高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义学案（无答案）

5.1导数的概念及其意义新课学习问题1高台跳水运动员的速度在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？阅读课本59-61页，思考并回答以下几个问题。(1)如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？(2)如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？(3)计算运动员在0≤t≤????????(4)瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗？答案：（小组交流并写出答案）观察课本60中的表格5.1-1，发现规律：（1）发现无论t从，还是从无限趋近于1，平均速度都无限趋近于。（2）由可知，无论Δt的正负，只要无限趋近于，－4.9Δt也无限趋近于，平均速度都无限趋近于－5。极限的定义：我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，的极限”，记为跟踪练习1.你能用上述方法，计算当t＝2s时的瞬时速度吗？2.你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？方法技巧：求物体在t0刻的瞬时速度一般步骤：(1)平均速度：(2)瞬时速度：问题2.抛物线的切线的斜率

你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？阅读课本62-64页，思考并回答以下几个问题。斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？如何求抛物线在点处的割线的斜率呢？(3)从切线的定义可见，抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有什么样的联系.答案：（小组交流并写出答案）观察课本63中的表格5.1-2，发现规律：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线无限趋近于，这时割线的斜率无限趋近于，因此切线的斜率x＝x0处的。知识点总结1.平均变化率的定义：函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝____________,我们把比值＝________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．注：(1)△x可以是正值,也可以是负值,但不为(2)平均变化率的几何意义是。2.求函数平均变化率的一般步骤：对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝＝.3.瞬时变化率的定义：函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即=注：瞬时变化率的几何意义是。典型例题例1已知函数y＝x－eq\f(1,x)，求该函数图象在点x＝1处的切线斜率.变式训练求抛物线y＝x2+1，在点（0,1）处的切线方程.例2已知火箭发射t秒后，其高度（单位：m）为h(t)=0.9t2。求：（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度。检测练习1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． ()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． ()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ()(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的瞬时变化率可写成eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))fx0−fx02.函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．