2025北京清华附中初三（上）开学考数学试题及答案

初中2025北京清华附中初三（上）开学考数学（清华附中初23级）一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于米．则用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，是的直径，，则（）A. B. C. D.4.如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（）A. B. C. D.5.通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（）A.B.C.D.6.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（）A. B. C. D.7.如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（）A. B. C. D.8.已知点，是二次函数图像上两点，且点关于原点对称，若该函数的对称轴始终位于直线的右侧，则在下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（）A.个 B.个 C.个 D.个二、填空题（共24分，每题3分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是________.10.因式分解：______．11.草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）．品种第一株第二株第三株第四株第五株甲乙12.如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为_______．13.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______．14.已知一次函数，当时，自变量的取值中恰有2个正整数，则的取值范围是__________．15.如图在中，，且，点在上，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为______．16.在某次素养水平调查中，抽查了某校名同学进行测试，其中名男生，名女生，测试成绩的统计结果如下表：（注：每名同学的测试成绩均为之间的整数）下面四个结论中：①本次调查测试成绩平均数为分；②本次调查测试成绩的中位数为分或分；③本次调查测试成绩的众数为分；④女生的测试成绩的极差一定大于．正确结论的序号是______．平均分中位数众数男生女生，三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）．17.计算：18.解不等式组：．19.先化简，再求值：，其中．20.如图，在中，于点，点分别是的中点，点是的中点，的延长线交线段于点，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当，时，求的长．21.研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下．（1）若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？（2）若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？22.已知一次函数．（1）若该一次函数的图象向上平移个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式；（2）若该一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，求的取值范围．23.近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为分，且均为整数），每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．将两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取次测试得分的平均数）成如下表：人工智能产品分析能力学习能力（1）产品语言交互能力测试成绩的平均数为______，众数为______；（2）两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则______（填“”，“”或“”）；（3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？24.如图，在中，，点为边上的一点，．过点作，延长交于点．（1）证明：；（2）作的角平分线交于点．若，，求的半径．25.学校一科学兴趣小组发现两种材料的导热性不同，散热性也不同，为了研究材料的导热性差异，设置了对照实验，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了容器和容器中水的温度（单位：）与相同条件下的加热时间（单位：）的关系，部分数据如下：通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与近似满足一次函数关系；//（1）_________；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①在加热分钟时，容器中的水与容器中水的温度差约为______（结果保留整数）；②某次实验的实验记录显示，小组成员开始对两个容器加热，容器的加热设备损坏，容器停止加热；小组成员给容器继续加热一段时间后，停止对容器的加热，将加热设备替换给容器使用，容器停止加热，实验结束．已知停止加热后，容器中水的温度每分钟下降，容器中水的温度可以近似认为保持不变．若在实验结束时，容器中水的温度与容器B中水的温度相等，则这个温度大约为______（结果保留整数）．26.在平面直角坐标系中，抛物线经过．（1）用含的式子表示．（2）已知和是抛物线上的两点．①若，当时，求的最大值；②若对任意，，都有，求的取值范围．27.如图，在中，，．（1）当时，求；（2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点．①补全图形；②用等式表示之间的数量关系并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1．对于图形和平面上的点，给出如下定义：将图形绕点逆时针旋转得到图形，若与图形有公共点，则称点是图形的“关联点”．（1）已知点，．①在点，，中，点________是的“关联点”；②若点在直线上，且点是线段的“关联点”，直接写出点的横坐标的取值范围：________；（2）已知正方形的边长为，、为直线上两点，且线段上的点都是正方形的“关联点”，记线段长度的最大值为，若，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678CDDBCBDC二、填空题（共24分，每题3分）9.【答案】解：∵二次根式有意义，∴，解得：，故答案为：．10.