2025北京清华附中初三3月月考数学试题及答案

初中2025北京清华附中初三3月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（）．A. B. C. D.3.如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（）A. B. C. D.4.实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.每一个外角都是的正多边形是（）A.正四边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正九边形7.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（）A. B. C. D.8.将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.代数式有意义，则实数x的取值范围是_________________．10.因式分解：______．11.方程的解为_____．12.已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________．13.下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：月用电量x（千瓦时/户/月）户数（户）61511144已知月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户．14.如图，在的内接四边形中，点A是的中点，连接，若，则_______．15.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为______．16.某快递员负责为五个小区送货，每送一件文件类货物可收益1元，每送一件包裹类货物可收益3元．某天各个小区需要送的货物如下表所示：小区需文件类货物数量（件）需包裹类货物数量（件）12710598119135（1）如果快递员一个上午最多前往三个小区，且要求他最少送文件类货物30件，最少送包裹类货物22件，写出一种满足条件的送货方案_____．（写小区编号）（2）在（1）的条件下，如果快递员想在上午达到最大的收益，写出他最优的送货方案_____．（写小区编号）三、解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分）17.计算：．18.解不等式组：19.已知，求代数式的值．20.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？21.如图，在四边形中，，．（1）求证：四边形为菱形；（2）若，，求的长．22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围．23.某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）完成表格；平均数/分中位数/分方差/分甲______乙9______丙______8（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；（3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”）24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．25.体能测试得分是衡量同学体能水平的重要指标，它反映了通过一系列测试所获得的综合评价．合理的体育锻炼不仅能增强体质，还能改善体能测试得分．小明为了探究体育锻炼时间与体能测试得分之间的关系，进行了如下探究：（1）他在不同体育锻炼时间下记录了自己的体能测试得分，整理得到下表：体育锻炼时间（小时）0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0体能测试得分（分）62758288939594908578设体育锻炼时间为_____（填“”或“”），体能测试得分为_____（填“”或“”），是的函数；（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各组数据对应的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，下列说法正确的有_____①体能测试得分随体育锻炼时间的增加而先上升后下降；②当体育锻炼时间为3.0小时左右时，体能测试得分达到最大；③实验表明，体育锻炼时间过短或过长时，体能测试得分都会降低；（4）小明希望自己的体能测试得分能保持在90分以上，他应该将自己的体育锻炼时间大约控制在_____至_____小时范围内（保留一位小数）．26.在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且（1）当时，求的值；（2）若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由．27.等腰直角中，，，为线段上的点且．在边上截取，过点作交于，连接．（1）①依题意补全图形；②直接写出与的数量关系：_____；（2）点是线段的中点，连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象关于直线对称后与反比例函数的图象有公共点，则称公共点为与的关联点，二次函数为与的关联函数．（1）判断与与是否存在关联函数，若存在，请求出关联点坐标，若不存在，请说明理由．（2）已知点为与的关联点，其中．直接写出的取值范围．（3）已知与存在两不同的关联点，，对应的关联函数记为二次函数，直线与直线，双曲线所围成的封闭区域（不含边界）内恰有个整点．若点、为关联函数与直线的两个公共点，为封闭区域内的某一整点，直接写出面积的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678BBDDCDAA二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】解：代数式有意义，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．10.【答案】【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可．【详解】解：由题意知，，故答案为：．11.【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题的关键．根据分式方程的解法，首先去分母，进而得到整式方程，解方程并检验得出答案．【详解】解：∴解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．12.【答案】4（答案不唯一）【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解．【详解】解：反比例函数，∵，∴在每个象限内y随x的增大而减小，∵，，，∴或，∴满足条件的m的值可以为4，故答案为：4（答案不唯一）．13.【答案】400【分析】本题考查用样本估计总体．先计算样本中月用电量第三档的百分比，由此可计算出总体中月用电量第三档的数量．【详解】解：样本中月用电量第三档的百分比为，∴由此估计全小区500户家庭中用电量在第三档的家庭有（户）．故答案为：40014.【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A是的中点，∴，∴，故答案为：25．15.【答案】【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E，设正六边形的边长为a，则，在中，，∴，，∴，∴．故答案为：．16.【答案】①.（答案不唯一）②.【分析】本题考查了有理数混合运算，有理数比较大小，解题的关键在于正确理解题意并进行分析计算．（1）根据三个小区需送文件类货物总数量，需送包裹类货物总数量，求解即可；（2）根据（1）中方案分别计算出其各自收益，并比较判断，即可解题．