湖北中职技能高考数学学习知识总汇

湖北技能高考数学基础知识总汇(上)

预备知识：

1.完全平方和(差)公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

3.立方和(差)公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3±b3=(a-b)(a2±ab+b2)

4.韦凝里：无i+元，=_B-c；求根公式M=—b土垢2-4所

12A12A2a

第一章集合与简易逻辑

集合

1、集合的有关概念和运算

(1)集合的特性：确定性、互异性和无序性；

(2)元素a和集合A之间的关系：aeA,或aeA；

(3)常用数集及其符号：自然数集N、整数集Z、正整数集N.、有理数集Q、实数集R。

(4)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：AGB,

注意：ACB时，A有以下可能：A=①、A=B、A的元素比B少且A的元素都属于B,

3、真子集定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A;记作：A&B。

4、补集定义:C遇=[x\x£U，且x£A}。

5、交集与并集：交集：AIB={.r|xe/\fixeB);并集：AYB={x\xeeB]

6、集合中元素的个数的计算：若集合A中有〃个元素，则集合4的所有不同的子集个数为

辿个，所有真子集的个数是(2n-1)个,所有非空真子集的个数是⑵-2)个。

二.简易逻辑：充分条件与必要条件：

若pnq,则P叫q的充分条件；

若Puq,则p叫q的必要条件；

若poq,则P叫q的充要条件；

弟一早不等式

一、不等式的基本性质:

1.特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

2.中间值匕俄法：先把要比较的代数式与"0〃比，与"1"比，然后再上徽它们的大小。

3.实数大小的基本性质：

a<b<=>a-b<0;a=b<^a-b=O;a>b<=>a-b>0

4.不等式的性质：

(1)传递性：a>b且b>&则a>c。

(2)力口;去：a>〃贝」aI±c>b±c,且无论c的正负。

(3)乘;去|4S：①a>b,c>0,则ac>儿、i>L；⑵a>瓦cV0,则acV儿、£<Lo

CCCC

(4)作差法上匕较两数(或两式)的大小或证明不等式成立：作差一变形(通分、配方、分解

因式等一判断符号。也可以求比来比较大小。

二.均值定理：

内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若a,b>0,则史上之侬

1.

2

且仅当a=b时取等号)

2.基本变形：①a+b22点(a，b£R+)(当且仅当a=b时取等号)；②若则

az+b2>2abo

三、区间的概念：区间、区间的端点、开区间、闭区间、半开半闭区间、无(有)限区间以及

它们的数轴表示。如{xg-l}n{x|x<3}=[-l,3)可表示为：

-I03x

四、绝对值不等式：

x,x>0

(1\|x|=0,x=0

I■*"J-x,x<0

(2)①|ax+b|Wc,cN0=(ax+b)2<c0-c0ax+bWc。小于取中间②

|ax4-b|>c,c>0=(ax+b)2Nc20ax+bNc或ax+bW-c。大于取两边

(3)d<|ax+b|<c,c>0,d>0则|ax4-b|<c且|ax4-b|>d0

五、一元一次不等式的解法：依据不等式性质：去分母、去括号、移项、合并同类项将其化为

"axVb或axWb";"ax>b或axNb”的形式求解；一元一次不等式组的解则是各不等式解的交集匚

六、一元二次不等式的图解法：(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)

判别式：△=b2-4acA>0A：=0A<0

二次函数yIJ

f(x)=ax2+bx+c(a>0)/

的图象

0x

4/LL4Jz

有两相等实数根

一元—次方程有两相异实数根没有实数根

ax2+bx+c=0(a>0)的根x,x(x<x)X=X=--

1212122a

一兀一次不等式

{xIx<X,x>x}{X|x-袅

">"成两边2R

ax2+bx+c>0(a>0)的解集

一元二次不等式{x\x<x<x}

124

ax2+6+(?<0(@>0)的解集"<"取中间4

-{

注意：①带等于号的情况；②先化为a>0的形式；③若^^^+Z+^^的解集为心则a>0

且△VO。若ax2+bx+cVO的解集为R,则a<0且△V0。

七、分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

(1)/(">0<=>f(x)>0且g(x)>0或f(x)<0且g(x)<0即f(x)g(x)>0；

g(x)

