苏教版五年级数学下册第一单元第6课时：列方程解决实际问题（行程与工程类）教学设计

苏教版五年级数学下册第一单元第6课时：列方程解决实际问题（行程与工程类）教学设计

一、设计总览与前沿理念

1.1设计指导思想

本节课以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是模型意识、应用意识和推理能力。教学超越了单纯的技能训练，致力于引导学生经历“现实情境抽象为数学问题→建立等量关系→用字母表示未知数→列出并求解方程→回归实际检验解释”的完整数学建模过程。设计强调从“算术思维”向“代数思维”的关键跃迁，通过具有挑战性的真实任务，让学生在分析、比较、归纳中深刻体会方程作为强大数学工具的价值。

1.2内容定位与学情纵深分析

内容定位：本节课隶属于“数与代数”领域“式与方程”主题，是在学生已经掌握了用字母表示数、等式的基本性质、解简单方程（如ax±b=c,ax±bx=c）的基础上，对方程应用的深化和拓展。重点聚焦于“行程问题”（相遇、追及）和“工程问题”（合作）两类典型数量关系，它们是培养学生寻找复杂等量关系能力的绝佳载体，也是连接小学代数与中学数学应用的重要桥梁。

学情分析：

1.已有基础：五年级学生已具备一定的逻辑思维能力，能够理解速度、时间、路程以及工作效率、工作时间、工作总量之间的基本关系。通过前几课时的学习，已初步掌握列方程解简单实际问题的一般步骤。

2.潜在障碍：

1.3.思维定式：学生更习惯于逆向、局部的算术思维（“要求什么，先求什么”），对于正向、整体的代数思维（“用字母表示未知，关注整体等量”）感到陌生和不适应。

2.4.等量关系抽象困难：面对动态的行程过程或隐含的工程合作情境，从语言描述或线段图中精准提炼出“甲的路程+乙的路程=总路程”、“工作效率和×工作时间=工作总量”等核心等量关系存在困难。

3.5.解设与作答不规范：容易遗漏“解设”，未知数单位处理不当，求得方程的解后未能结合情境进行合理解释和检验。

6.发展空间：通过本课学习，引导学生从“解题”走向“解决问题”，体会方程思维在处理复杂关系时的优越性，为后续学习更复杂的分数、百分数应用题以及中学的方程组、不等式打下坚实的思维基础。

1.3核心素养与教学目标

【核心素养聚焦】

1.模型意识：能从具体的行程、工程问题情境中抽象出数学问题，并运用常见的数量关系式建立方程模型。

2.应用意识：认识到方程是解决一类实际问题的有效工具，能主动尝试用方程解决新情境下的问题。

3.推理能力：在寻找等量关系、列出方程的过程中，能进行有条理的逻辑推理。

4.几何直观：借助线段图等直观手段，分析和表征数量关系，支撑代数思维。

【教学目标】

1.知识与技能：

1.进一步理解并掌握列方程解决实际问题的一般步骤。

2.能熟练找出行程问题（相遇、追及）和简单工程问题中的等量关系。

3.能正确列出方程并解答含有两个相关联未知量的实际问题。

4.学会用“速度和×相遇时间=总路程”、“工效和×合作时间=工作总量”等关系式建模。

2.过程与方法：

1.经历将实际问题抽象为方程的全过程，渗透数学建模思想。

2.通过对比算术解法与方程解法，深刻体会方程法的思维优越性。

3.在小组合作探究中，提升分析信息、提炼关系、合作交流的能力。

3.情感、态度与价值观：

1.感受方程与现实生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用意识。

2.在克服思维挑战、成功建立模型的过程中，获得积极的数学学习体验，增强自信心。

3.养成严谨规范（解设、列式、检验、作答）的书写习惯。

1.4教学重点与难点

1.教学重点：引导学生分析复杂情境，准确找出等量关系，并据此列出方程。

2.教学难点：

1.3.实现从算术逆向思维到代数正向思维的顺利转换。

2.4.对动态过程（如两人相向而行）进行静态的数学表征（画出有效线段图，写出等量关系）。

3.5.理解并应用“合作效率”的概念解决工程问题。

1.5教学资源与跨学科整合设计

1.数字资源：交互式课件（可动态演示相遇、追及过程的动画）；希沃白板或同类互动平台（用于学生实时投屏展示线段图和解方程过程）；预置的在线即时反馈系统（如课堂派，用于当堂检测）。

