（教师版）平面向量的数量积题型四：模长与夹角专项训练20252026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2页，共17页《平面向量的数量积》题型四：模长与夹角卷首导学本卷定位向量的模长与夹角是数量积公式的两大核心应用.求模长必用平方公式，求夹角必用.本专题是月考、期中的必考内容，选择、填空、解答题均有出现，占比约15–20分.核心易错点求模长时忘记平方——直接对向量表达式开方是绝对的错误.正确做法：先平方，利用转化为数量积，再开方.已知型条件时，平方展开后忘记中间项——，中间系数2极易漏掉.求夹角时只算出余弦值，未结合范围判断角的大小——余弦值为正对应锐角，为负对应钝角，为零对应直角.由夹角范围反求参数时，不等式列不全——锐角条件为且不共线，钝角条件为且不共线.本卷为简单型，不涉及共线排除，直接列数量积不等式即可.训练目标形成“见模就平方”的条件反射.能熟练处理、型模长问题.能准确用数量积公式求夹角并判断角的大小.能由夹角范围正确列出参数的不等式并求解.建议用时：50–60分钟.使用说明：本卷题目涉及夹角反求参数时，均为不需排除共线的简单情况.需要排除共线的复杂求参问题将在试卷六中专项训练.试卷正文一、单选题（每题5分，共30分）1.已知向量的夹角为，且，则等于（） A.4   B.3   C.2   D.1【答案速览】D【详细解答】由模长平方公式：.计算数量积：.代入：.所以.【易错警示】常见错误①：求时直接写成.这是绝对错误的！向量模的减法不满足模的减法，必须先平方展开.常见错误②：平方展开时中间项符号写错.，是减号不是加号.常见错误③：特殊角余弦值记错，，不是.【规律总结】口诀：见模就平方.无论是还是，第一反应永远是平方展开，转化为数量积计算.绝对不要直接对模长进行加减.2.已知向量，若，则与的夹角为（） A.   B.   C.   D.【答案速览】B【详细解答】由夹角公式：.代入已知条件：，.因为，余弦值为对应的角是.【易错警示】常见错误①：只算出就选答案，没有确认的范围.时，在内唯一对应.若范围记错可能误选（余弦为）或（余弦为）.常见错误②：数量积符号处理错.，说明夹角为钝角，答案应在内.【规律总结】求两向量夹角的通法：①计算数量积；②计算两模长；③代入；④结合确定角度.余弦为正则锐角，为负则钝角，为零则直角.3.已知，且与夹角为，则等于（） A.   B.   C.   D.【答案速览】B【详细解答】先求.展开：.已知，夹角，.代入：.所以.【易错警示】常见错误①：数乘向量平方时系数忘记平方.，不是.常见错误②：展开时中间项符号.，中间是减号.代入时，.常见错误③：，符号处理错误导致数量积为正，最终答案出错.【规律总结】求线性组合向量的模长，统一操作：先平方展开，利用，再代入模长和数量积，最后开方.注意系数也要平方.4.已知向量，若，当且仅当时，取得最小值，则向量与的夹角为（） A.   B.   C.   D.【答案速览】B【详细解答】，则.设向量与的夹角为，则.代入：.这是关于的二次函数，开口向上，最小值在对称轴处取得.已知当且仅当时取得最小值，故，解得.因为，所以.【易错警示】常见错误①：展开时，中间项系数漏写2.正确为.常见错误②：对称轴公式记错.二次函数的对称轴为.此处，对称轴.常见错误③：求出后，未结合范围判断，可能误填或.【规律总结】将模长表示为参数的二次函数求最值，是处理含参模长问题的通法.关键在于正确展开，利用数量积的定义将用夹角表示，再利用二次函数性质求解.5.已知平面向量满足，则（） A.   B.   C.3   D.【答案速览】C【详细解答】要求，先求其平方：.已知，即，展开得：.又已知，设.则，得.于是.所以.【易错警示】常见错误①：将直接展开，但不知道的具体值.此时需要整体处理，设未知数表示这部分.常见错误②：观察已知条件和待求的关系，它们平方展开后相差.正确计算：，故.这是更简洁的方法.常见错误③：系数计算错误，如，不要写成.【规律总结】遇到形如和的模长问题，可利用两者的平方展开式相加减，消去未知项.公式：，.熟练运用可简化计算.6.已知平面向量，的夹角为，，则实数（） A.−1   B.1   C.   D.【答案速览】A【详细解答】由，平方得：.已知，夹角，则.代入：，即，，解得.【易错警示】常见错误①：平方展开时中间项系数漏写2..常见错误②：数量积算错.，不是.常见错误③：解方程时符号错.的根是，若列错方程为则会得到错误答案.【规律总结】已知模长求参数，直接平方转化为关于参数的方程求解.这是模长公式与方程思想的结合应用.二、填空题（每题5分，共20分）7.若向量满足，则向量的夹角的大小为______.【答案速览】【详细解答】由，得.已知，则，代入得，.设夹角为，则.因为，所以.【易错警示】常见错误①：展开时漏项..常见错误②：余弦值判断出错.对应（135°），不要误写成.常见错误③：单位混淆.答案为或135°，根据题目通常以弧度作答.【规律总结】利用数量积分配律展开，求出，再代入夹角公式.这是“已知模长和数量积关系求夹角”的经典路径.8.设向量满足，则______.【答案速览】1【详细解答】由已知条件： ① ②①−②得：，所以.【易错警示】常见错误①：平方展开时中间项符号写错.，是减号.常见错误②：两式相减时系数弄错.①减②得，注意是.常见错误③：两式相加也可求，但本题只问，相减直接得结果.【规律总结】已知和求数量积，是经典套路.公式：.同理，.建议直接记住.9.已知，则______.【答案速览】【详细解答】先由条件求：.代入：，解得.再求.所以.【易错警示】常见错误①：多项式展开时合并同类项出错.，中间项合并为.常见错误②：计算时，，不要写成但模长符号要带平方.常见错误③：求模长时算出平方为13后，忘记开方，直接写13.【规律总结】先通过数量积运算求，再求模长，是常见综合题.关键步骤：展开→合并→代入模长→解出数量积→代入模长公式.10.已知向量的夹角为，且，则______.【答案速览】【详细解答】先求.再求.所以.【易错警示】常见错误①：直接写.这是最常见的错误，向量模的加法不满足模的加法！常见错误②：，不是.常见错误③：平方展开时中间项系数写成1，漏了2.【规律总结】求的标准流程：①求；②平方展开；③开方.每一步都不能省略.三、解答题（共25分）11.（12分）已知，且. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值.【答案速览】（1）  （2）【详细解答】（1）由，平方得：.已知，代入：，即，得.设与的夹角为，则.因为，所以.由，得.展开：.代入：，即，，解得.【易错警示】第(1)问：常见错误①：由直接写，忽略了平方展开中的项.常见错误②：由写，正负号判断错误.第(2)问：常见错误①：垂直条件用错，写成了平行条件.垂直的充要条件是数量积为0.常见错误②：展开时中间项合并错误，如，合并为.【规律总结】（1）已知求夹角，先用平方展开求，再代入夹角公式.（2）垂直条件求参数，转化为数量积为0的方程，展开代入已知量求解.12.（13分）已知向量满足，且. （1）求与的夹角； （2）求.【答案速览】（1）  （2）【详细解答】（1）由，展开：，即.代入：