高中数学第二章随机变量及其分布3.2离散型随机变量的方差学案新人教A版选修2-

离散型随机变量的方差

基础认知-自主学习

1.离散型随机变量的方差、标准差是怎样定义的？具有怎样的性质？

导思

2.两点分布与二项分布的方差应如何计算？

1.方差、标准差的定义以及方差的性质

(1)方差及标准差的定义：

设离散型随机变量X的分布列为

•••

XXiX2•••XiX,.

•••

PPiP2•••PiP-.

①方差：D(x)=£(Xi_E(X))2pj

i=l

②标准差为：A/D(X).

(2)方差的性质：P(aX+b)=a2P(X).

♦思考

(D离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？

提示：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度.

(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？

提示：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.

(3)离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系如何？

提示：①区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随

机变量，它随样本抽取的不同而变化.

②联系：对于简单的阻机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差.

2.两点分布与二项分布的方差

⑴若X服从两点分布，则D(X)=p(l—p).

(2)若X~B(n,p)，则D(X)=np(l-p).

■思考

(D两点分布的方差是如何推导的？

提示：因为X服从两点分布，所以E(X)=p,

D(X)=(1—p)Jp+(0—p)J(l—p)=p(l—p)(1—p+p)=p(l—p).

(2)二项分布的方差公式适合两点分布的方差公式吗？

提示：适合.因为两点分布是二项分布的特例，所以二项分布的方差公式适合两点分布的方

差公式.

<<基础小测一

1.辨析记忆(对的打“，错的打“X”)

⑴离散型随机变量g的期望E(9反映了g取值的概率的平均值.(x)

⑵离散型随机变量1的方差D(g)反映了3取值的平均水平.(X)

⑶离散型随机变量€的方差D(g)反映了€取值的波动水平.(J)

(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(X)

提小：(1)离散型随机变量&的期望E(&)反映了&取值的平均水平.

(2)离散型随机变量g的方差D(g)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.

(3)由方差的意义可知.

(4)离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳定性越好.

2.已知随机变量g,D(W)=J,则W的标准差为.

【解析】€的标准差ND(&)=郊.

541

答案:§

3.已知随机变量X,Y满足，X+Y=8,且X〜B(10,0.6),则D(X)+E(Y)=.

【解析】由题意X〜B(10,0.6),知随机变量X服从二项分布，n=10,p=0.6,

则均值E(X)=np=6,方差D(X)=npq=2.4,

又因为X+Y=8,所以Y=-X+8,

所以E(Y)=-E(X)+8=—6+8=2,D(X)+E(Y)=4.4.

答案：

——份能力形成■合作探究知

类型一离散型随机变量方差的计算(数据分析、数学运算)

题组训练

1.已知随机变量X的分布列为

X135

P

则X的标准差、I)(X)等于()

A.3.56B.y[^2C.3.2D.73.56

【解析】1.选D.数学期望E(X)=1XO.4+3X0.14-5X0.5=3.2,

由方差的定义，D(X)=(1—3.2)2X0.4+(3—3.2)2XO.1+(5-3.2)2X0.5=1.936+0.004

+1.62=3.56.

所以标准差，I)(X)=A/T56.

2.已知随机变量€的分布列如下表：

€-101

111

P

236

则W的均值为,方差为.

【解析】2.均值E(€)=x1p14-x2p24-x:)p3=(—1)+0x1+1X《=—1；方差D(O

/Jb3

2

=(X)—E(O),pi+(x2—E(O)'•P2+(X3—E(&))'•P3=1

…15

口案：一§9

3.已知随机变量X的分布列是

X01234

P

试求D(X)和D(2X-1).

【解析】3.E(X)=0X0.2+1X0.2+2X0.3+3X0.2+4X0.1=1.8.

所以D(X)=(0-1.8)2X0.2+(1-1.8)2X0.2+(2-1.8)2X0.3+(3-1.8)2X0.2+(4-

1.8)2X0.1=1.56.利用方差的性质D(aXIb)=a2D(X).

因为D(X)=1.56,所以D(2X-1)=4D(X)=4X1.56=6.24.

解题策略

求离散型随机变量€的方差的步骤

(I)理解€的意义，明确其可能取值.

(2)判定€是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利川公式

直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤.

(3)求，取每个值的概率.

(4)写出€的分布列，并利用分布列性质检验.

(5)根据方差定义求D(g).

【补偿训练】

已知n的分布列为

n010205060

\_2121

p

3575?515

(D求方差及标准差.

(2)设Y=2n—E(n),求D(Y).

12121

【解析】⑴因为E(n)=OX1+10X-+20X—+50X77+60X—=16,

00101010

1212

所以D(n)=(0-16)2X-4-(10-16)2X-+(20-16)2X—+(50—16)?X"+(60-

3□lalb

16尸X白=384,

lb

所以、D(n)=8#.