2.学具准备：学习任务单、不同颜色的笔（用于画线段图）。

3.跨学科整合：

1.4.科学与工程：引入“港珠澳大桥建设团队合作”、“火星车探测任务规划”等真实科技背景，使工程问题更具时代感和使命感。

2.5.体育与健康：以校园运动会中的接力赛、长跑比赛为情境创设行程问题，联系学生生活。

3.6.信息技术：鼓励学生使用图形计算器或数学软件（如GeoGebra）验证方程的解，感受技术工具对数学学习的辅助作用。

二、教学过程实施详案

第一环节：创设情境，孕伏模型(预计时间：8分钟)

教师活动：

1.视频激趣：播放一段约60秒的短视频，内容为“复兴号”高铁与“和谐号”动车在两条平行轨道上相向而行，最后交错驶过的场景。提问：“同学们，从数学的角度观察这个场景，你想到了哪些我们学过的数量关系？”

2.复习激活：引导学生快速回顾“速度、时间、路程”三者关系式，并板书：路程=速度×时间(S=vt)。通过快速问答巩固：“若已知速度和时间，求路程？”“已知路程和速度，求时间？”

3.情境导入：呈现本课主情境①——“智慧交通挑战”。“为了优化城市交通，两个工程队分别从一条隧道的两头同时开工。甲队每月掘进150米，乙队每月掘进120米。经过一段时间，隧道贯通。我们如何才能知道他们用了多长时间呢？”引导学生意识到，这是一个“未知时间”的问题。

4.思维冲突：先让学生尝试用算术方法思考。学生可能陷入“总路程不知道”的困惑。教师指出：“当问题中未知量较多或关系复杂时，算术方法有时会束手无策。今天，我们就请出数学中的一位‘万能助手’——方程，来攻克这类难题。”自然引出课题。

设计意图：动态视频能迅速吸引学生注意力，将抽象的数学问题具象化。从熟悉的关系式复习入手，搭建“脚手架”。通过设置一个隐含两个未知量（总路程和时间）的“半结构不良”问题，制造认知冲突，激发学生学习新方法（方程法）的强烈需求。

第二环节：合作探究，构建模型(预计时间：22分钟)

探究活动一：相遇问题——从“线段图”到“等式”

情境深化：“刚才的隧道问题，我们补充一个条件：这条隧道总长2160米。现在，能求了吗？”

学生活动：

1.独立尝试：学生在学习任务单上尝试用自己喜欢的方式分析。（教师巡视，关注学生是画图还是直接思考，是设时间为x，还是尝试其他方法。）

2.小组研讨：四人小组交流。核心任务：

1.3.Task1：用线段图表示出题意。（一人画图，组内补充）

2.4.Task2：根据线段图，找出题目中有哪些“相等的量”（等量关系）。

3.5.Task3：尝试设未知数，并列出方程。

6.全班分享与精讲：

1.7.展示线段图：请一组学生通过实物投影展示他们画的线段图。关键引导学生用两条不同颜色的线段分别表示甲、乙队的工作量，强调“同时开工”、“隧道总长”如何在图中体现。

总长2160米

|————甲队工作量————|————乙队工作量————|

|←150米/月×时间→|←120米/月×时间→|

1.8.提炼等量关系：从线段图中，引导学生自然得出核心等量关系：甲队掘进长度+乙队掘进长度=隧道总长。教师板书此关系。

2.9.代数化与列方程：

1.3.10.解：设两队共同工作了x

x

x个月。

2.4.11.则甲队掘进了150

x

150x

150x米，乙队掘进了120

x

120x

120x米。

3.5.12.根据等量关系列出方程：150

x

+

120

x

=

2160

150x+120x=2160

150x+120x=2160。

6.13.求解与检验：学生口述解方程过程：270

x

=

2160

270x=2160

270x=2160,x

=

8

x=8

x=8。教师强调“x=8”表示什么？如何检验？引导学生将x=8代入原题情境：“甲队掘进150×8=1200米，乙队掘进120×8=960米，1200+960=2160米，符合总长，解答正确。”

7.14.作答：完整书写答句。

建模升华：教师引导学生将具体等量关系上升为通用模型：“对于两个物体/队伍同时从两地相向而行（或工作）直到相遇（完成）的问题，核心等量关系是：PartA+PartB=Total。而PartA和PartB通常可以表示为（速度/工效A×时间）和（速度/工效B×时间）。”并板书模型一：S_A+S_B=S_总或v_At+v_Bt=S_总。

