2025北京二中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京二中初三12月月考数学第I卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（）A. B. C. D.3.下列事件属于必然事件的是（）A.挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B.车辆随机经过一个路口，遇到红灯C.抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D.任意画一个三角形，其内角和是180度4.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A.16 B.8 C.8或 D.4或5.如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（）A. B. C. D.6.是的二次函数，其对应值如下表：…01234……40149…下列叙述不正确的是（）A.该二次函数的图象的对称轴是直线B.C.当时，随的增大而增大D.图象与轴有两个公共点7.如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（）①该圆的半径为2；②的长为；③平分；④连接，，则与的面积比为．A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④8.已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过两点，则的值可能是（）A.4 B.2 C.0 D.第II卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________．10.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______．11.若是一元二次方程的一个根，则________．12.如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为_____．13.为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n5发芽种子个数m4发芽种子频率（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为________（结果保留两位小数）；（2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有_______个能发芽．14.如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________．15.已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________．16.如图，是等腰直角三角形的边的中点，且，是平面内一动点，且与点之间的距离为，连接，则的最大值为________；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为________．三、解答题（共68分，其中第17、19-21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27-28题每题7分）17.解方程：．18.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点．求作：．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点，垂足为；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接．（2）完成下面的证明：引理的结论为：．证明：连接，，，．为的垂直平分线，①②，又四边形为圆的内接四边形，③，（④）（填推理的依据）．又，，又，，，（⑤）（填推理的依据）．，．19.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：012．．．．．．004．．．（1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象：（2）结合图象回答问题：①抛物线的对称轴为直线___________；②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________；③当时，的取值范围是___________．20.如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径．21.国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解．（1）小明选择的是“中国书画”的概率为；（2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率．22.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围．23.如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“”形的每个顶点均为网格线交点，将“”形绕点顺时针旋转，顶点A，B的对应点分别为，，线段的对应线段为．（1）在图中标出点，并画出“”形旋转后所得到的图形；（2）__________°；（3）在旋转过程中，点所经过的路径长为__________．24.如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求的长．25.某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移米得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米．（1）求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA；（2）最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移几个单位长度而得到；（3）要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围．26.在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点．（1）求点的坐标（用含有的代数式表示）；（2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围；（3）将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．27.如图，在中，，，点是线段上一点，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，点是中点．（1）如图1，依题意，请补全图形．（2）如图1，连接，直接写出________（用含的式子表示）；（3）如图2，若在的延长线上存在一点，使得．请判断与的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，的半径为1．对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“镜像弦”．（1）已知：点，则线段，，中，是关于直线的“镜像弦”的是___________；（2）是关于直线的“镜像弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“镜像弦”．且，直接写出的值．

参考答案第I卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）题号12345678答案CADCBDDA第II卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称，∴，故答案为：

．10.【答案】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1），∴a＜0，c=-1，∴二次函数表达式为：y=-x2-1（答案不唯一）．故答案为y=-x2-1（答案不唯一）．11.【答案】解：是一元二次方程的一个根，，即，，故答案为：．12.【答案】解：，都是圆的切线，，同理，，的周长，；故答案为：6．13.【答案】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为，故答案为：；（2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦个，则约有个能发芽，故答案为：．14.【答案】解：如图，连接，半圆的直径为4，半圆的面积为，由旋转的性质可知，，，，，扇形的面积为，，图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积故答案为：．15.【答案】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得，对于方程，解得：，代入根与系数的关系，，∴，，分情况讨论：当时，，则，，所以，结论①正确；当时，，则，，所以，结论③正确；当时，若，则，，，所以，结论①正确；若，则，，，所以，结论③正确；综上，所有可能正确的结论是①和③．故答案为：①③．16.【答案】解：如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，；是平面内一动点，且与点之间的距离为，在以点为圆心，为半径的圆上运动，的最大值为．连接，，延长至点，使，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，，是的中位线，即；在中，，，；由旋转性质得，，，，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，，当、、共线时，最小，最小值为，的最小值为，故答案为：；．三、解答题（共68分，其中第17、19-21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27-28题每题7分）17.【答案】解：解得，．18.【答案】（1）解：如图，点即为所求，（2）证明：连接，，，．为的垂直平分线，，又四边形为圆的内接四边形，，（圆内接四边形的对角互补）又，，又，，，（等弧所对的圆周角相等），，故答案为：①，②，③，④圆内接四边形的对角互补，⑤等弧所对的圆周角相等．19.【答案】（1）解：函数图象如下图;（2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线，故答案为：；②由函数图象可知，点在抛物线上，当或时，抛物线图象在直线图象上方，即时，的取值范围是或；③设抛物线解析式为，将点代入得，，解得：，则抛物线解析式为，，当时，有最小值为；当时，有最大值为；的取值范围是．20.【答案】解：设圆的半径是r，连接，如图：∵弦于点E，∴∵，∴，在中，，∴，∴，∴的半径是5．21.【答案】（1）小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为，故答案为：；（2）列表如下：一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：．22.【答案】（1）证明：由题可得：，，，，方程总有两个实数根；（2）方程可因式分解为，或，或，恒成立，当方程有两个相等的实数根时，满足条件，即，；当方程有两个不相等的实数根时，方程只有一个根小于时，需另一个解，．的取值范围为或．23.【答案】（1）解：图形如图所示；；（2）解：旋转角为．故答案为：90；（3）解：点C所经过的路径长为；故答案为：π；24.【答案】（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，又是半径，是的切线；（2）解：如图，连接，过点作交于点，设的半径为，则，，，，在中，，,解得：，，，，，在中，，，在中，．25.【答案】（1）解：由题意得，，设抛物线解析式为．抛物线经过点，，解得，最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为；当时，则，，（舍去），小球最大射程为米；（2）解：抛物线的函数解析式为，对称轴为直线，点的对称点为，最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，故答案为：4；（3）解：，令，则．解得，（舍，要使接球盒能接住小球．由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的，且米，，即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为．26.【答案】（1）解：，点的坐标为；（2）由题意，结合（1），当时，抛物线对称轴为直线，开口向下，时，随增大而减小，，时，取最大值，直线与直线关于直线对称，时，，，；（3）抛物线顶点坐标为，抛物线顶点在直线上运动，点向右平移个单位得到点，，①如图，抛物线顶点在所在直线上，，即，符合题意，②如图，当抛物线过时，则，，又当抛物线过时，则，（舍去）或，又抛物线与线段只有一个公共点，，综上，或．27.【答案】（1）解：如图1所示：（2）解：如图1，连接，由旋转性质得，，∴，∵点是中点，∴，，∴，∴A、F、C、D四点共圆，∴；故答案为：；（3）解：如图2，连接、，过G作于点H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．28.【答案】（1）解：作图可知，关于直线对称线段在上；故答案为：；（2）∵是关于直线的“镜像弦”，且，∴设关于直线的对