<o<=>/(%)>o且g(%)<。或/(%)<。且g(x)>。即/(x)gO)w0。且g(X)工0。

第三章函数

1、定义：设A,B邕型集，若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意T数X,

集合B中都有唯一褊薪画1x)和它对应，就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数，

记作y=f(x),

2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；两个函数相同，则定义域、对应法则要相同，

最终值域也相同。

3、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。

4、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母工0;③0次帚:底数w0；

④偶次根式：被开方式之。，例：y=J25-X2；⑤对数：真数〉0,例：y=log(1一—)

。x

⑥正切函数：x€R,x=kn+>kwZ;⑦指数函数、对数函数：底数(a>0且arl);⑧其他

实际要求：例如三角形的内角0<a<n、人的个数、工件个数、工作天数等x£N。

5、求值域的一般方法：

①图象观察法：y=0.2|x|；②单调函数法：y=log。(3]-1),xGJ.,3]

③二次函数配方法：y=x2-4工,x金[1,5),y=q-x2+2x+2

6、求函数解析式f(x)的一般方法：

①待定系数法：把已知点(x,y)值代入f(x)=ax+b或f(x)=皿+bx+c解析式中求解。

②奇偶性法：f(x)是左路函数，且在(0,+8)上解析式是f(x)=x-2,则在(-co,0)

上解析式是f(x)=x+2

7、函数的单调性：

定义：区间D上任意两个值，若X1<大的有/(%)</(尤2)，称/(文)为D上增函

数；

若入<七时有/(Z)>八。)，称/U)为D上减函数。(一致为增，不同为减)

(2)区间D叫函数八文)的单调区间，单调区间包含于定义域；

⑶证明函数单调性的方法：在定义域上取目<七，作差法(/•(/)-/(x2))比较大小。

(4)一次函数a>0时是增函数，反之是减函数；三次函数a>0时在对称轴左边是减函数，

右边是增函数，a<0时则反之。

8、奇偶性：定义域一定关于原点对称，匕啜f(x)与f(-x)的关系；要会用奇偶性比较大小。

f(x)-f(-x)=OOf(x)=f(-x)of(x)为偶函数，其图象关于y轴对称；

f(x)+f(-x)=0of(x)=-f(-x)of(x)为奇函数，其图象关于原点对称。

9、周期性：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。正

弦、余弦函数周期为211,正切函数周期为工

10、函数图像变换：

(1)平移变换y=f(x)->y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法则：加左减右，加上减下；(3)还可

以通过特殊值法，描点定性作出函数图象，分析其单调性、奇偶性等。

11、分段函数：在实际应用问题中常涉及：水费、电费、商品售价优惠等。不同区间上解析式

不相同，但整体是一个函数。注意每段定义域的端点是否包含。

12、二次函数：

(1)二次函数的三种解析式

①二三土至士工1azDJ.L

②顶点式：/(%)=一k)2+九(a#0),其中(k,h)为顶点；

③两蔽=^~xT(x二弱丞》一是干(刈二0的两根

1212

(2)图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

开口：开口向J_a<()Q开口向下

对称轴P=T.顶点坐标：(一匕4QT2)

2a2a4Q

△>0->有两交点

△与x轴的交点：A=0->有一交点(△=b2-4ac)

{△V0t无交点

X+X=一匕

④根与系数的关系：(韦达定理){12_a

XX一c

")=aX2+b%+C12a

⑤为偶函数的充要条件为b=0

⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0,用于解二次不等式)

/«>0=场沪图象位于x轴上方；<0g产;「默图象位于x轴下方。

⑦若二次函数对任意x都有/(「一无)=+x),则其对称轴是x=

第四章指数函数与对数函数

1.根式与实数指数募：

(l)n次根式:如果Xn二a(n>l,且n£N*),则称x是a的n次方根。

①0的n次实数方根等于0,即W=0。②若n是奇数，则a的n次实数方根记作：标

③若n是偶数，且a>0,则a的n次实数方根为±痣，其中।痣叫做a的n次算术根。

(2)根式的性质：

①MQ♦=a②?/auip=Vani»（3—0）o

n0\a（a＞0）

③当为奇数时，局=a；当n为偶数时，JT=|a|=〈,川。

［一4（。＜0）

⑶分数指数幕：①正分数指数幕：aT=忑＞；负分数指数募：a^,=—

②ao=1,aHO③an=xaOSaGN*

an

⑷实数指数募运算法则：

(i)aiiiaii=amii;^)amean—amn；^)amn—am；(J)abn=a”bn；(5)an=atv

bbn°

2.对数及其运算法则：

(1)定义：如果的尸N(〃>0,〃/1)，则，og/=b0以10为底叫常用对数，记为IgN,以

e=2.7182828…为底口怕然对数，记为InN

(2)性质：①负数和零没有对数，®1的对数等于0:log1=0,③底的襁(等于1:

