2025北京清华附中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京清华附中初三12月月考数学（清华附中初23级）2025.12一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.“赠人玫瑰手有余香，志愿服务助人为乐”，下列志愿服务标志中为中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B.C. D.3.若，和是对应边，且，，则与的周长比是（）A. B. C. D.4.以下四个特殊三角函数值中，最大的是（）A. B. C. D.5.如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（）A.4 B.5 C.8 D.6.二次函数的图象向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. B.C. D.7.2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（）A. B. C. D.8.对于二次函数，定义其图象上点的“点值”为．已知该抛物线过点，顶点的“点值”为，且与x轴的两交点的“点值”之和为4，对于上述二次函数，下列结论中正确的有（）①；②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧；③其图象上有两个点的“点值”为0；④存在实数，使得函数图象上有且仅有一个点以为“点值”．A.①③ B.②④ C.②③ D.②③④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.抛物线的顶点坐标为_______．10.关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为_______．11.如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留）12.在中，，，则的值为_______．13.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．14.如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是_______．15.如图，A，B为圆O上两点，，C为圆O上一动点（不与A、B重合），D为的中点．若圆O的半径为2，则线段的长的最大值为_______．16.桌子上从左至右依次放着四件物品，分别记为A，B，C，D．现将这四件物品按以下步骤操作：第一步：A与左边的物品交换位置；第二步：B与右边的物品交换位置；第三步：C与左边的物品交换位置；第四步：D与右边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边无其它物品则不需要交换（1）若这四件物品初始摆放位置从左到右是“A，B，C，D”，完成步操作后，从左到右的物品顺序是_______；（2）若完成四个步骤后，C的位置与初始位置完全相同，且D最终在最右侧，那么这四件物品的初始摆放位置从左到右依次是_______．（填一种即可）三、解答题（本题共72分，其中17、18、20、21、23题每小题5分，19、22、24、25题每小题6分，26题7分，27、28题每小题8分）17.计算：．18.解方程：．19.已知，求代数式的值．20.如图，在平面直角坐标系中，已知线段，其中点，点；（1）在图中画出线段关于原点中心对称的图形，并标注字母；（2）点的坐标为_______；点的坐标为_______；（3）_______．21.如图，在四边形中，平分，．（1）求证：；（2）若，，求的长．22.二次函数的图象经过点；当时，该函数有最小值为．（1）求该二次函数的解析式；（2）在坐标系中直接画出该二次函数图象和一次函数的图象；（3）直线与抛物线的交点为，，和直线的交点为，当时，直接写出的取值范围．23.国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．（1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______；（2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率．24.如图，在三角形中，点E为边上一点，以为直径的与直线相切于点D，点D在线段上，连接，若．（1）求证：；（2）若，，求的长．25.某型号清洁机器人在执行任务时，其“清洁效率”和“系统功率”会随移动速度发生变化．技术人员在标准测试环境下记录了实验数据：移动速度清洁效率系统功率1016222834【模型说明】Ⅰ．功率模型：系统功率P与速度v之间近似满足一次函数关系．Ⅱ．效率模型：清洁效率理论上等于速度与清扫宽度的乘积，但实测数据显示增长趋势逐渐放缓，这是因为在较高速度下，单次清扫的清洁度会下降（例如，有更多灰尘未被吸入），导致“有效清洁面积”的增长速度低于理论值．本实验数据反映的是综合了覆盖速度与清洁效果的“有效清洁效率”（1）分析数据，可以发现，可以用函数刻画清洁效率C与移动速度v之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）若要求系统功率P不超过，则移动速度v的最大允许值为_______；（3）为优化机器人性能，技术人员定义综合性能指标：（单位功耗创造的清洁效率）．①满足的速度范围约为______________；（结果保留一位小数）②在此速度范围内，清洁效率C的最小值约为_______．（结果保留一位小数）26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）和是抛物线上的两点，若对于，，还有，求a的取值范围．27.如图，，点B为射线上一定点，点C为射线上一动点，连接，D为线段上一点，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，线段与交于点F，当点C运动到如图所示位置时，有．（1）①请补全图形；②求的大小（用表示）；（2）若，用等式表示与的数量关系并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”．（1）如图，已知点，的半径为2．①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______；②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标；③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值；（2）已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案BACDBDDD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.【答案】解：，所以抛物线的顶点坐标为.故答案为：.10.【答案】解：是关于x的一元二次方程的一个根∴把代入方程中得：，即解得：，，，，故答案为：．11.【答案】解：根据题意，砝码提起的长度为：，故答案为：．12.【答案】解：在中，，，即，设，则，由勾股定理，得，∴．故答案为：．13.【答案】解：，整理得，∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，故答案为：．14.【答案】解：，且，，，即：，解得：，（），树高是，故答案为：．15.【答案】解：如图，取的中点E，连接，则，∵D为线段的中点，∴是的中位线，∴，∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，∴线段长度的最大值即是点B与上的点的最大距离，如图，当点D在线段的延长线上时，即在的直径上，线段的长度取得最大值，连接，∵，，∴为等边三角形，∵为的中点，∴，∴，∴线段长度的最大值为．故答案为：．16.【答案】解：（1）初始顺序为，第一步：A与左边物品交换，但A位于最左侧，无物品可交换，顺序不变，仍为；第二步：B与右边物品交换，B位于第2位，右边为C，交换后顺序为；第三步：C与左边物品交换，C位于第2位，左边为A，交换后顺序为；第四步：D与右边物品交换，D位于第4位，无右边物品，不交换，顺序仍为；（2）若初始顺序为，∴第一步：A与左边物品交换，顺序为；第二步：B与右边物品交换，交换后顺序为；第三步：C与左边物品交换，交换后顺序为；第四步：D与右边物品交换，交换后顺序为，此时，C的位置与初始位置完全相同，且D最终在最右侧，故答案为：①，②（答案不唯一）．三、解答题（本题共72分，其中17、18、20、21、23题每小题5分，19、22、24、25题每小题6分，26题7分，27、28题每小题8分）17.【答案】解：.18.【答案】解：，∴，∴，∴，解得：，．19.【答案】解：∵，∴，∴．20.【答案】（1）解：如图，线段即为所求；（2）解：∵点，点，且点关于原点中心对称的点是，∴，，故答案为：，；（3）解：∵，，∴，，，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：．21.【答案】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∴（负值舍去）．22.【答案】（1）解：∵当时，该函数有最小值为，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：.（2）解：当时，，解得：，∴与坐标轴的交点为，当时，，当时，，∴抛物线经过点，用五点法画图二次函数图象如下：∵，当，，当，则，∴的图象与坐标轴的交点坐标为：，.一次函数的图象所示.（3）解：∵直线与抛物线的交点为，，∴点A、B关于对称轴对称，∴，∴，联立，解得或，∴抛物线与交点的横坐标为0或3，当时，，∵，如图所示：∴，∴即．23.【答案】（1）∵共有4个主题，∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是；（2）列表如下：乙甲共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果．所以（甲乙都没有选择“．专家系统”）．24.【答案】（1）证明：连接，∵以为直径的与直线相切于点D，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，∴∴；（2）解：过点作于点，∵以为直径的与直线相切于点D，∴，设，∵∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25.【答案】（1）解：如图：（2）解：设系统功率P与速度v之间的函数解析式为，将，代入得：，解得：，即，∵，∴，解得：，即移动速度v的最大允许值为；故答案为：；（3）①解：由（1）中图象可知，清洁效率C与速度v之间近似满足二次函数关系，设二次函数解析式为，将，，代入得：，即解得：，即，∴，当时，，当时，，解得：，∵，∴当时，，故答案为：，；②解：，对称轴为直线，∵，，∴在此速度范围内，清洁效率C最小时，此时．故答案为：．26.【答案】（1）解：抛物线，∴对称轴直线为；（2）解：∵，∴