探究活动二：变式与拓展——追及问题

情境切换：“工程挑战成功！现在切换到‘星际探索’模式。我国‘玉兔二号’月球车在月面执行任务，指令中心发现一个珍贵样本点。玉兔二号当前距离样本点有30米，它以每分钟2米的速度向样本点行驶。为确保安全，一架无人机从指令中心（与玉兔同侧，但在其后）同时出发，以每分钟5米的速度飞行运送扫描仪，需要在玉兔到达样本点前将扫描仪送达。问无人机能否及时送达？如果以‘无人机追上玉兔的时间’来思考，该如何列方程？”

学生活动：

1.对比分析：学生独立对比此情境与上一情境的异同。（相同：两者同时出发；不同：方向——同向vs相向；核心——追上vs相遇；等量关系？）

2.尝试建模：鼓励学生模仿上一环节，尝试画线段图，寻找等量关系。

3.难点突破：教师利用动画演示追及过程。关键提问：“在它们运动的过程中，什么量是相等的？”（预设学生回答：时间相同）。“除了时间，当无人机追上玉兔的那一刻，还有什么量是相等的？”引导学生思考：无人机飞行的路程=玉兔行驶的路程+最初的30米距离差。

4.建立方程：

1.5.解：设出发后x

x

x分钟无人机追上玉兔。

2.6.无人机路程：5

x

5x

5x米；玉兔路程：2

x

2x

2x米。

3.7.等量关系：无人机路程=玉兔路程+初始距离。

4.8.方程：5

x

=

2

x

+

30

5x=2x+30

5x=2x+30。

9.求解与解释：解得x

=

10

x=10

x=10。玉兔10分钟行20米，距样本点还有10米，因此无人机能提前送达。教师板书模型二：v_快t=v_慢t+初始距离差。

探究活动三：工程合作问题——效率的叠加

情境三：“生态修复工程”：“为修复一片湿地，A工程队单独完成需15天，B工程队单独完成需10天。现为加快进度，两队合作，需要多少天完成？”

认知飞跃：这是学生首次正式接触“工程问题”，且工作效率以分数形式出现。

教师引导：

1.概念建构：帮助学生理解“将整个湿地修复工作看作单位‘1’”。提问：“A队15天完成全部，那么它每天完成多少？（1/15）这个‘1/15’就是A队的工作效率。同理，B队的工作效率是？（1/10）”

2.合作效率：“当两队合作时，他们一天能完成多少工作量？”引导学生得出：合作工作效率=甲效+乙效=1/15+1/10=1/6。

3.建立模型：“合作需要x天完成。那么合作的总工作量如何表示？”（合作效率×合作时间=1/6×x）。这个总工作量就是“单位1”。

4.列出方程：根据工作总量=工作效率和×工作时间，直接列出方程：(

1

15

+

1

10

)

x

=

1

(\frac{1}{15}+\frac{1}{10})x=1

(151​+101​)x=1或1

6

x

=

1

\frac{1}{6}x=1

61​x=1。

5.求解与反思：解得x

=

6

x=6

x=6。教师强调，此类问题中，工作总量常设为“1”，工作效率是时间的倒数。板书模型三：(甲效+乙效)×合作时间=工作总量(1)。

设计意图：本环节是教学的核心与高潮。通过三个层层递进、类型鲜明的探究活动，让学生在“做数学”中构建关键模型。教师角色从“告知者”转变为“引导者”和“促进者”，利用对比、可视化（线段图、动画）、概念剖析等策略，突破思维难点。每个模型建立后都及时进行抽象概括，帮助学生从“解决一个问题”上升到“解决一类问题”的认知水平。

第三环节：模型应用，分层固学(预计时间：8分钟)

