等腰三角形第2课时等腰三角形的判定与反证法2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2等腰三角形第2课时

等腰三角形的判定与反证法基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.能证明等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(几何直观、推理能力)2.通过实例体会反证法的含义,并能运用反证法进行证明.(推理能力)基础主干落实新知要点1.等腰三角形的判定文字描述图示几何语言有两个角__________的三角形是等腰三角形.

简称:等角对______∵∠B=∠C,∴_________

相等等边

AB=AC

对点小练1.(1)下列三角形中,等腰三角形有()A.4个

B.3个

C.2个

D.1个(2)已知一个三角形中有两个角度数如下,其中不能构成等腰三角形的是()A.40°,70° B.50°,80°C.60°,90° D.30°,75°BC新知要点2.反证法:先假设命题的结论____________,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相__________的结果,从而证明命题的结论一定成立的证明方法.

不成立

矛盾

对点小练2.假设命题a>0不成立,那么a与0的大小关系只能是_________.

a≤0

重点典例研析重点1

等腰三角形的判定(几何直观、推理能力)【典例1】(教材再开发·P13随堂练习T1拓展)如图,在△ABC中,MN∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交MN于点E,F,若EF=4,MN=8,求BM+CN的长.【自主解答】∵MN∥BC,∴∠MEB=∠EBC,∠NFC=∠FCB,∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠ABE=∠CBE,∠ACF=∠FCB,∴∠MBE=∠MEB,∠NFC=∠ACF,∴BM=ME,NF=CN,∵EF=4,MN=8,∴BM+CN=ME+NF=MN+EF=12.举一反三1.(2025·唐山质检)如图所示,在△ABC中,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O的直线MN∥BC,交AB,AC于M,N,若MN=6cm,则BM+CN=_______cm.

6

2.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作MN∥BC交AB于M,交AC于N,AB=18cm,AC=12cm,则△AMN的周长为___________.

30cm

技法点拨角平分线、平行线、等腰三角形,知二推一图示结论①∠1=∠2②AC∥BD③AB=AC(或AB=AD)知二推一重点2

反证法(推理能力)【典例2】(教材再开发·P13例2强化)用反证法证明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个内角大于或等于60°.【自主解答】假设△ABC中每个内角都小于60°,即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°,于是∠A+∠B+∠C<180°.这与三角形内角和定理相矛盾,因此“△ABC中每个内角都小于60°”的假设不成立.所以,在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一个内角大于或等于60°.举一反三1.(2025·运城质检)用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC”,应假设()A.BC=AC

B.BC<ACC.∠A<∠B

D.BC≤AC2.(2025·宝鸡质检)在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.(用反证法证明)【证明】假设∠B≥90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B+∠C≥180°,∴∠A+∠B+∠C>180°,与三角形内角和定理等于180°相矛盾,∴假设∠B≥90°不成立,∴∠B<90°.D素养思维提升

【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列问题:如图,已知∠BAC+∠CDE=180°,AB=AC,DC=DE,P为BE的中点.(1)如图2,若A,C,D三点共线,AC∶CD=3∶5,S△ABP=6,求S四边形ABED;(2)如图3,若A,C,D三点不共线,AP=PD,求证:AB⊥AC.

∵DC=DE,∴DC=BF,∵AB=AC,AC∶CD=3∶5,∴AB∶BF=3∶5,∴S△ABP∶S△BPF=AB∶BF=3∶5