一次函数与方程（组）、不等式课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.3一次函数与方程（组）、不等式第二十三章

一次函数01理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系.02会根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的求解问题.

刚才方程的解、不等式的解集，和一次函数的交点、图像似乎有着奇妙的关联.

今天我们就换一个视角，用一次函数这条“纽带”，把方程、不等式、方程组串联起来.

任务一：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.

活动1：请解决下列问题：（1）你能找出下面3个方程有什么相同点和不同点吗？①2x+1=3；

②2x+1=0；

③2x+1=-1.相同点：

.不同点：

.等号左边都是2x+1等号右边的数不同，分别是3、0、-1（2）与同学交流，尝试从函数的角度(函数值、图象)对解这三个方程进行解释，简要归纳一元一次方程与一次函数之间的关系.①2x+1=3；②2x+1=0；③2x+1=-1.从函数值看：解这三个方程相当于在函数y=2x+1的函数值分别为3、0、-1时，求自变量x的值.从函数图象看：相当于在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3、0、-1的点所对应的的横坐标.32121-2Oxy-1-13y=2x+12x+1=0的解2x+1=-1的解2x+1=3的解当y=3时，x=1；当y=0时，x=-；当y=-1时，x=-1.任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式.求一元一次方程ax+b=0的解一次函数y=ax+b中，y=0时x的值从函数值看求一元一次方程ax+b=0的解求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标从函数图象看1.填空.(1)直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20=0的解是x=_____.(2)若方程kx＋2=0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）.-100-1050

活动2：请解决下列问题：（1）你能找出下面3个不等式有什么相同点和不同点吗？①3x+2＞2；

②3x+2＜0；

③3x+2＜-12相同点：

.不同点：

.等号左边都是3x+2不等号右边的数不同，分别是2、0、-12（2）与同学交流，从函数的角度对解这三个不等式进行解释，简要归纳一元一次不等式与一次函数之间的关系.从函数角度看：3x+2＞2一次函数y=3x+2大于2时自变量x的取值范围可看做3x+2＜0一次函数y=3x+2小于0时自变量x的取值范围可看做3x+2＜-1一次函数y=3x+2小于-1时自变量x的取值范围可看做从图象角度看：32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=23x+2＜-13x+2＜03x+2＞2y=-1画出函数y=3x+2的图象，分别取纵坐标满足三个条件的点，观察横坐标.任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的形式.求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围从函数值看求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围从函数图象看

活动：函数y=﹣

x+3的图象如图所示，根据图象解答下列问题：任务二：能通过函数的图象求解一元一次方程和一元一次不等式.（1）求方程﹣x+3=0的解;（2）求不等式﹣x+3＞0的解集;（3）求不等式﹣x+3＜0的解集.即

＜0，

解：(1)∵直线与x轴的交点坐标为（2，0），∴方程

的解为x=2;

(2)∵x＜2时，y＞0，∴x＜2时，不等式

＞0，

∴不等式

＞0的解集为x＜2；

∴不等式

＜0的解集为x＞2.

(3)当x＞2时，y＜0，2.（1）一次函数y=kx+3的图象如图1所示，则方程kx+3=0的解为

.（2）如图2，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-4,0)，则当y>0时，x的取值范围是

.x<-4−3y=kx+3Oyx3图1图2x=-3任务三：理解一次函数与二元一次方程组的关系.

活动：与同学交流，解决下列问题：(1)请帮助y=-x+5找“座位”，它应该坐哪呢？二元一次方程一次函数12(2)请尝试用不同的方法求出一次函数y=-x+5与y=0.5x+2的交点坐标，联想求交点坐标与求解二元一次方程组

有什么联系？通过画函数图象和解方程组得出的结果相同.y=-x+5y=0.5x+2方法1：画出图象，大致确定交点坐标（2,3）.(作图存在误差，只能得出近似值，不够准确）方法2:解方程组，得到解为

．(把形的问题归结为数的解决，便捷准确)（2,3）小组讨论

结合上述过程，你能说说一次函数与二元一次方程（组）的关系吗？如何通过画图象的方法解二元一次方程组呢？两个一次函数的解析式二元一次方程组联立求解方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标一个二元一次方程组两个一次函数转化一次函数图象的交点坐标即为方程组的解作图

每个含有未知数x和y的二元一次方程都可以改写为y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．3.已知函数图象，如图，方程组

的解是（）A．x＝1；y＝1B．x＝0；y＝2C．x＝−1；y＝1D．x＝−2；y＝0C任务四：能利用一次函数与二元一次方程组的关系解决实际问题.

活动2：解决下列问题，简要说说你的做题思路或方法.(1)分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式.(2)月通话时间为多长时,A、B两种套餐收费一样?联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.y1=

，y2=

.0.1x+150.15x解：(2)A、B两种套餐收费一样，则y1=y2，因此可列出二元一次方程组：即解得：答：当通话时间为300分钟时，A、B两种套餐收费一样，都是45元.经过本节课的学习，你能简要说说一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）之间的关系吗？解一元一次方程

解一元一次不等式数：对应一次函数的值为0时，相应的自变量的值；形：直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.一次函数与方程（组）、不等式数：对应一次函数的函数值大(小)于0时，自变量的取值范围；形：直线y=ax+b上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.解二元一次方程解二元一次方程组对应一次函数的每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.对应两个一次函数图象的交点坐标就是这个二元一次方程组的解.1.如图，直线y=kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2D2.(1)若二元一次方程组

的解为

,则函数

与y=2x-2的图象的交点坐标为

.(2)已知方程2x＋1＝x＋4的解为x＝3，则直线y＝2x＋1与y＝x＋4的交点为

.(2，2)(3，7)3.在坐标系中作出函数y=2x+6的图象，利用图象解答下列问题：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6＞4的解集．y=2x+6解：函数y=2x+6的图象如右图所示：(1)∵直线与x轴的交点坐标为（-3，0），∴方程2x+6=0的解为x=-3;

(2)观察图象可知，直线经过点(-1,4),所以不等式2x+6＞4的解集为x＞-1.当x＞-1时，y＞4，4.某企业有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水以每小时6m3的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(m)与注水时间x(h)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.

(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水