a

log/=1,④积的对数：1。&(MN)=logM+logN,

"M

商的对数：log_=logM_iogN,

aNa11

幕的对数：logM=«logM,方根的对数:log/AT=IlogM,

anaaRna

指数和对数：aioga=%(a>0,awl),Sbx=logh(a>0,a^l)

an人xQo

(3)换底公式:笛/=4Hg(a,b,N>O,a,bwl).

0

3.幕函数的图象和性质:

y=X2y=X3Ly=%1y=X2

y=xy=小

:/

'I/,1/1

图像/•J--••

71

/!♦

定义域RRR［。,+8)XH0(。,+8)

值域R［。,+8)R［。,+8)ywo(。,+8)

单调性增先减后增增增减先增后减

奇偶性奇偶奇无奇偶

(0,0)和(1,1)(1,1)

象限

1,31,21,311,31,2

4.指数函数和对数函数的图象性质：

函数指数函数对数函数

定义>0且)y=logx(t/>。且aw1)

0<a<la>l0<a<l

图象

y=axy

y=logax

x

0

y=logx

0a

定义域,+8)(0,+8)

性值域(0,+8)(-00,+CO)

单调性增函数减函数增函数减函数

质函数值>l,x>0<1/>0I<0,x>1

变化=l,x=0=l,x=0log工=0,x=1log0,x=1

<l,x<0>l,x<0<0,0<x<>0,0<x<1

定点®Q0=1,.,•过定点（0,1）010g1=0,..•过定点（1,0）

a

图。内>0，，图象在乂轴上方。1>。,.・.图象在丫轴右边

象if月淄H号少“叫x的图象关于直线丁=x蹲3陶=°工。

的图象关于y轴对称，例-）

3

5.高函数（y=.）和指数函数（y=*的特征都可归纳为："因变量、自变量的系数都为1,

只有一项“。即等式左右两边都只有一项且系数都为1。

6.函数的应用：一次函数、二次函数、分段函数用来解决水费、电费问题，商品优惠问题，一

般先列出相应解析式，确定定义域，再计算相应函数值并求解最值。指数函数、对数函数一般

用于处理增长率问题、利息问题，先按通式Q（1±b%）x=na,再取常用对数求解，它跟等比

数列还可以发生联系，比如房贷问题。

第五章三角函数

1、角的定义：①概念：角、始边、终边、顶点、正角、负角、零角、象眼角、界限隹。②终

边相同的角：与。终边相同的角的集合为{plB=a+h360°,A£Z},T殳360°<a<

360%处理方法是：去整留零。

2、弧度制：Q）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

[80

（2）度数与弧度数的换算：180。二加弧度，1。=」-rad,l弧度二（—）。

180

（3）弧长公式：/=|a|r（a是角的弧度数）

扇形面积：S=l/r==_I。I

22

3、任意角的三角函数：（如图）

sina=Xcosa=*tana=X.

4、同角三角函数基本关系式

（1）平方关系，（2）商数关系，（3）倒数关系：

sin2ct+cos2a=1sina=±A/1-cos2dcosa=—sma

（sina±cosa）2=1±2sinacosa

tana=sinatana•cosa=sina用于弦化切、切化弦。

cosa

5、诱导公式（理解记忆方法：把a"看成锐角"，则-a、180°+a、180°-a分别是第四、第三、

第二象限角，再确定其符号.三角函数的形式不变.）

公式一：sin（a+h360°）=sinacos（a+k-360°）=cosatan（a+h360°）=tana

公式二:公式三：公式四：（奇偶性）

sin(180°-a)=sinasin(180°+a)=-sinasin(-a)=-sina

cos(180°-a)=-cosacos(180°+a)=-cosacos(-a)=cosa

tan(1800-a)=-tanatan(180°+a)=tanatan(-a)=-tana

6、三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

7、—;目函数的图象伯质：