专题十二　应用与创新讲解册

专题十二应用与创新高考

数学新高考专用应用创新目录应用创新1数学与实际生活应用创新2数学文化应用创新3跨学科交汇应用创新4数学中的新定义问题应用创新5与高等数学交汇应用创新1数学与实际生活解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数

学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再

化为常规问题,选择合适的数学方法求解.解决实际问题的步骤如下:①审题;②建模;③解模;④还原.

例1

(2021全国乙,9,5分)魏晋时期写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,

其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平

面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”③,EG称为“表距”⑤,GC和EH都称为“表

目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”④,则海岛的高AB=②(

)

A.

+表高

B.

-表高C.

+表距

D.

-表距①

信息提取

①由四个选项结构形式可知,将所求的海岛高度用已知的线段长表示出来,由图可知此题使用解三角形知识解决,重新读题,在题中寻找包含这些量的三角形;②“海岛的高AB=”意思是将海岛的高AB放在可解的三角形中,在△ABH或△ABC中

虽有AB,但由选项可知,这两个三角形中均未有给出的量“表高”“表距”“表目

距”“表目距的差”,故应通过作辅助线,将所给的各量包含在所作的三角形中;③“DE=FG=表高”为两个直角三角形的直角边长;④“GC与EH”的差称为“表目距的差”即表目距的差=GC-EH;⑤线段EG的长度称为“表距”.

解析

连接FD并延长交AB于点M,则AB=AM+BM,MF∥AC.设∠BDM=α,∠BFM=β,则

-

=MF-MD=DF.又tanβ=

,tanα=

,所以

-

=MB

=MB·

,因为GF=ED,所以

-

=

,所以

-

=MB·

=DF,又DF=EG,所以MB=

=

=

,所以海岛的高AB=

+表高(注意将各线段用专用的术语表示出来),故选A.

答案

A例2

(2022新高考Ⅰ,4,5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中

一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0k

;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0k

.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台①,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时④,增加的水量⑤约

为(

≈2.65)

(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109m3C.1.4×109m3

D.1.6×109m3

信息提取

①“棱台”意味着这道题使用立体几何的知识解决,需要在题中寻找棱台的基本量.②“相应水面的面积为140.0km2”为棱台一个底面的面积.③“相应水面的面积为180.0km2”为棱台另一个底面的面积.④“水位从海拔148.5m上升到157.5m”两个数据的差为棱台的高.⑤“增加的水量”意思是需要求体积,即棱台的体积.

解析

140km2=140×106m2,180km2=180×106m2,由棱台体积公式V=

(S+S'+

)h可得V增加水量=

×(140+180+

)×106×(157.5-148.5)=3×(320+60

)×106≈3×(320+60×2.65)×106=1437×106≈1.4×109(m3),故选C.

答案

C应用创新2数学文化高考对数学文化的考查主要有三个方面:一是利用古代数学文化为背景命制与核

心考点相结合的题目;二是利用相关数学知识直接解答古代数学问题;三是利用古代

数学成果解决实际问题.解决的关键是从中提取出数学问题,利用相关的数学知识进

行求解.例3

(2020课标Ⅱ理,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层②.

上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环④,

向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也

增加9块③.已知每层环数相同①,且下层比中层多729块⑤,则三层共有扇面形石板⑥(不含

天心石)

(

)

A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块

信息提取

①从题中体会“层”与“环”的区别与联系;②结合图形,明确“三层且每层的环数相同”的实际意义;③自上而下的各环的石板数下一环均比上一环多9块,意味着这道题使用等差数列的

知识解决,且等差数列的公差为9;④等差数列的首项为9;⑤若设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,第二层为第n+1环至第2n环,第三层

为第2n+1环至第3n环,并且设Sn为{an}的前n项和,也就是S3n-S2n=S2n-Sn+729;⑥求三层共有扇面形石板数,也就是求等差数列前3n项的和S3n.

解析

设第n环扇面形石板块数为an,第一层共有n环,则{an}是以9为首项,9为公差的等差数列,(将题中的各量用字母表示出来)an=9+(n-1)×9

=9n,设Sn为{an}的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(用等差

数列的前n项和表示出“上、中、下”三层的每层石板总数),因为下层比中层多729块,所以S3n-S2n=S2n-Sn+729,即

-

=

-

+729,即9n2=729,解得n=9,所以S3n=S27=

=3402.故选C.

答案

C例4

(2019课标Ⅱ理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印

信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是

“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体①.半

正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在

同一个正方体的表面上②,且此正方体的棱长为1③.则该半正多面体共有

个面,

其棱长为

.(本题第一空2分,第二空3分)

信息提取

①“半正多面体”是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,意味着这道题使用立体几何的知识解决;②它的所有顶点都在“同一个正方体”的表面上,意味此题用正方体的知识解决,将

问题中的几何体补成正方体;③由正方体的棱长为1得相关线段的长度.

解题导引

题目的实际背景为传统的金石文化,但读题时要抓住关键词汇——正方体,明确考查的内容与正方体相关,在正方体中简单还原出物体位置,利用对称性,将立

体问题平面化,利用边长刻画所求线段半正多面体的棱长,则需寻找半正多面体的棱

长与正方体棱长的关系,找到一个正八边形中截面,从而求出半正多面体的棱长.

解析

半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面.半正多面体的所有顶点都在同一个正方体表面上,如图1,正方体被半正多面体顶点A,B,C所在

平面截得的图形如图2.八边形ABCDEFGH为正八边形.(将题中所给空间图形用直观图表示出来,如图1)

(空间图形平面化得正八边形,找到正八边形边长与正方形边长之间的数量关系,如图

2)设AB=a,则1=2×

a+a,解得a=

-1.

