高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

PAGE课题高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用教学设计课程基本信息1.课程名称：高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3导数在研究函数中的应用

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月26日

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过导数在研究函数中的应用，学生能够理解函数变化率的概念，学会运用导数分析函数的单调性、极值和最值，从而提升数学建模和数据分析能力。同时，通过实际问题解决，培养学生的逻辑推理和直观想象能力，增强数学应用意识。重点难点及解决办法重点：1.导数在研究函数单调性中的应用；2.利用导数求函数的极值和最值。

难点：1.理解导数的几何意义，将导数与函数图像变化联系起来；2.准确判断函数的单调区间和极值点。

解决办法与突破策略：1.通过实例分析，引导学生理解导数的几何意义，帮助学生建立直观的图像概念；2.设计阶梯式问题，逐步引导学生从简单到复杂，逐步掌握判断单调性和求极值的方法；3.结合实际问题，让学生在解决问题的过程中，学会运用导数分析函数性质，提高学生的数学应用能力。通过小组讨论和合作学习，帮助学生共同克服难点，形成对导数应用的深入理解。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有《高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册》教材，以便随时查阅相关内容。

2.辅助材料：准备与导数相关的函数图像、单调性示意图、极值点示意图等多媒体图表，以及函数变化率的概念动画视频，以辅助学生理解抽象概念。

3.教学工具：准备计算器或电脑软件，以便学生进行导数的计算和函数图像的绘制。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习；确保教室环境整洁，为学生提供一个安静、舒适的学习环境。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的运动场景，如自由落体运动、抛物运动等，引导学生思考速度变化与时间的关系。

2.提出问题：引导学生回顾初中阶段学习的平均速度概念，并提出问题：“如何描述物体在某一时刻的速度？”

3.引入导数概念：通过动画演示，展示函数图像在某一点的切线斜率，引出导数的概念。

4.学生互动：请学生举例说明导数在生活中的应用，激发学习兴趣。

二、讲授新课（20分钟）

1.导数定义：讲解导数的定义，强调导数是函数在某一点的瞬时变化率。

2.导数计算法则：讲解导数的计算法则，包括基本函数的导数、复合函数的导数等。

3.导数在研究函数中的应用：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。

4.举例说明：通过实例分析，让学生理解导数在研究函数性质中的应用。

5.学生互动：提问学生关于导数计算和函数性质的问题，引导学生积极参与课堂讨论。

三、巩固练习（15分钟）

1.练习题展示：展示与导数相关的练习题，包括计算导数、判断函数单调性、求极值和最值等。

2.学生独立完成：学生独立完成练习题，教师巡视指导。

3.学生展示：请学生展示解题过程，教师点评并总结。

4.小组讨论：将学生分成小组，讨论解决练习题中的难点问题。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对练习题中的难点问题进行提问，引导学生深入思考。

2.学生回答：学生回答问题，教师点评并总结。

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：教师提问关于导数在研究函数性质中的应用问题，引导学生思考。

2.学生回答：学生回答问题，教师点评并总结。

3.学生提问：学生提出关于导数的问题，教师解答并讲解。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.引导学生思考：引导学生思考导数在科学研究、工程技术等领域的应用。

2.学生分享：学生分享导数在实际生活中的应用案例，拓展学生的数学应用意识。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结：教师对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数性质中的应用。

2.作业布置：布置与导数相关的作业，巩固学生对新知识的理解和掌握。

教学过程设计总用时：45分钟知识点梳理1.导数的概念

-导数的定义：函数在某一点的导数是函数在该点附近增量与自变量增量之比的极限。

-导数的几何意义：函数在某一点的导数等于该点切线的斜率。

2.导数的计算法则

-基本函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数。

-复合函数的导数：链式法则，用于求复合函数的导数。

-和差、积、商的导数：和差法则、积法则、商法则，用于求和差、积、商的导数。

3.导数在研究函数中的应用

-函数的单调性：利用导数判断函数的单调增减性，即导数大于0时函数单调递增，小于0时函数单调递减。

-函数的极值和最值：利用导数找到函数的极值点，极值点是导数为0的点，进一步判断极大值或极小值。

-函数的凹凸性：利用导数判断函数的凹凸性，即导数的导数（二阶导数）的正负。

4.导数的性质

-导数的连续性：如果一个函数在某点可导，则该函数在该点连续。

-导数的可导性：如果一个函数在某点可导，则该函数在该点的导数存在。

-导数的保号性：如果一个函数在某点可导，且导数保持符号不变，则该函数在该点的导数符号与函数的符号相同。

5.导数的应用实例

-速度与加速度：导数在物理学中的应用，描述物体速度和加速度的变化率。

-投资收益：导数在经济学中的应用，描述投资收益的变化率。

-生产成本：导数在工程学中的应用，描述生产成本的变化率。

6.导数的计算技巧

-导数的直接计算：直接应用导数的定义和计算法则进行计算。

-导数的间接计算：利用复合函数的导数法则、和差积商的导数法则等间接计算导数。

7.导数的几何应用

-曲线的切线：利用导数求曲线在某一点的切线方程。

-曲线的法线：利用导数求曲线在某一点的法线方程。典型例题讲解例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)在x=1时的导数。

解答：首先，根据导数的定义，我们有

\[f'(x)=\lim_{{h\to0}}\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}\]