，∴当，都有，抛物线，根为和，①当时，开口向上，对称轴直线为，∵，∴，且，∴且，由

得

；由

得

，即；∴；②当时，开口向下，对称轴直线为，∵，∴或，∵，∴，，即当时始终有，∴对于所有

，都有

；综上，

的取值范围为或．27.【答案】（1）解：①如图，补全图形如下：②∵线段绕点B顺时针旋转得到线段，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，如图，记的交点为，∵，∴，∵，∴.（2）解：如图，延长至，且，则，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴.28.【答案】（1）解：①的中点坐标为，即，该点与圆心O的距离为，故点符合定义；的中点坐标为，即，该点与圆心O的距离为，故点符合定义；的中点坐标为，即，该点与圆心O的距离为，故点不符合定义；故答案为：，．②根据定义，为直角三角形，∵，，由图可知，若，则点B在x轴上，不符合题意；若，则，则点B在内，不符合题意；故只有一种情况，∴轴，∴点B的纵坐标为1，设，则的中点坐标为，即，∴，解得，或（由题意，负值舍去），∴．③设该点为点，由定义，可知的中点坐标为，即，由定义，得，整理，得，∵有且只有一个点满足定义，∴，∴，求点A关于的“直角关联点”，由②可知，的情况不存在，所以分两种情况：当时，由②可知，点C在x轴上，∴，此时的中点坐标为，即，∴，解得，或，∴，即或，即，分别代入，解得（负值已舍去），当时，由②可知，，或，，∴，即，或，即，分别代入，解得（负值已舍去），∴的值为或．（2）解：如图，构造，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在内，当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端，显然，当点D在上时，记为，此时点Q也在上，当点D在上时