潘永亮《化工设备机械基础》课后答案（1-7章）

潘永亮《化工设备机械基础》课后答案（1-7章）说明：本答案对应潘永亮主编《化工设备机械基础》（含第二版、第三版），贴合教材1-7章习题（工程力学基础部分），涵盖名词解释、简答题、计算题，步骤清晰、要点明确，兼顾课堂重点与习题考核要求，可配合教材同步使用，部分习题结合化工设备实际应用场景补充解析，便于理解记忆。第1章静力学基础一、名词解释1.刚体：在受力作用下，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体，是理想化的力学模型。2.力：物体之间相互的机械作用，这种作用能使物体的运动状态发生改变（外效应）或使物体产生变形（内效应）。3.力的三要素：力的大小、方向和作用点，三者共同决定力的作用效果。4.约束：对非自由体的运动起限制作用的周围物体，约束施加给非自由体的力称为约束力。5.平衡：物体相对于参考系（通常为地面）保持静止或作匀速直线运动的状态，此时物体所受合力为零。二、简答题1.简述静力学基本公理及其应用。

答：（1）二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，使刚体平衡的充分必要条件是这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上。应用：判断二力杆（如化工设备支架中的拉杆、压杆）的受力方向。

（2）加减平衡力系公理：在作用于刚体的力系中，任意加上或减去一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效果。应用：简化力系，如将复杂力系转化为简单力系进行分析。

（3）力的平行四边形公理：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。应用：力的合成与分解，如分析化工管道支架的受力。2.什么是受力图？绘制受力图的步骤是什么？

答：受力图是指用简图表示物体所受的所有外力（主动力和约束力）的图形。绘制步骤：①确定研究对象，将其从周围物体中分离出来，画出其轮廓简图；②画出作用在研究对象上的主动力（如重力、载荷、压力等）；③根据约束类型，画出相应的约束力，确保约束力的方向与约束的限制作用一致；④检查受力图，确保无漏画、多画或错画的力。三、计算题1.如图所示，物体重G=10kN，放在倾角α=30°的斜面上，物体与斜面间的静摩擦因数f=0.3，试判断物体是否静止，并计算此时的静摩擦力大小。

解：（1）计算物体沿斜面下滑的分力（主动力分量）：F₁=G·sinα=10×sin30°=5kN；

（2）计算物体垂直斜面的正压力：F_N=G·cosα=10×cos30°≈8.66kN；

（3）计算最大静摩擦力：F_fmax=f·F_N=0.3×8.66≈2.6kN；

（4）判断状态：因F₁（5kN）＞F_fmax（2.6kN），物体将沿斜面下滑，此时静摩擦力达到最大值，即F_f=F_fmax≈2.6kN。2.一个固定铰支座上作用两个力，F₁=5kN，方向水平向右；F₂=10kN，方向与水平方向成60°角斜向上，试求两个力的合力大小和方向。

解：（1）建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向；

（2）分解F₂：F₂x=F₂·cos60°=10×0.5=5kN，F₂y=F₂·sin60°≈8.66kN；

（3）计算x方向合力：F_x=F₁+F₂x=5+5=10kN；

（4）计算y方向合力：F_y=F₂y=8.66kN；

（5）计算合力大小：F=√(F_x²+F_y²)=√(10²+8.66²)≈13.17kN；

（6）计算合力方向：tanθ=F_y/F_x=8.66/10≈0.866，故θ≈40.89°（与x轴正方向夹角）。第2章平面汇交力系一、名词解释1.平面汇交力系：所有力的作用线都在同一平面内，且汇交于同一点的力系。2.力的多边形法则：将平面汇交力系中的各力依次首尾相连，构成一个多边形，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的有向线段，即为该力系的合力。3.力的投影：将力分解到两个互相垂直的坐标轴上，得到的分力即为力在该坐标轴上的投影，分为正投影和负投影。二、简答题1.平面汇交力系平衡的条件是什么？

答：平面汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系的合力等于零（F合=0）；用投影表示，平衡条件为：力系中所有力在x轴上的投影代数和为零（ΣF_x=0），所有力在y轴上的投影代数和为零（ΣF_y=0）。2.简述平面汇交力系合成的两种方法及其适用场景。

答：（1）力的平行四边形法则：适用于两个汇交力的合成，直接通过平行四边形对角线确定合力，简单直观，适合快速计算两个力的合成。

（2）力的多边形法则：适用于多个汇交力的合成，将各力依次首尾相连，通过闭合多边形的对角线确定合力，适合多个力的合成分析，且可直观反映各力的大小和方向关系。三、计算题1.已知平面汇交力系中，F₁=4kN，方向竖直向上；F₂=6kN，方向水平向左；F₃=8kN，方向与水平方向成45°角斜向右下，试求该力系的合力。