代入f(x)的表达式，得到

\[f'(x)=\lim_{{h\to0}}\frac{{(x+h)^3-3(x+h)-(x^3-3x)}}{h}\]

\[=\lim_{{h\to0}}\frac{{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-3x-3h-x^3+3x}}{h}\]

\[=\lim_{{h\to0}}\frac{{3x^2h+3xh^2+h^3-3h}}{h}\]

\[=\lim_{{h\to0}}(3x^2+3xh+h^2-3)\]

当h趋近于0时，上式中的h项消失，因此

\[f'(1)=3(1)^2-3=0\]

例题2：已知函数g(x)=e^x-x^2，求g(x)在x=0时的极值。

解答：首先求g(x)的导数，得到

\[g'(x)=e^x-2x\]

然后求g'(x)的导数，得到

\[g''(x)=e^x-2\]

在x=0时，g'(0)=e^0-2*0=1，g''(0)=e^0-2=-1。

因为g''(0)<0，所以g(x)在x=0处取得极大值。

\[g(0)=e^0-0^2=1\]

因此，g(x)在x=0时的极大值为1。

例题3：已知函数h(x)=x^2-4x+4，求h(x)的增减区间。

解答：求h(x)的导数，得到

\[h'(x)=2x-4\]

令h'(x)=0，解得x=2。

当x<2时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减；

当x>2时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增。

因此，h(x)的增区间为(2,+∞)，减区间为(-∞,2)。

例题4：已知函数k(x)=ln(x)-x^2，求k(x)在x=1时的切线方程。

解答：求k(x)的导数，得到

\[k'(x)=\frac{1}{x}-2x\]

在x=1时，k'(1)=1-2=-1，k(1)=ln(1)-1^2=-1。

因此，切线方程为

\[y-(-1)=-1(x-1)\]

\[y=-x\]

例题5：已知函数m(x)=sin(x)+cos(x)，求m(x)的最大值。

解答：求m(x)的导数，得到

\[m'(x)=cos(x)-sin(x)\]

令m'(x)=0，解得x=π/4。

因为m'(x)在x=π/4时改变符号，从正变负，所以m(x)在x=π/4时取得最大值。

\[m(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=\sqrt{2}/2+\sqrt{2}/2=\sqrt{2}\]

因此，m(x)的最大值为√2。内容逻辑关系①导数的定义与计算

-定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率，表示为f'(x)。

-计算法则：包括导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数等。

-关键词：瞬时变化率、极限、导数计算法则。

②导数在研究函数性质中的应用

-单调性：通过导数的符号判断函数的单调增减。

-极值与最值：通过导数为0的点找到极值点，进一步判断极大值或极小值。

-关键词：单调区间、极值点、最大值、最小值。

③导数的几何意义与应用

-几何意义：导数表示函数图像在某点的切线斜率。

-应用：利用导数求曲线的切线、法线，分析曲线的凹凸性。

-关键词：切线斜率、法线、凹凸性。

④导数的性质与推广

-性质：包括连续性、可导性、保号性等。

-推广：包括隐函数求导、参数方程求导等。

-关键词：导数性质、隐函数求导、参数方程求导。

⑤导数的应用实例

-物理学：描述速度、加速度等物理量的变化率。

-经济学：分析投资收益、成本变化等经济量的变化率。

-关键词：物理应用、经济应用、变化率。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.情境教学：在讲解导数的概念时，我会结合生活中的实例，比如自由落体运动，让学生通过实际情境来理解导数的物理意义，这样不仅能够激发学生的学习兴趣，还能帮助他们更好地将抽象的数学概念与实际生活联系起来。

2.多媒体辅助教学：我会利用多媒体资源，如动画和视频，来展示导数的几何意义和函数图像的变化，这样可以帮助学生直观地理解导数的概念和应用，提高他们的学习效率。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对导数的理解不够深入：有些学生在理解导数的概念和计算方法时存在困难，这可能是因为他们对函数和极限的概念掌握不牢固。

2.练习量不足：在课堂练习环节，我发现部分学生对于导数的应用题还是感到有些吃力，这可能是因为练习量不足，导致他们对知识点的掌握不够扎实。

3.评价方式单一：目前主要依靠课堂表现和作业完成情况来评价学生的学习效果，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习情况。

反思改进措施（三）

1.加强基础知识的复习：在讲解导数之前，我会回顾函数和极限的基础知识，确保学生具备必要的背景知识。

2.增加练习量：我会设计更多样化的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在不同层次的练习中巩固知识。

3.丰富评价方式：除了课堂表现和作业，我还将引入课堂小测验、小组讨论和项目式学习等方式，以更全面地评价学生的学习成果。通过这些改进措施，我希望能够更好地帮助学生掌握导数的知识，提高他们的数学思维能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了导数在研究函数中的应用，重点讲解了导数的概念、计算方法以及在研究函数单调性、极值和最值中的应用。通过实例分析和练习，同学们已经掌握了如何利用导数来分析函数的性质。

首先，我们回顾了导数的定义，它是函数在某一点的瞬时变化率，可以通过极限的方式计算得到。然后，我们学习了导数的计算法则，包括基本函数的导数、复合函数的导数等。这些法则为我们计算导数提供了重要的工具。

在研究函数性质方面，我们了解到，通过导数的正负可以判断函数的单调性，导数为0的点可能是极值点，而二阶导数的符号可以判断函数的凹凸性。这些知识帮助我们更深入地理解函数的变化规律。

为了巩固所学内容，我们进行了一系列的练习题。这些练习题覆盖了导数的计算、函数单调性的判断、极值点的寻找等，通过这些练习，同学们能够将理论知识应用到实际问题中。

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