹣1）﹣e2，则h′（t）＝et（t﹣1）+et•1＝et•t＞0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，令h（t）＝0，得t＝2，所以当t∈（0，2）时，h（t）＜0，g′（t）＜0，g（t）单调递减，当t∈（2，+∞）时，h（t）＞0，g′（t）＞0，g（t）单调递增，所以blna所以lna＜b因为b＞2e2，所以be所以lna≤2⇒1＜a≤e2，所以实数a的最大值为e2．故答案为：e2．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．【答案】（1）240；（2）72；（3）180；（4）192．【解答】解：（1）由捆绑法可得，不同的作业完成顺序有A2（2）先安排理科学科有A33=6根据分步乘法计数原理可得6×12＝72种，即共有72种不同的作业完成顺序；（3）语文作业必须在数学作业之前完成有A6其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有360A即共有180种不同的作业完成顺序；（4）先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列，除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可，所以共有A2即共有192种不同的作业完成顺序．16．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）154【解答】（1）证明：过P作PE⊥BD于E，过Q作QF⊥CD于F，连接EF，因为AD⊥平面BCD，AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，PE⊂平面ABD，且PE⊥BD，所以PE⊥平面BCD，同理可得QF⊥平面BCD，所以PE∥AD∥QF，又P为BM中点，所以PE=1由AQ＝3QC，知CQCA=14，所以所以PE＝QF，所以四边形PEFQ为平行四边形，所以PQ∥EF，又EF⊂平面BCD，PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（2）解：当△BCD为正三角形时，E为BD中点，所以EC，ED，EP两两垂直，故以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AD＝CD＝2，则B（0，﹣1，0），C(3，0，0)，所以BM→=(0，2，1)，设平面BMC的法向量为m→=(x，y，z)，则m→取m→易得平面ABD的一个法向量为n→设平面BMC与平面ABD所成的二面角为θ，则cosθ＝|cos＜m→，m→所以sinθ=1−co即平面BMC与平面ABD夹角的正弦值为15417．【答案】（1）证明见解析；（2）(1【解答】（1）证明：当a＝0时，f(x)=−e要证f(x)≤−(e+1)x+12，即证ex≥令g（x）＝ex﹣ex，g′（x）＝ex﹣e，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0，所以g（x）≥0，即ex≥ex，所以f(x)≤−(e+1)x+1（2）解：要使得函数f（x）的图象始终在直线y＝1上方，即f（x）＞1在x∈R上恒成立，即ae2x+(2a−1)ex令ℎ(x)=ae可得h′（x）＝2ae2x+（2a﹣1）ex﹣1＝（ex+1）（2aex﹣1），当a≤0时，h′（x）＝（ex+1）（2aex﹣1）＜0，此时函数h（x）单调递减，又由ℎ(0)=3a−32＜0，所以h（x）＞0在x当a＞0时，h′（x）＝0，即2aex﹣1＝0，解得x=ln1当x＜ln12a时，h′（x）＜0；当x＞ln12a时，所以h（x）在(−∞，ln12a)所以ℎ(x)要使得h（x）＞0在x∈R上恒成立，只需−1令t=12a＞0，即−1即12×t+lnt−12令φ(t)=12t+lnt−所以φ（t）在（0，+∞）单调递增，因为φ（1）＝0，所以0＜t＜1，即0＜12a＜1所以实数