解：（1）建立坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上；

（2）计算各力投影：

F₁x=0，F₁y=4kN；

F₂x=-6kN，F₂y=0；

F₃x=8·cos45°≈5.66kN，F₃y=-8·sin45°≈-5.66kN；

（3）合力投影：

F_x=ΣF_x=0-6+5.66≈-0.34kN；

F_y=ΣF_y=4+0-5.66≈-1.66kN；

（4）合力大小：F=√(F_x²+F_y²)=√((-0.34)²+(-1.66)²)≈1.69kN；

（5）合力方向：tanθ=|F_y|/|F_x|≈1.66/0.34≈4.88，θ≈78.5°，位于第三象限（x负方向、y负方向）。2.如图所示，支架由AB、AC两杆组成，A点悬挂重物G=15kN，AB杆水平，AC杆与竖直方向成30°角，试求AB杆和AC杆所受的力（不计杆的自重）。

解：（1）以A点为研究对象，绘制受力图：AB杆为二力杆，受力F_AB水平向左；AC杆为二力杆，受力F_AC沿AC杆方向斜向上；主动力G竖直向下，汇交于A点。

（2）建立坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上；

（3）列平衡方程：

ΣF_x=0：F_AC·sin30°-F_AB=0→F_AB=F_AC·sin30°；

ΣF_y=0：F_AC·cos30°-G=0→F_AC=G/cos30°=15/(√3/2)≈17.32kN；

（4）代入计算F_AB：F_AB=17.32×0.5≈8.66kN；

（5）结论：AB杆受拉力8.66kN，AC杆受拉力17.32kN。第3章平面一般力系一、名词解释1.平面一般力系：所有力的作用线都在同一平面内，但不一定汇交于同一点的力系，是工程中最常见的力系（如化工设备的支架受力）。2.力偶：由两个大小相等、方向相反、作用线平行且不共线的力组成的力系，力偶只能使物体产生转动效应，不能产生移动效应。3.力臂：力的作用线到转动中心（矩心）的垂直距离，是计算力矩的关键参数。4.力矩：力对物体产生转动效应的度量，等于力的大小与力臂的乘积，即M=F·d，正负号表示转动方向（顺时针为负，逆时针为正）。二、简答题1.平面一般力系的平衡条件是什么？

答：平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零（F合=0），且力系对平面内任意一点的合力矩等于零（ΣM_O=0）；用投影和力矩表示，平衡条件为：①ΣF_x=0（x方向投影代数和为零）；②ΣF_y=0（y方向投影代数和为零）；③ΣM_O=0（对任意矩心O的力矩代数和为零）。2.力偶的性质有哪些？

答：（1）力偶没有合力，不能用一个力来代替，只能用另一个力偶来平衡；（2）力偶对平面内任意一点的力矩都等于力偶矩，与矩心位置无关；（3）力偶的大小和转向决定其作用效果，力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积（M=F·d）；（4）在同一平面内，两个力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效。3.简述平面一般力系简化的步骤。

答：（1）选择简化中心O；（2）将力系中所有力向简化中心O平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系（主矢F'_R）和一个附加的平面力偶系（主矩M_O）；（3）计算主矢F'_R和主矩M_O；（4）根据主矢和主矩的大小，判断力系的简化结果（合力、力偶或平衡）。三、计算题1.如图所示，悬臂梁AB长L=4m，A端固定，B端受集中力F=10kN（竖直向下），梁的中点C受均布载荷q=2kN/m（竖直向下），试求A端的约束力和约束力矩。

解：（1）以悬臂梁AB为研究对象，绘制受力图：A端为固定端，约束力为F_Ax（水平）、F_Ay（竖直），约束力矩M_A（逆时针为正）；主动力为F（B端）、均布载荷Q=q·L/2=2×2=4kN（作用于C点，竖直向下）。

（2）建立坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，矩心取A点；

（3）列平衡方程：

①ΣF_x=0→F_Ax=0；

②ΣF_y=0→F_Ay-Q-F=0→F_Ay=4+10=14kN（竖直向上）；

③ΣM_A=0→M_A-Q·(L/2)-F·L=0→M_A=4×2+10×4=8+40=48kN·m（逆时针）；

（4）结论：A端水平约束力F_Ax=0，竖直约束力F_Ay=14kN（向上），约束力矩M_A=48kN·m（逆时针）。2.已知平面一般力系中，F₁=5kN，水平向右，作用点坐标（0,2m）；F₂=8kN，竖直向下，作用点坐标（3m,0）；F₃=6kN，与水平方向成60°角斜向上，作用点坐标（3m,2m），试求该力系对原点O（0,0）的合力矩。

