2025北京北师大实验中学初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京北师大实验中学初三12月月考数学考生须知1．本试卷8页：共四道大题，28道小题；满分为100分；考试时间为120分钟．2．请在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．3．试卷答案、作图一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，用铅笔作图，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（）A. B. C. D.2.如图，四边形内接于，若，则的大小为（）A. B. C. D.3.将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（）A.向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4.下列命题正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦 B.等弧对等弦C.长度相等的弧是等弧 D.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等5.已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（）A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切6.以外接圆半径为2的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（）A.不能构成三角形 B.这个三角形是等边三角形C.这个三角形是直角三角形 D.这个三角形是等腰三角形7.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.8.如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.如图，在四张完全相同的卡片上分别画图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_______．10.二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表所示，若，写出一个符合题意的的值：______．11.某饰品店购进了一批挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．设每个挂件降价元，如果商家每天要盈利840元，请列出方程：________．12.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是_______．13.如图，是的直径，分别切于．若，则的长是_______．14.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小琪做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程．摸球的总次数为，摸到白球的次数为，下表是实验中的部分统计数据：（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）；（2）根据表中数据估算，盒子里白球约有_______个（取整数）．15.已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______．16.已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是______．三、解答题（共68分，17题4分，18题~22题每题5分，23题~25题每题6分，26题~28题每题7分）17.解下列方程：（1）；（2）．18.已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值．19.已知：如图，是的弦．求作：上的点，使得．作法：①连接并延长交于P；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作直线交于点，连接所以，点，就是所求作的点．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，（___________）（填推理的依据）．．都在上，（___________）（填推理的依据）．20.如图，是的直径，弦于点，且为中点，．（1）求的半径的长；（2）过作的垂线段交延长线于，求的长．21.如图，在中，．将绕逆时针旋转后得，此时点在上，交于点．（1）若，求的度数；（2）若，求的度数．22.已知二次函数．……（1）在平面直角坐标系中画出此函数图象；（2）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围：；（3）若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是．23.2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：跑步量达标率班数7（1）从这12个班级中任意选取1个班级．①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______；（2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．24.如图，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，延长到点，使得．（1）求证：与相切；（2）若的半径为．求的长．25.某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．（1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）．26.在平面直角坐标系中，抛物线解析式为．（1）用含的式子表示抛物线的顶点坐标；（2）点为，点为．①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围；②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围．27.在中，，于．点是不与，，重合的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．（1）如图1，当点在线段上时，点在线段上，．（2）点关于点中心对称的对称点为点，连接，，．①如图2，当点在线段上时，判断和的位置关系，并证明；②若，，，直接写出长度的最小值．28.