答案

26;

-1应用创新3跨学科交汇数学是研究数量关系和空间形式的科学,高度的抽象性、结论的确定性和广泛的

应用性是数学的特点.目前在高中数学教材中出现越来越多的跨学科融合试题,更多

体现了数学在其他学科中的应用,主要体现在平面向量、导数与物理学的应用,立体

几何在化学物质结构的应用,排列组合在生物学中的应用等.例5

(2021新高考Ⅱ,4,5分)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球

赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球

看成一个球心为O,半径r为6400④km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面③所

成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大

值记为α②,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2·(1-cosα)(单位:km2),则S占地球表面

积的百分比①约为

(

)

A.26%

B.34%

C.42%

D.50%

信息提取

①题目背景新颖,出现较多“陌生词”,可以考虑从所求入手.求S占地球表面积的百分比,即

=

=

,求解α即可.②α为纬度的最大值,需在题中找“纬度”.③根据纬度定义画出图形,过B作球O竖截面的切线,切点为A,则A处的纬度即为α,即α=

∠AOB.在Rt△AOB中,cosα=

.④轨道高度BC=36000km,则OB=r+BC=36000+6400=42400km.

解析

如图,由题意知OB=OC+BC=36000+6400=42400(km),OA=6400km,OA⊥AB,

(将题中所给的几何条件通过空间几何图形表示出来,找到地球表面上A点能观测到卫

星点B的纬度最大值,为α)在Rt△AOB中,cosα=

=

=

.又∵卫星信号覆盖的地球表面面积为S=2πr2·(1-cosα)km2,地球表面积为4πr2km2,∴S占地球表面积的百分比为

=

≈0.42=42%,故选C.

答案

C应用创新4数学中的新定义问题新定义问题是相对于高中教材而言的,指在高中教材中不曾出现过的概念、定

义、定理以及性质.它的一般形式是由命题者先给出一个新的概念,新的运算法则或

者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.新定义问题的解题步骤:1.对新定义进行信息提取,明确新定义的名称和符号.2.理解新定义的概念、法则,对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法,有时可

以寻求相近知识点,明确它们的共同点和不同点.3.对新定义中提取的知识进行转换,有效的输出,其中对新定义信息的提取和化归是解

题的关键,也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则,直接按照运算法则计算即可;

如果是新定义的性质,一般就要判断性质的适用性,能否利用定义的外延,有时也用特

值排除等方法解决.例6

(多选)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X

所有可能的取值为1,2,…,n①,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),

pi=1②,定义X的信息熵H(X)=-

pilog2

.

(

)A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=

(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)

≤H(Y)

信息提取

①“设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n”意味着题目给出一个随机变量可以取到的值,形式上是一个概率问题;②“P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),

pi=1”意思是随机变量取每一个值时的概率,这实际上是给出了一个分布列;③“定义X的信息熵H(X)=-

pilog2pi”是一个用求和符号给出的新定义,可以依据求和符号的意义,将其展开为H(X)=-

pi·log2pi=-(p1·log2p1+p2·log2p2+…+pn-1·log2pn-1+pn·log2pn),通过展开式找到H(X)与H(Y)之间的联系.

解题导引

题目的实际背景虽然为概率问题,但实际上是给出一个新定义“信息熵”.由所给出的四个选项可知,本题实质上考查对数的运算、对数型函数的单调性

及对数式的大小比较等内容,四个选项引导学生由浅入深,层层深入考查对数的运算

及转化思想;其中B选项需要构造一个函数,通过导数的符号来判断函数的单调性,从而

进行选择,对于D选项,需明确给出的式子“P(Y=j)=pj+p2m+1-j”的含义,由特殊到一般的

思想归纳出其意义,从而得到H(Y)=-[(p1+p2m)·log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+…+(pm

+pm+1)·log2(pm+pm+1)],H(X)=-(p1·log2p1+p2·log2p2+…+p2m-1·log2p2m-1+p2m·log2p2m),然后再比较H(X)、H(Y)的大小(也可用特例法).

解析

对于A,若n=1,则p1=1,∴H(X)=-1×log21=0,A正确.对于B,若n=2,则p1+p2=1,∴H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),∵p1+p2=1,∴p2=1-p1,p1∈(0,1),∴H(X)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)],令f(p1)=-[p1log2p1+(1-p1)log2(1-p1)],∴f'(p1)=-

p1·

+log2p1+(1-p1)·

-log2(1-p1)

=-[log2p1-log2(1-p1)]=log2

,令f'(p1)>0,得0<p1<

;令f'(p1)<0,得

<p1<1.∴y=f(p1)在

上为增函数,在

上为减函数,∴H(X)随着p1的增大先增大后减小,B不正确.对于C,由pi=

(i=1,2,…,n)可知,H(X)=-

pilog2pi=-

log2

=log2n,∴H(X)随着n的增大而增大,C正确.对于D,解法一(特例法):不妨设m=1,n=2,则H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2),由于p1+p2=1,不妨设p1=p2=

,则H(X)=-

=log22=1,H(Y)=-1×log21=0,故H(X)>H(Y),D不正确.解法二:由P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),得P(Y=1)=p1+p2m,P(Y=2)=p2+p2m-1,……,P(Y=m)=

pm+pm+1,∴H(Y)=-[(p1+p2m)·log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)·log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)],由n=2m,得H(X)=-

pilog2pi=-(p1log2p1+p2log2p2+…+p2mlog2p2m),不妨设0<a<1,0<b<1,且0<a+b≤1,则log2a<log2(a+b),alog2a<alog2(a+b),同理,blog2b<blog2(a+b),∴alog2a+blog2b<(a+b)·log2(a+b),∴p1log2p1+p2mlog2p2m<(p1+p2m)log2(p1+p2m),p2log2p2+p2m-1log2p2m-1<(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1),……pmlog2pm+p