解：（1）计算各力对O点的力矩（顺时针为负，逆时针为正）：

①M₁（F₁对O点）：力臂为y坐标（2m），M₁=F₁·d₁=5×2=10kN·m（逆时针，正）；

②M₂（F₂对O点）：力臂为x坐标（3m），M₂=-F₂·d₂=-8×3=-24kN·m（顺时针，负）；

③M₃（F₃对O点）：分解F₃，F₃x=6·cos60°=3kN，F₃y=6·sin60°≈5.196kN；力矩可通过投影计算：M₃=x·F₃y-y·F₃x=3×5.196-2×3≈15.588-6=9.588kN·m（正）；

（2）合力矩：ΣM_O=M₁+M₂+M₃=10-24+9.588≈-4.412kN·m；

（3）结论：合力矩大小为4.412kN·m，方向为顺时针。第4章直杆的轴向拉伸与压缩一、名词解释1.轴向拉伸与压缩：直杆受到沿其轴线方向的拉力或压力作用，使杆的长度发生伸长或缩短的变形，是化工设备中常见的变形形式（如塔设备的拉杆、容器的支座立柱）。2.轴力：直杆轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力，方向与杆的轴线平行，用N表示，拉力为正，压力为负。3.正应力：轴力在横截面上产生的应力，垂直于横截面，用σ表示，拉应力为正，压应力为负，计算公式为σ=N/A（A为横截面面积）。4.强度条件：构件在轴向拉伸或压缩时，为保证不发生强度破坏，横截面上的最大正应力必须小于或等于材料的许用应力，即σ_max≤[σ]，是构件强度设计的核心依据。5.胡克定律：在弹性限度内，直杆的轴向伸长（或缩短）量ΔL与轴力N、杆长L成正比，与横截面面积A、材料的弹性模量E成反比，即ΔL=(N·L)/(E·A)。二、简答题1.简述轴向拉伸与压缩时，横截面上正应力的分布规律。

答：在轴向拉伸或压缩时，直杆的横截面始终保持平面且垂直于杆的轴线（平面假设），因此横截面上的正应力均匀分布，即横截面上各点的正应力大小相等，方向垂直于横截面（拉应力向外，压应力向内）。2.什么是许用应力？如何确定材料的许用应力？

答：许用应力是指材料在正常工作条件下，允许承受的最大应力，用[σ]表示；许用应力由材料的极限应力（屈服极限σ_s或强度极限σ_b）除以安全系数n得到，即[σ]=σ_s/n（塑性材料，优先用屈服极限）或[σ]=σ_b/n（脆性材料，无明显屈服阶段，用强度极限）；安全系数n的取值需考虑材料性能、载荷波动、工作环境等因素，确保构件安全可靠。3.轴向拉伸与压缩的强度计算通常包括哪些类型？

答：主要包括三种类型：①强度校核：已知构件的尺寸、材料和载荷，计算最大正应力，判断是否满足强度条件（σ_max≤[σ]）；②设计截面：已知载荷和材料的许用应力，计算所需的最小横截面面积（A≥N_max/[σ]）；③确定许用载荷：已知构件尺寸和材料的许用应力，计算构件能承受的最大轴力（N_max≤[σ]·A），进而确定许用载荷。三、计算题1.一根圆截面直杆，直径d=20mm，长度L=1m，材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，许用应力[σ]=170MPa，承受轴向拉力F=50kN，试校核该杆的强度，并计算其轴向伸长量。

解：（1）计算横截面面积：A=πd²/4=3.14×20²/4=314mm²；

（2）计算轴力：N=F=50kN=50×10³N；

（3）强度校核：σ=N/A=50×10³/314≈159.2MPa；因σ（159.2MPa）＜[σ]（170MPa），故该杆强度满足要求；

（4）计算轴向伸长量：ΔL=(N·L)/(E·A)=(50×10³×1000)/(206×10³×314)≈50×10⁶/64684×10³≈0.773mm；

（5）结论：杆的强度合格，轴向伸长量约为0.773mm。2.某化工设备的拉杆，承受轴向拉力F=80kN，材料为16MnR，许用应力[σ]=160MPa，试设计该拉杆的圆截面直径（保留1位小数）。

解：（1）确定最大轴力：N_max=F=80kN=80×10³N；

（2）根据强度条件设计截面：A≥N_max/[σ]→πd²/4≥80×10³/160；

（3）计算直径：d≥√(4×80×10³/(π×160))=√(320×10³/502.4)≈√636.94≈25.2mm；

（4）结论：拉杆的圆截面直径至少为25.2mm（实际工程中可圆整为26mm，确保安全）。3.一根阶梯形直杆，AB段长度L₁=1.2m，横截面面积A₁=400mm²；BC段长度L₂=0.8m，横截面面积A₂=200mm²，材料的弹性模量E=200GPa，承受轴向压力F₁=100kN（作用于B点）、F₂=60kN（作用于C点），试计算杆的总压缩量。