在平面直角坐标系中，对于线段和线段外一点C，若满足，则称点C为线段的“亲和点”；对于，若同时满足点A是的“亲和点”，点B是的“亲和点”，点C是的“亲和点”，则称为“亲和三角形”．（1）点M为，点N为．①在，，，中，是线段的“亲和点”；②若点是线段的“亲和点”，求a的取值范围；（2）点D为，，直线分别与x轴、y轴交于点F，G，若对于线段上的任意一点H，都存在线段，使得是“亲和三角形”，直接写出t的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CBDBDCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：卡片上的图形是中心对称图形的是①、②、④，共有3张，所以卡片上的图形是中心对称图形的概率是，故答案为：．10.【答案】解：例如当，根据抛物线的对称性，可得和在抛物线上，∴的值可以是，（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．11.【答案】解：设每个挂件降价元，则每天的销售量为件，根据题意得：，故答案为：．12.【答案】∵如图所示，的开口向上，与轴有交点，∴存在最小值为．∵将看成与轴的交点问题，又∵方程无实数根，∴与轴无交点，在轴上方．∵相当于向上平移个单位长度，∴，即，．故答案为：．13.【答案】解：如图，连接，∵是的直径，∴∵∴，∵∴∴∵分别切于．∴，∴∴是等边三角形，∴故答案为：．14.【答案】解：由表可知，当时，摸到白球的频率为，接近，因此摸到白球的概率约为；盒子里白球个数约为个．故答案为；．15.【答案】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴，解得，①当，即时，则当时，函数值最大为；当时，函数值最小为，∴，解得或（舍去）；②当时，即时，∵，∴当时，函数值最小为，当时，函数值为，当时，函数值为，∵，∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75；综上：；故答案为：．16.【答案】情况1：底边等于它的外接圆的半径，如图，，，∴是等边三角形，∴∴∵四边形是圆内接四边形，∴∴它的顶角度数是或情况2：腰等于它的外接圆的半径，如图，当时，连接，则，∴是等边三角形，∴∵∴∵∴∴，即它的顶角度数是综上所述，顶角可能为、或．故答案为或或．三、解答题（共68分，17题4分，18题~22题每题5分，23题~25题每题6分，26题~28题每题7分）17.【答案】（1）解：∵，∴∴或解得：（2）∵，∴∴或解得：18.【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：．（2）设方程的两个实数根为、，且，∴，，由（1）可知：，∵为符合条件的最小整数，∴，∵该方程的较大根是较小根的倍，∴，∴，，∴，解得：，．当时，，则，符合题意，当时，，则，与不符，舍去，∴．19.【答案】（1）解：补全图形如图所示．（2）解：连接AQ，PQ，∵，，∴（等腰三角形三线合一）．∴．∵A，B，，都在⊙O上，∴，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），∴．20.【答案】（1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解；（2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长．（1）解：连接，∵直径∴又∵为中点∴在中，即解得或（舍）（2）解：连接，由（1）得∵，∴，∵为中点，且∴∴∴又∵垂直平分，∴∴∵∴∴∴∵在中，，∴21.【答案】（1）解：∵，∴，∵将绕C按逆时针方向旋转角后得，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵旋转，则，，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得：．22.【答案】（1）解：列表如图，……01…………00……函数图象如图，（2）解：，对称轴为直线，，点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，解得：或；（3）解：如图，由图象可知，当时，点位于抛物线的上方，故答案为：．23.【答案】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件；②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，∴，∴，故答案为：①随机；②4，1；（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．24.【答案】（1）证明：连接，，，是直径，，的平分线交于点，，，，，，，，，与相切；（2）解：过O作于F，过C作于H，设，，则，，，，整理得，，，，，，，，，，整理得，把代入得，，把代入得，整理得，解得：或（舍去），，，，，．25.【答案】（1）解：根据题意可设，，当音量为时，听觉舒适度为6；∴，解得，∴该二次函数的解析式为；图象如下：（2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围，故答案为：26.【答案】（1）解：∵抛物线解析式为，∴，把代入，得，，∴抛物线的顶点坐标为．（2）解：①当时，点为，点为，将代入抛物线解析式得：，整理得：，设，其开口向上，对称轴为．∴，综合以上条件，取交集得．答：m的取值范围为．②当时，点为，点为，将代入抛物线解析式得：，整理得：，设，其开口向上，对称轴为．当或或（另一个根在区间外）或（另一个根在区间外）解得：或或（根在范围内，在范围外），或（根在范围内，在范围外）．综合以上情况，m的取值范围为或．答：m的取值范围为或．27.【答案】（1）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，；（2）①解：，理由如下．如图，延长到，使，连接，，，是的中点，是的中点，，，，，，，，，，，在和中，，，，是的中点，，；②解：如图，以为圆心，的长为半径作圆，由题可知，该圆即为点的运动轨迹，且始终位于圆上，与交于．由①可知，，，，即，，，、分别为和的中点，，，，，，，由图可知，当位于与的交点时，取得最小值，此时有最小值，，，，，故．28.【答案】（1）解：①如图所示，，，，，∴、是线段的“亲和点”，故答案为：、．②如图，取的中点T，以T为圆心，为半径作圆，再以为斜边，分别向上、向下作等腰直角、，分别以点K、L为圆心，以、为半径作优弧，∴的亲和点的轨迹为两段弧所夹的区域，包含边界，令优弧与y轴的交点为S，与y轴的交点为J，连接，，，过点K作轴于点H，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴a的取值范围是或．（2）解：∵是亲和三角形，∴点D是的亲和点，点E是的亲和点，即需满足，，同理，还需满足，，以点K为圆心，为半