设计三个层次的课堂练习，学生在任务单上完成，教师巡视指导，并利用即时反馈系统收集典型答案。

【基础巩固层】

1.（相遇模型）两列火车从相距770千米的两地同时相向开出，甲车速度65千米/时，乙车速度45千米/时，几小时后相遇？

2.（工程模型）一份稿件，李阿姨单独打要4小时完成，王阿姨单独打要5小时完成。两人合作，几小时可以打完？

【综合应用层】

3.（追及模型）哥哥和弟弟去学校，弟弟步行每分钟走60米，出发10分钟后，哥哥骑自行车以每分钟240米的速度去追弟弟，哥哥几分钟后能追上弟弟？

4.（条件变换）甲乙两队合修一段公路，甲队每天修80米，乙队每天修100米。合修5天后，还剩300米未修。这段公路长多少米？（此题既可用方程，也可用算术，鼓励用方程，设总长为x米，等量关系：总长-已修=剩余）

【思维挑战层】

5.（开放建模）请根据方程(

3

+

x

)

×

4

=

36

(3+x)\times4=36

(3+x)×4=36，编一道贴合生活实际的行程问题或工程问题。（此题旨在逆向培养学生对模型的理解和应用能力）

设计意图：分层练习满足不同层次学生的学习需求，确保全体学生掌握基础，大部分学生达到综合应用，学有余力的学生能进行创造性思维。即时反馈能让教师快速把握学情，进行针对性讲解。

第四环节：反思对比，升华思想(预计时间：7分钟)

教师活动：

1.方法对比：以“基础巩固层”第1题为例，请一位学生上台展示算术解法（770÷(65+45)=7小时），再与方程解法（65x+45x=770）并列呈现。组织学生小组讨论：“两种方法在思考路径上有什么根本不同？”

2.引导归纳：

1.3.算术法：是“逆向”思维。必须先知“总路程”和“速度和”，才能求出时间。思维链条是“要求什么，必须先知道什么”。

2.4.方程法：是“正向”思维。直接假设未知数（时间x），根据“甲路程+乙路程=总路程”这个显而易见的等量关系，把已知和未知组织到一个等式里，然后通过等式性质求解。思维链条是“有哪些量，它们之间有什么关系”。

5.思想升华：教师总结：“方程法的优势在于，它让我们直面未知数，把未知当成已知来用，思维过程更直接、更顺向，尤其擅长处理关系复杂、未知量多的问题。它体现了一种强大的‘代数思维’。今天学习的行程和工程问题模型，就是代数思维解决实际问题的典型范例。”

6.梳理步骤：师生共同回顾并完整板书列方程解决实际问题的一般步骤：

1.7.审题，弄清题意。

2.8.寻找等量关系。（最关键一步）

3.9.解设未知数（带单位）。

4.10.列出方程。

5.11.解方程。

6.12.检验并写答。

设计意图：本环节是画龙点睛之笔。通过直观对比算术法与方程法，促使学生从方法论层面理解方程的价值，完成思维范式的转变。完整的步骤梳理，帮助学生将散落的知识点系统化、结构化，形成稳固的认知图式。

三、学习评价设计

3.1过程性评价

1.课堂观察量表：教师通过巡视，记录学生在小组合作中画线段图、参与讨论、表达观点的表现，评价其探究、协作与交流能力。

2.即时反馈：通过课堂练习的实时提交与统计，量化评估学生对三类基本模型的掌握情况。

3.语言表达评价：关注学生在分享环节能否用准确的数学语言描述等量关系和解题思路。

3.2总结性评价（课后作业设计）

【必做题】

1.苏教版配套练习册P12-13相关基础题。

2.自编题：小张和小李绕环湖跑道跑步，反向而跑，40秒相遇；同向而跑，200秒小张追上小李。已知小张速度快。求两人速度。（此题融合相遇与追及，但仅要求设一个未知数，另一个用关系表示，为优生提供挑战）

【选做题/实践题】

3.家庭项目：测量从你家到学校的路程（或估算）。假设你步行和爸爸骑车的速度（合理估算），设计一个“爸爸从家出发多久能追上已走了一段路的你”的问题，并列出方程求解。将过程记录在数学日记中。

3.3评价标准

1.优秀：能独立、流畅地分析复杂情境，准确画出线段图并找出等量关系；列方程规范、解答正确；能清晰阐述方程思维的优势；能完成挑战题。

2.良好：在教师或同学稍加点拨下，能理解题意并找出等量关系；能规范地列方程解决常规问题；理解方程解法的步骤。

3.达标：能模仿例题，解决结构类似的简单问题；了解列方程的基本步骤。

四、教学反思与特色说明

4.1预期教学效果反思

1.预计90%以上的学生能掌握相遇、追及、合作三类基本问题的方程