2024-2025学年广东省广州大学附中大学城校区大奥班八年级（下）期中数学试卷及答案

2024-2025学年广东省广州大学附中大学城校区大奥班八年级（下）期中数学试卷一、单选题（每题3分，共30分）1.(3分)如果ab>0，a+b<0，那么下列各式：①ab=ab；②abA.①②B.②③C.①③④D.②③④2.(3分)在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2A.样本的容量是4B.样本的中位数是3C.样本的众数是3D.样本的平均数是3.53.(3分)若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则A.1B.1或3C.1或2D.2或34.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36∘，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点A.∠BCE=B.BC=AEC.BED.S5.(3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=58∘，若⊙O的半径为5，则DC^A.13B.10C.πD.16.(3分)已知抛物线y=ax2−8ax+3(a为常数，且a≠0)上有A(1，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)、D(5，y4)四个点，若yA.a⩽B.1C.a⩾D.147.(3分)如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D.若S△BCDA.−6B.−12C.−D.−98.(3分)抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1)，B(A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限9.(3分)如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD,若OB=8cm，OC=6cm，则A.3cmB.4cmC.24D.5cm10.(3分)如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①△OAE≌△OBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④PGAE=2−1；⑤A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题3分，共18分）11.(3分)从−2，−1，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x、y的二元一次方程组&x−y=a&x+y=2有整数解，且函数y=ax2+4x+212.(3分)如图，斜坡CD的坡度t=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60∘时，大树在斜坡上的影子BE长为15米，则大树AB的高为米.(结果保留根号）13.(3分)如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为33，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为.14.(3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在反比例函数y=20x(x>0)的图象上，点D为y轴上任意一点.则△ACD的面积为15.(3分)如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y=−x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为(a,2a−1).若动点P在△AOB的内部（不包括边上），则a的取值范围为.16.(3分)如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90∘，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE⩽2a；②CE⩾5−12a；③∠BCE的度数最大值为60三、计算题（共72分）17.(5分)先化简，再求值：(a+12a−2−18.(10分)某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A.高锰酸钾制取氧气；B.电解水；C.木炭还原氧化铜；D.一氧化碳还原氧化铜；E.铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权)。请结合统计图，回答下列问题：(1)a=______,E所对应的扇形圆心角是______∘；(2)请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有______人最喜欢的实验是“D.一氧化碳还原氧化铜”；(3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊.已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率.19.(10分)小明家饮水机中原有水的温度为20∘C，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(∘C)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100∘C时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(∘(1)当0⩽x⩽8时，求水温y(∘C)(2)求图中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10(水温20∘C)，开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11:56，饮水机内水的温度约为多少∘C？并求：在7:10−11:56这段时间里，水温共有几次达到20.(10分)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75∘，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45∘.已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为(30+153)米.(假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据：tan75°=2+(1)求此时小区楼房BC的高度；(2)在(1)条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？21.(12分)如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，cos∠BAC=35，∠BAC的平分线AD交⊙O于(1)尺规作图：过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F；(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)若AF=8，求DF的长.22.(12分)如图，在▱ABCD中，AD=1，AB=2，∠DAB=60(1)求∠ADB度数.