【详解】解：（1）要求他最少送文件类货物30件，最少送包裹类货物22件，又，任意三个小区需送文件类货物总数量都，，满足送包裹类货物总数量的三个小区有，或或；满足条件的送货方案为（答案不唯一）；（2）解：由（1）知，送货方案可以为或或，其各自收益如下：①：（元）；②：（元）；③：（元）；，他最优的送货方案为：；故答案为：（答案不唯一）；．三、解答题（本题共68分，其中17-22题每小题5分，23-26题每小题6分，27、28题每小题7分）17.【答案】【分析】本题考查实数的运算能力，特殊角的三角函数值．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式18.【答案】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为解不等式①，得．解不等式②，得．∴原不等式组的解集为．19.【答案】，．【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再由可得，代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，∵，∴．∴原式．20.【答案】人工每人每小时分拣60件快件．【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解．设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，依题意列方程：．解得：，经检验是原方程的解且有实际意义所以原方程的解为答：人工每人每小时分拣60件快件．21.【答案】（1）见解析（2）6【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行线的性质、解直角三角形的应用、等边对等角等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由即可证明结论；（2）先证明进而得到、，利用三角形内角和定理推出，由平行线的性质得到可得，再根据勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，又∵，∴平行四边形为菱形．【小问2详解】解：∵，∴，∴、，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，解得：．22.【答案】（1）（2）【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的思想是解题关键．（1）由题意结合函数图象平移的特点可得出，再将代入，求出b的值即可；（2）画出大致图形，结合图形即得出当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0．【小问1详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，∴，∴．∵该一次函数经过点，∴，即，∴这个一次函数的解析式为；【小问2详解】解：如图，由图可知当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，∴n的取值范围是．23.【答案】（1）9，，；（2）选甲更合适，理由见解析；（3）【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案；（2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案；（3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案．【小问1详解】解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8，甲得分的中位数为9，由乙得分的条形统计图可知，乙得分的方差为，由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8，丙得分的平均数为，故答案为：9，，；【小问2详解】解：选甲更合适．因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲；【小问3详解】解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为，甲的方差为，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键．24.【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，根据勾股定理得，，由（1）知OE∥BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，能判断出EF∥BC是解本题的关键．25.【答案】（1）x，y（2）见解析（3）①②③（4）2.2，4.0【分析】本题考查函数图象的相关知识．（1）根据体能测试得分随锻炼时间的变化而变化可得体育锻炼时间为自变量，体能测试得分为函数；（2）描点，连线即可；（3）结合所画函数图象，判断出函数的最值及函数随自变量的变化情况即可；（4）看函数图象中时所对应的自变量即可．【小问1详解】解：∵体能测试得分随锻炼时间的变化而变化，∴体育锻炼时间为x，体能测试得分为y，是的函数，故答案为：x，y；【小问2详解】解：描点，连线如图：【小问3详解】解：观察图象可得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故①正确；当体育锻炼时间为3.0小时左右时，体能测试得分达到最大，故②正确；体育锻炼时间过短或过长时，体能测试得分都会降低，故③正确．综上，正确的是①②③，故答案为：①②③；【小问4详解】解：观察图象可得当时，，，∴应该将自己的体育锻炼时间大约控制在2.2至4.0小时范围内，故答案为：2.2，4.0．26.【答案】（1）1（2）；【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的对称轴，对于（1），根据时，可得，再根据抛物线的对称轴得出答案；对于（2），先根据，可得，再根据，可得，进而得出答案；然后求出点关于对称轴对称的点，进而确定自变量的取值范围，接下来结合二次函数图象的性质得出答案.【小问1详解】解：当时，，即.∵抛物线的对称轴是；【小问2详解】解：∵，∴，∴.∵，∴，∴，即；点关于对称轴对称的点的坐标是，∵，∴.∵，∴抛物线的开口向下，对称轴左侧函数值y随着x的增大而增大.∵，，在对称轴的左侧，∴.27.【答案】（1）①见解析；②；（2）．【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形中位线的性质：（1）①根据题意画图即可；②延长至G，使，延长至H，使，连接，证明，推出与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G，G，C，B在同一直线上，由此得到，即可得到；（2）证明，得到，即点C为中点，由此推出是的中位线，进而推出．【小问1详解】解：①如图，②延长至G，使，延长至H，使，连接，∵，∴∴与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G，∴G，C，B在同一直线上，∴，又∵，∴，∴，故答案为；【小问2详解】解：如图，∵，∴，∴，即点C为中点，又∵M为中点，∴是的中位线，∴，即．28.【答案】（1）与存在关联函数，关联点的坐标为；（2）或；（3）面积的取值范围是．【分析】（1）求关于对称的函数解析式，与联立，解方程组，求交点坐标即可；（2）求关于直线对称的函数解析式，与联立，解方程组，结合的取值范围，解不等式，即可得的取值范围；（3）分类讨论，确定满足题意的的取值范围，综合应用不等式的性质和勾股定理，计算每种情况对应的的面积的取值范围即可．【小问1详解】解：把代入，得；把代入，得，∴点和在直线上，由轴对称得，点和关于直线的对称点分别为和，设一次函数关于直线对称的函数为，把和代入得，，解得，，∴一次函数关于直线对称的函数为，由，解得，∴与存在关联函数，关联点坐标为【小问2详解】解：令，得，∴