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第二十一章四边形21.3.1矩形（2）学习目标

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．2.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算.定义性质判定应用有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分.既是性质，又是判定逆命题矩形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.四个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形.有四个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.思考1我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？若是把“四边形”换成“平行四边形”成立吗？即对角线相等的平行四边形是矩形.猜想1对角线相等的平行四边形是矩形.已知：在▱ABCD中，AC

，DB是它的两条对角线，AC=BD，求证：四边形ABCD是矩形.ABCD证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，∴

△ABC≌△DCB

，∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=90°，∴

□

ABCD是矩形（矩形的定义）.矩形的判定定理1对角线相等的平行四边形是矩形.符号语言∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？对角线相等的平行四边形是矩形.思考2我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？思考

如何证明这一猜想？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)ABDC(有四个角是直角)猜想2有三个角是直角的四边形是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠D=360°−(∠A+∠B+∠C)=90°，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理2有三个角是直角的四边形是矩形.符号语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.例2

如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.ABDCGFEH

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△

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