因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1因式分解基础主干落实重点典例研析素养思维提升课时目标1.借助数和拼图,概括出因式分解的概念.(抽象能力、推理能力)2.探究因式分解与整式乘法的互逆关系.(抽象能力、推理能力)基础主干落实新知要点1.因式分解:把一个多项式化成__________________的形式,这种变形叫作因式分解.

几个整式乘积

对点小练1.下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.(a+b)·(a+b)=(a+b)2B.x2-6x+9=(x-3)2C.x2+2x+2=(x+1)2+1D.(x-y)2=x2-2xy+y2B新知要点2.因式分解与整式乘法的关系:整式乘法与多项式的因式分解是__________的过程.

互逆

对点小练2.对于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy=x(1-2y),从左到右的变形,表述正确的是()A.都是乘法运算B.①是乘法运算,②是因式分解C.都是因式分解D.①是因式分解,②是乘法运算B重点典例研析重点1

因式分解的概念(抽象能力、推理能力)【典例1】(教材再开发·P108随堂练习T2强化)下列从左边到右边的变形中,哪些是因式分解?哪些不是因式分解?如果不是,请说明理由.(1)(x+4)(x-4)=x2-16;(2)x2-4=(x+2)(x-2);(3)x4-y4+1=(x2+y2)(x+y)(x-y)+1;(4)x2-2x+1=x(x-2)+1;(5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;(6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2.【自主解答】(2)(5)(6)从左到右的变形符合因式分解的定义,是因式分解;(1)从左到右的变形属于整式乘法,不是因式分解;(3)(4)从左到右的变形不是化成整式的积的形式,不是因式分解.

【解析】(1)因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解;(2)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(3)是因式分解;(4)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(5)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解.技法点拨因式分解的四点注意1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.3.要分解到不能分解为止.4.分解后的括号内有同类项要合并.重点2

因式分解与整式乘法的关系(推理能力)【典例2】仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.解:设另一个因式为(x+n),则x2-4x+m=(x+3)·(x+n)=x2+(n+3)x+3n,∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.问题:(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则a=__________;

(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则b=__________;

(3)仿照上面的方法解答下面的问题:已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.【自主解答】(1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,∴a-2=-5,解得a=-3.答案:-3(2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,∴b=9.答案:9(3)设另一个因式为(x+n),则2x2+5x-k=(2x-3)·(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,∴2n-3=5,k=3n,解得n=4,k=12,∴另一个因式为(x+4),k的值为12.举一反三1.(2025·杭州期中)已知关于x的二次三项式x2+mx-n分解因式的结果为(x-4)(x-2),则m和n的值分别为()A.m=8,n=2 B.m=-6,n=-8C.m=6,n=8 D.m=-8,n=-22.关于x的代数式2x2+mx-15分解因式得(x-3)(nx+5),则mn的值为_______.

B

1

3.完成下面各题:(1)若二次三项式x2-x-12可分解为(x+3)(x-a),则a=__________.

(2)若二次三项式2x2-bx-6有一个因式是(2x+3),求另一个因式以及b的值.【解析】(1)由题意得,x2-x-12=(x+3)(x-a),∴x2-x-12=x2+3x-ax-3a=x2+(3-a)x-3a,∴3-a=-1,-3a=-12,∴a=4;答案:4(2)设另一个因式为(x+n),∴2x2-bx-6=(2x+3)(x+n),∴2x2-bx-6=2x2+(2n+3)x+3n,∴3n=-6,2n+3=-b,∴n=-2,b=1,∴另一个因式为x-2,b的值为1.技法点拨因式分解与整式乘法的区别和联系项目因式分解整式乘法区别(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式;(2)是多项式的恒等变形(1)把几个整式相乘的形式化为一个整式的形式;(2)是一种运算联系互逆的恒等变形:多项式

几个整式的积素养思维提升一题多解我们学过多项式乘多项式的计算,可知(1)(x+2)(x+3)=x2+5x+6(2)(x-4)(x+1)=x2-3x-4(3)(y+4)(y-2)=y2+2y-8(4)(y-5)(y-3)=y2-8y+15由上面计算的结果找规律,观察图,填空:(x+p)(x+q)=(

)2+(

)x+(

).若x2-nx-5=(x-1)(x+m),求m+n的值.【解法一】(逆向思维,从结果入手,运算规律求出m与n的值)【解法二】(利用图形求解)【解法三】(利用方程求解)【解析】(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.答案:x

p+q

pq解法一:∵(x-1)(x+m)=x2-nx-5,∴-m=-5,m+(-1)=-n,∴m=5,n=-4,∴m+n=5-4=1;解法二:由图可知(x-1)(x+m)=x(x-1)+m(x-1),∴x2+(m-1)x-m=x2-nx-5,∴-m=-5,m-1=-n,∴m=5,n=-4,∴m+n