【答案】解：，故答案为：．11.【答案】解：∵，，∴，，∵，∴每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲，故答案为：甲．12.【答案】解：连接，在正方形中，，，，，为等边三角形，，，故答案为：．13.【答案】解：方程两边乘以，得，∴，∵方程的解是正数，∴，∴，又∵，∴，∴，∴的取值范围是且，故答案为：且．14.【答案】解：∵中，，∴随着的增大而增大，∴当时，可得，解得，∵自变量的取值中恰有2个正整数，∵时，，∴正整数值只能是，则，解得，故答案为：．15.【答案】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，∵点为直径上方半圆的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵垂线段最短，∴，即，∴当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：．16.【答案】解：①由表可得，本次调查测试成绩平均数为分，故①正确；②男生（18人）中位数为83分，故至少9名男生成绩不低于83分，女生（12人）中位数为82分，故至少6名女生成绩不高于82分，全体30人的中位数由排序后第15、16位同学的成绩决定，根据现有条件无法确定其确切值，例如，可以构造数据使得中位数为82.5分，所以该结论不一定正确，故②错误；③∵男生测试成绩的众数为，女生测试成绩的众数为，∴本次调查测试成绩的众数为分，故③正确；④由表中数据无法确定女生测试成绩最高分和最低分，∴无法判断女生的测试成绩的极差一定大于，故④错误；综上，正确结论的序号是①③，故答案为：①③．三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）．17.【答案】解：原式．18.【答案】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为．19.【答案】解：当时，则原式20.【答案】（1）证明：分别是的中点，是的中位线，，，是的中点，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）解：，，是的中点，，在中，，，，设，则，由勾股定理得：解得，，由（1）可知，四边形是平行四边形，．21.【答案】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得：，解得：，答：应选用A种食品2包，B种食品4包；（2）解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品，根据题意得：，解得：，设摄入的总热量为wKJ，则，，随m的增大而减小，当时，w取得最小值，此时，答：应选用6包A种食品，2包B种食品．22.【答案】（1）解：由平移得，正比例函数的解析式为，∴，解得，∴一次函数解析式为；（2）解：把代入，得，∴，∴一次函数与轴的交点坐标为，把代入，得，∴一次函数与轴的交点坐标为，∵一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，∴，当时，解得；当时，解得；又解不等式，得，∴不等式组的解集为，即的取值范围为．23.【答案】（1）解：由折线统计图可得，产品语言交互能力测试成绩为：，∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为，众数为，故答案为：，；（2）解：由折线统计图可知，产品语言交互能力测试成绩为：，∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为，∴，，∵，∴，故答案为：；（3）解：的最终成绩为分，的最终成绩为分，∵，∴该公司应该选择使用人工智能产品．24.【答案】（1）解：如图，连接，，∵，，∴，设，∴∵，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，即；（2）过点作，设与交于点，解：∵，∴，又∵，∴，∴，∵的角平分线交于点，∴，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，，∴，∴∵，，∴，∴，∴，∴，设，在中，，解得：，故的半径为．25.【答案】（1）解：由表格可知，加热时间每增加，容器中水的温度增加，∴，故答案为：；（2）解：∵加热时间每增加，容器中水的温度增加，∴与是一次函数关系，且，根据表格数值描点连线画图如下：（3）解：①加热分钟时，容器中的水温，容器中水的温度大约为，∴容器中的水与容器中水的温度差约为，故答案为：；②当时，，∴加热后，再给容器加热，容器加热，容器的温度为，根据函数图象可知，容器的温度约为，加热后，再给容器加热，容器加热，容器的温度为，根据函数图象可知，容器的温度约为，∴加热后，再给容器加热时间要小于大于，对容器加热时间要小于大于，才有可能它们的温度相同，且它们的最终温度大于小于，∴这个温度大约为，故答案为：．26.【答案】（1）解：∵抛物线经过，∴，∴；（2）解：①当时，，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，此时，当时，随的增大而减小，当时，取得最小值，此时，∴的最大值为；②∵，∴，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，抛物线开口向上，若，即时，的最小值为，随的增大而增大，∴当时，的值最大，的最大值，∵，∴，解得，不合题意；若，即，此种情况不合题意；当时，抛物线开口向下，对称轴为，若，即时，的最小值为，随的增大而减小，∴当时，的值最大，的最大值，∵，∴，解得；若，即时，的最小值为，的最大值，∵，∴，此时的最大值大于，不满足；综上，的取值范围为．27.【答案】（1）解：如图，过点作交于，则，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）①补图如下：②，证明如下：∵，，∴，∵，∴，∴点四点共圆，如图，连接，作于，连接并延长交于点，则，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴．28.【答案】（1）解：①线段绕点，，逆时针旋转得到的图形分别如下：由图可知，点，是的“关联点”，故答案为：，；②∵点是线段的“关联点”，∴线段绕点逆时针旋转的线段与有公共点，又由，，可得线段是平行于x轴的线段，则线段绕点逆时针旋转的线段也平行于x轴，随着点位置的变换，平行于x轴的线段也在变换，考虑上、下两个临界处，如图，当在上方刚与相切时，则切点为，当时，，得，则与直线的交点为，由旋转180度，可知和关于点中心对称，则，即；如图，当在左下侧刚与有一个公共点时，设，由，又知和关于点中心对称，则，即，由，∴，解得：（正值舍），综上所述，，故答案为：；（2）解：如图，设和是线段上两点，正方形绕点逆时针旋转是正方形，在正方形上任取一点，是绕点逆时针旋转是后正方形上的对应点，再作出点绕点逆时针旋转后的，设和交于点，连接，，设与交于点，由旋转知，∴和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，且，∵，∴，∴，即可知在正方形上任一点，