(2)点E是AB上的动点，将△ADE沿直线DE翻折等到△A'DE(3)在（2）的条件之下，点P是线段AB上的动点，联结CP，A'P，则23.(13分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是直线(1)求抛物线的表达式；(2)如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，当PQ的值最大时，求点P的坐标及PQ的最大值；(3)过点P作x轴的平行线交直线AC于点M，连接CP，将△CPM沿直线CP翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标.2024-2025学年广东省广州大学附中大学城校区大奥班八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共30分）1、【答案】B【知识点】二次根式的性质与化简,二次根式的乘除法2、【答案】D【知识点】总体、个体、样本、样本容量,算术平均数,中位数,众数,方差3、【答案】B【知识点】分式方程的解4、【答案】C【知识点】平方根5、【答案】C【知识点】圆周角定理,圆内接四边形的性质,弧长的计算6、【答案】B【知识点】二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点7、【答案】C【知识点】反比例函数系数k的几何意义,反比例函数的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质8、【答案】D【知识点】根与系数的关系,一次函数的性质,正比例函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征9、【答案】C【知识点】勾股定理,切线的性质10、【答案】C【知识点】菱形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质二、填空题（每题3分，共18分）11、【答案】1【知识点】概率公式12、【答案】(6【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题,平行投影13、【答案】27π【知识点】扇形面积的计算,翻折变换（折叠问题）14、【答案】5【知识点】反比例函数系数k的几何意义15、【答案】1【知识点】点的坐标16、【答案】①④【知识点】平方根,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,解直角三角形三、计算题（共72分）17、【解答】解：原式[=[==a+2在−1⩽a⩽2中，整数有−1、0、1、2，由题意得：a≠0和±1，当a=2时，原式=2+2【知识点】分式的化简求值18、【解答】解：(1)60÷30%=200(人)a=200−20−60−30−40=50(人)，40200故答案为：50；72；(2)800×30故答案为：120；(3)列表如下：ABCDEA(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，∴P(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)=6【知识点】用样本估计总体,扇形统计图,条形统计图,列表法与树状图法19、【解答】解：（1）由图象可知，当0⩽x⩽8时是一次函数，设y=kx+b将(0,20)、(8,100)代入得：&8k+b=100&b=20水温y(∘C)与开机时间x(分)(2)在水温下降过程中，设水温y(∘C)与开机时间x(分)的函数关系式为y=mx∴反比例函数解析式为：y=800当y=20时，20=800解得：t=40；(3)由(2)t=40，结合图象，可知每407:10到11:56经历时间为286分钟，286÷40=7⋯6，8>6∴当x=6时，y=10×6+20=80(答：饮水机内水温约为80∘C，共有7次达到【知识点】反比例函数的应用20、【解答】解：(1)过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形，由题意得：AB=45米，∠DAE=75∘，∵∠DCF=∠FDC=45∴CF=DF，∵四边形BCFE是矩形，∴BE=CF=DF，在Rt△ADE中，∠AED=90∴tan∴BE=30，经检验，BE=30是原方程的解，∴EF=DH−DF=30+153答：此时小区楼房BC的高度为153(2)∵DE=15(2+3∴AE=DE过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=45米，∴tan在Rt△AGH中，GH=DE=15(2+3AH=GH∴DG=EH=AH−AE=(303(303答：经过(63【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题21、【解答】(1)解：作法：1.延长AC；2.以点D为圆心，以适当长度为半径作弧交射线AC于点M、N；3.分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点4.作射线DP交AC的延长线于点D；5.连接OE交AD于点F，线段DE、OE、点F就是所求的图形.(2)证明：连接OD，则OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于D，∴∠DAC=∠BAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC交AC的延长线于点E，∴∠ODE=∠AEP=90∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.(3)解：作DQ⊥AB于点Q，则∠AQD=∠AED=∵AD平分∠BAC，作DQ⊥AB于点Q，DE⊥AC交AC的延长线于点E，∴DQ=DE，∵AD=AD，∴Rt△ADQ≅Rt△ADE(HL)设OA=OD=5m，∵∠QOD=∠BAC，∴OQ∴OQ=3∴EA=QA=OA+OQ=5m+3m=8m，∵OD∥EA，AF=8，∴△DOF∽△AEF，∴DF∴DF=5∴DF的长是5.【知识点】平方根,圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,解直角三角形22、【解答】解：（1）取AB的中点E，连接DE、BD，∵AD=AE=1，∠DAB=60∴△DAE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60又∵DE=BE，∴∠BDE=∠DBE=1∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60(2)因为点A'到点D的距离等于AD，所以点A的轨迹是以D为圆心，以AD∴当A在线段BD上时，线段A'即线段AB长度最小值为BD−AD=3(3)存在.作C点关于直线AB的对称点C'，连接A'C'交AB于当D、A'、C三点共线时，CP+，所以：CP+A'P≥DC'【知识点】平方根,四边形综合题23、【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与∴c=3，把点A(−3,0)，B(1,0)代入&9a−3b+3=0解得&a=−1∴该抛物线的表达式为y=−x(2)设直线AC的表达式为y=kx+n，把A(−3,0)，C&解得&∴直线AC的表达式为y=x+3.过点P作PE∥y轴交直线AC于点D，交x轴于点E，如图：∵点A(−3,0)，C∴OA=OC，∴∠DAE=∠ADE=∠PDQ=45∴sin∠PDQ=PQDP，即∴PQ=2