三元一次方程组的解法（第2课时三元一次方程组的应用）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

10.4三元一次方程组第2课时：三元一次方程组的应用

第十章

二元一次方程组

人教版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123能够分析实际问题中的数量关系，找出三个等量关系，列出三元一次方程组；会用代入消元法或加减消元法求解所列方程组，并对解的实际意义进行检验；掌握列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤.经历从实际问题抽象出三元一次方程组的过程，进一步体会数学建模思想；通过对比不同设元策略和消元方法，培养优化意识和灵活思维能力.在解决具有现实背景的数学问题过程中，感受数学的应用价值；通过挑战含有三个未知量的实际问题，培养克服困难的信心和学习兴趣.二元一次方程组的应用核心步骤：审、设、列、解、答（五步解题法）思想精髓：

将实际问题转化为数学模型，通过求解方程组解决问题。三元一次方程组的解法核心思想：

消元—将“三元”转化为“二元”，再转化为“一元”。主要方法：代入消元法、加减消元法。关键策略：观察系数特点，灵活选择最优的消元顺序。知识回顾三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元导入新课

（1）这个问题中有几个未知量？三个未知量：三角形三边的长（2）几个相等关系？三个相等关系三角形三边和=18cm两条边的长度之和

=2×第三条边长度

导入新课

三角形三边和=18cm两条边的长度之和

=2×第三条边长度

（3）如果设三角形三边的长分别为xcm、ycm、zcm，你能列出哪些方程？x+y+z=18x+y=2z

新知探究探究点1

求等式中字母系数问题议一议已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.（1）要确定a、b、c三个未知数的值，需要几个条件？三个条件.（2）问题中给出了几个条件？分别是什么？已知三个条件：是三组x、y的对应值满足已知等式.（3）如何利用这些条件列出方程？把

a，b，c看作未知数把已知

x、y值代入原式a-b+c=0

①4a+2b+c=3

②25a+5b+c=60③新知探究探究点1

求等式中字母系数问题议一议（4）观察这个方程组，先消去哪个未知数比较简便？为什么？a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③解：根据题意，列得三元一次方程组②-①，得③-①，得④与⑤组成二元一次方程组a+b=1，4a+b=10.④⑤解这个方程组，得a=3，b=-2.把a=2，b=-2代入①，得∴a，b，c的值分别为3，-2，-5.a+b=1.④4a+b=10.⑤c=-5.c的系数都是1，先消去c最容易.已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.新知探究探究点1

求等式中字母系数问题议一议（5）你还有其他解法吗？先消去a或b可以吗？试一试比较哪种更简便.a-b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60①②③解：根据题意，列得三元一次方程组①×4－②，得①×25－③，得联立④与⑤得：2b－c=1，5b－4c=10.④⑤解这个方程组，得b=-2，c=-5.把b=-2,c=-5代入①，得∴a，b，c的值分别为3，-2，-5.2b－c=1.④5b－4c=10.⑤a=3.已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a，b，c的值.新知探究探究点2

三位数问题议一议

个位数字十位数字百位数字三位数原来新数（1）如何用代数式表示一个三位数？（2）设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，

完成下表xyz100z＋10y＋xxyz100x＋10y＋z100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字.新知探究探究点2

三位数问题议一议

（3）设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，问题中的相等关系如何表示？①

各数位上的数的和为14x＋y＋z＝14

③

新数比原数小99

(100z＋10y＋x)＋99＝100x＋10y＋z新知探究探究点2

三位数问题议一议解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.由题意可得：①②③解这个方程组，得y=7，z=3.x=4，∴这个三位数是473.x+y+z=14

100z+10y+x+99=100x+10y+z

新知探究探究点2

三位数问题议一议①审②设③列④解⑤验⑥答审题，找题目中的等量关系列三元一次方程组解应用题的一般步骤：设未知数根据等量关系，列出相应的方程组用“代入消元法”或“加减消元法”解方程组检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义写出答案(包括单位名称)典例分析

典例分析

⚠️发现“小意外”：数据矛盾植树株数必须是整数，y=6.25不符合实际意义，说明题目数据存在问题。新知巩固

解:设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.x+y+z=352x=y+5

根据题意，列得三元一次方程组解得y=15，z=10.x=10，答：甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.【选自教材P111

练习】新知巩固2.在等式z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；求a，b，c的值.a+2b+c=8，2a+b+c=5，-a-b+c=4.①②③解：根据题意，列得三元一次方程组解这个方程组，得b=2，c=5.a=-1，【选自教材P111

练习】答：a、b、c的值分别为-1，2，5.拓展提升

真题感知

A真题感知2.（2025.南陵统考）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，求未知的五个面上的数字的值．解：根据题意得到一个三元一次方程组

真题感知3（2025.铜陵校考）.购A、B、C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元；购A、B、C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元。求购A、B、C三样商品各1件共需多少钱。

课堂小结知识总结（1）列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答.(2)关键步骤：准确找出三个独立的等量关系.常见问题类型：求等式中字母系数问题、数字问题、和倍问题、比例问题、购物问题等.课堂小结方法总结(1)建模思想：将实际问题转化为数学问题（三元一次方程组），求解后再回归实际解释.(2)优化策略：根据方程组中未知数系数的特点，选择最优消元顺序（系数简单优先、缺某元消某元）.(3)检验意识：解后要代入原方程组检验，同时检验是否符合实际意义.课堂小结易错提醒(1)等量关系遗漏或重复：找出的三个等量关系不独立，导致方程组可解但解不符合实际。(2)设元不当：设未知数时忽略单位，或没有根据问题特点选择直接设元或间接设元。(3)解三元一次方程组消元策略不当：没有观察方程组特点，盲目消元导致计算复杂.（4）检验不完整：求出解后没有代入原方程组检验，也没有检验是否符合实际意义.课后练习教材p111页

解：根据题意，得三元一次方程组

解得

答：a的值为6，b的值为-11，c的值为3.

习题10.4课后练习

解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意，列得三元一次方程组解得∴这个三位数是245.

教材p111页习题10.4课后练习5.甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每