⑵因为Y=2n-E(n),所以D(Y)=D(2n-E(n))

=%D(n)=4X384=1536.

类型二两点分布与二项分布的方差(数据分析、数学运算)

【典例】一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯

这一事件是相互独立的，并且概率是:.

(1)求这位司机遇到红灯数€的期望与方差.

(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间n的期望与方差.

【思路导引】

先判断&服从什么分布，再利用相应的公式求解.

【解析】(1)易知司机遇上红灯次数W服从二项分布，旦g〜B(6,3,

所以E(E)=6X；=2,D(€)=6x|.

(2)由已知n=30€,所以E(n)=30E(2)=60,D(n)=900D(€)=1200.

解题策略

求离散型随机变量的均值与方差的关注点

(1)写出离散型随机变量的分布列.

(2)正确应用均值与方差的公式进行计算.

(3)对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计

算.

。跟踪训练一

1.(2021•遵义高二检测j若X〜B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()

A.3X2-2B.2一,C.3X2-10D.2f

【解析】选C.因为X〜B(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(l—p).

np=6,

所以〉

np(1—p)=3,

所以p(x=i)=Ci2x=3X2-,0.

2.(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得。分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,

求他一次罚球得分的方差；

(2)将一枚硬币连续抛掷E次，求正面向上的次数的方差.

(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求推到男

同学人数的方差.

【解析】(1)设一次罚球得分为X,X服从两点分布，即

X01

P

所以D(X)=p(l-p)=0.7X0.3=0.21.

(2)设正面向上的次数为Y,则Y〜45,，，

D(Y)=np(l-p)=5x|=1.25.

(3)设抽到男同学的人数为€.€服从超几何分布，分布列为

g0123

C"c：C；戊C：C；C；

P

5。C?o

UP

40123

13\_1

P

30To26

131

所以E(&)=OXR+1X%+2X-+3X-=0.3+l+0.5=1.8,

JU10乙b

1311

D(€)=(0-1.8)2X—+(1-1.8)2X—+(2-1.8)2X-+(3-1.8)2X-=0.56.类型三

3010No

方差的实际应用(数学建模、数据分析)

【典例】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量&,n,已知甲、

乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,

3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

(D求g,n的分布列.

(2)求；，n的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.

【思路导引】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出Un的分布列.

(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值.

【解析】(1)由题意得：0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.

因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1—(0.3

+0.3+0.2)=0.2.

所以；，n的分布列分别为

€10987

P

n10987

P

(2)由(1)得：E(4)=10X0.5+9X().3+8X0.1+7X0.1=9.2；

E(n)=10X0.3+9X0.3+8X0.2+7X().2=8.7；

D(€)=(10-9.2)2X0.5+(9-9.2)2X0.3+(8-9.2)2X0.l+(7-9.2)2X0.1=0.96；

D(n)=(10-8.7)2X0.3+(9-8.7)2X0.3+(8-8.7)2X0.2+(7-8.7)2X0.2=1.21.

由于E(g)>E(n),D(CXD(n),说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所

以甲比乙的射击技术好.

解题策略

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤

(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实

际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.

(2)在均值相等的情况下L算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与

离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.

(3)下结论.依据方差的几何意义作出结论.

。跟踪训练"

1.有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府

E(0)=100X0.1+115X0.2+125X0.4+130X0.1+145X0.2=125,

D(€)=0.IX(110-125)2+0.2X(120-125)2+0.4X(125-125)2+0.1X(130-125)2+

0.2X(135—125)2=50,

D(n)=0.1X(1OO-125)2+O.2X(115-125)2+0.4X(125-125)2+0.1X(130-125)2+

0.2X(145—125)2=165,

由于E(g)=E(ri),D(O<D(n),故甲厂的材料稳定性较好.

2.有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90

分、10()分的概率分布大致如表所示：

甲：

分数X8090100

概率P

乙:

分数Y8090100

概率P

试分析两名学生的成绩水平.

【解析】因为E(X)=80X0.24-90X0.6+100X0.2=90,

D(X)=(80-90)2x0.2+(90-90)2X0.6+(100-90)2X0.2=40,

E(Y)=80X0.4+90X0.24-100X0.4=90,

l)(Y)=(80—90)2义().4+(90-90)2X0.2+(100-90)2XO.4=80,即E(X)=E(¥),

D(X)<D(Y),

所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定.

学情诊断-课堂测评

1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,

且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为()

A.0.48B.1.2C

【解析】选C.因为途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X〜B(3,0.4),

所以D(X)=3XO4X0.6=0.72.

2.已知X的分布列为

X-101

P

则D(X)等于()

A.0.7B.0.61C.-0.3D.0

【解析】选B.E(X)=-1X