模型10 加权逆等线最值模型（原卷版）

【模型总结】

因在求形如“QB+kPA”(kwl)的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与

相等的线段(即人也4=QO，将Q/+4O4”型问题转化为“QB+Q/型将军饮马问题.当

k=l时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通

过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.

因需要注意：这里的QB、两条线及的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等

三角形得到kPA的等线段.

【解题方法】

团利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利

用“两点之间线段最短”从而解出答案.

例题精讲

考点一:直角三角形中的加权逆等线模型

【例1】.如图，已知BC_LAB,BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE,D点在AB延长线上，且

CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少.

》变式训练

【变式1-1].如图，等腰直角aABC中，斜边BC=2,点D、E分别为线段AB和BC上的动点,

BE=>/2ADt求AE+&CD的最小值.

A

D

BC

E

【变式1-2].如图，在RtAABC中,AC=6,BC=8,NACB=90,，点E、F分别是AB、BC边上的动

点，且4E=2C",求|CE+AF的最小值.

考点二：特殊平行四边形中的加权逆等线模型

【例2】.如图，在正方形ABCD中,AB=1,E、F分别为CB、DC上的动点,且BE=2DF,求DE+2AF

的最小值.

实战演练

1.如图，等腰△ABC,NBAC=】20",AB=AC=】，D、E分别是AB、BC边上的动点，且满足BE=y/iAD,求

AE+&D的最小值.

2.如图，"为矩形力战中力〃边中点，E、尸分别为比、⑦上的动点，旦BE=2DF,若48=1,

BC=2,则加包4尸的最小值为.

BE

3.如图，在正方形他〃中，刀为力〃上一点，且我="E、〃分别为6%、上的动点，且BF

=3DE,若AD=3,求小'+%£的最小值.

4.如图，在RtZ\〃KNB口=90°,Z/l=30°,AC=正,点〃在线段加上，点/在线段

加的延长线上，且BE=M,则侬切的最小值是

D

C

5.如图，在矩形力仇》中，四=4,49=6,点夕在边力〃上，点0在边欧上，且仙=8,连

接mQD,则小。〃的最小值等于

6.如图，平行四边形/I阳9,AB>AD,AD=4,N/1加=60°,)>E、尸为对角线窗上的动点,

DE=2BF,连接4?、6K贝I］力626的最小值为.

AB

7.问题提出:

（1）如图①，在正方形力匐9中，£为边力8上一点（点£不与点力、8重合），连接DE,过

点力作"J_龙，交力于点R则应与"'的数量关系是：DEAF；

问题探究：

（2）如图②，在矩形/仍Q?中，48=4,AD=6,点、E、尸分别在边力从口上，点材为线段

"上一动点，过点财作）的垂线分别交边/!〃、4c于点G、点〃.若线段）恰好平分矩形

.仍切的面积，且的'=1,求6〃的长；

问题解决：

（3）如图③，在正方形力仇刀中，.犷为/〃上一点，且幽W,E、歹分别为呢⑦上的动点,

HD1

旦BE=2DF,若48=4,求柳升2"的最小值.

图①

图②图③

8.如图，在中，ZABC=^O°,BC=6,AC=8fA£分别为边力。、力8上两个动点.

（1）如图1,若〃为力。中点，且平分△力8。的周长;

i）求四-应的值；

ii）求证：/力以=30°,并直接写出龙的值；

（2）如图2,若AE=O）,连接劭、CE,求即四的最小值.

9.如图1,在口加切中.46=6.AC与BD交于点、0,点、邑尸分别是线段〃；Q?上的动点（点

E，尸不与儿C〃重合）.AE=CF,设/ACD=a,将线段力〃绕点力按逆时针方向旋转a得

至HR连接阳BE,BF.

（1）求证：MAP曜XCBR

（2）如图2,若/a14=90°,AACD=W,且点反E、尸在一条直线上，求筋跖的值;

（3）当OB=OC,//切=60°时，应壬卯长的最小值是.

(1)如图1,己知N4TV90°.若DR=BN,求证：四边形〃/次V为平行四边形；

(2)如图2,已知N力比'=60°.若例,为N/I8。的角平分线，7为线段创「上一点，板的延

长线交线段%于点M满足：tan/〃/uLll〃M=E£请认真思考(1)中图形，探究曲的

2AD

值.

(3)如图3,平行四边形力切9中，N力比1=60°,AB=BC=2,尸在线段仍上，0在线段

⑺上，满足：BP=2CQ.直接写出(2。什力产)的最小值为

11.如图，在菱形力筋中，ZBAD=120°,仍=6,连接劭.

（1）求劭的长；

（2）点f为线段仍上一动点