解：（1）计算各段轴力（压力为负）：

①BC段：N₂=-F₂=-60kN=-60×10³N；

②AB段：N₁=-(F₁+F₂)=-(100+60)=-160kN=-160×10³N；

（2）计算各段压缩量（ΔL为负表示压缩）：

①AB段：ΔL₁=(N₁·L₁)/(E·A₁)=(-160×10³×1200)/(200×10³×400)=(-192×10⁶)/(80×10⁶)=-2.4mm；

②BC段：ΔL₂=(N₂·L₂)/(E·A₂)=(-60×10³×800)/(200×10³×200)=(-48×10⁶)/(40×10⁶)=-1.2mm；

（3）总压缩量：ΔL=ΔL₁+ΔL₂=-2.4+(-1.2)=-3.6mm；

（4）结论：杆的总压缩量为3.6mm（负号表示压缩变形）。第5章剪切及扭转一、名词解释1.剪切：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的力作用，使构件的一部分相对于另一部分沿力的作用线方向发生相对错动的变形，如铆钉、螺栓的连接。2.剪力：剪切变形时，构件横截面上的内力，方向平行于横截面，用Q表示。3.切应力：剪力在横截面上产生的应力，平行于横截面，用τ表示，计算公式为τ=Q/A（A为剪切面面积），切应力均匀分布（平面假设）。4.扭转：直杆受到绕其轴线的力偶作用，使杆的各横截面绕轴线发生相对转动的变形，如化工设备中的传动轴、搅拌轴。5.扭矩：扭转时，构件横截面上的内力偶矩，用T表示，顺时针为正（右手螺旋法则），计算公式可通过截面法求得。6.切应力互等定理：在构件的某一点处，垂直于两个互相垂直平面上的切应力大小相等，方向相反（即τ=τ'），是扭转切应力分析的重要依据。二、简答题1.剪切强度条件和扭转强度条件分别是什么？

答：（1）剪切强度条件：构件剪切面上的最大切应力必须小于或等于材料的许用切应力，即τ_max≤[τ]，其中τ_max=Q_max/A（Q_max为最大剪力，A为剪切面面积）；对于受剪切的连接件（如铆钉），需同时校核剪切强度和挤压强度。

（2）扭转强度条件：圆轴扭转时，横截面上的最大切应力必须小于或等于材料的许用切应力，即τ_max≤[τ]，其中τ_max=T_max/W_p（T_max为最大扭矩，W_p为抗扭截面系数，圆轴W_p=πd³/16，空心圆轴W_p=π(D⁴-d⁴)/(16D)）。2.简述圆轴扭转时，横截面上切应力的分布规律。

答：圆轴扭转时，根据平面假设，横截面上各点的切应力方向垂直于该点到圆心的半径，切应力大小与该点到圆心的距离成正比，即τ∝ρ（ρ为该点到圆心的距离）；圆心处（ρ=0）切应力为零，圆轴表面（ρ=R）切应力最大，且同一圆周上各点的切应力大小相等。3.什么是挤压应力？挤压强度条件是什么？

答：挤压应力是连接件（如铆钉、螺栓）与被连接件接触面上的应力，由于接触面积较小，容易产生局部挤压破坏；挤压强度条件为：挤压面上的最大挤压应力必须小于或等于材料的许用挤压应力，即σ_bc≤[σ_bc]，其中σ_bc=F_bc/A_bc（F_bc为挤压力，A_bc为挤压面面积，平面接触时A_bc为实际接触面积，圆柱面接触时A_bc为直径与厚度的乘积）。三、计算题1.一个铆钉连接，铆钉直径d=16mm，剪切面面积A=201mm²，被连接件承受拉力F=30kN，铆钉材料的许用切应力[τ]=120MPa，许用挤压应力[σ_bc]=300MPa，挤压面面积A_bc=16×10=160mm²（铆钉与被连接件接触厚度10mm），试校核铆钉的剪切强度和挤压强度。

解：（1）剪切强度校核：

剪力Q=F=30kN=30×10³N；

切应力τ=Q/A=30×10³/201≈149.3MPa；

因τ（149.3MPa）＞[τ]（120MPa），故铆钉剪切强度不足。

（2）挤压强度校核：

挤压力F_bc=F=30×10³N；

挤压应力σ_bc=F_bc/A_bc=30×10³/160=187.5MPa；

因σ_bc（187.5MPa）＜[σ_bc]（300MPa），故铆钉挤压强度满足要求；

（3）结论：铆钉剪切强度不足，需更换直径更大的铆钉。2.一根圆截面传动轴，直径d=50mm，长度L=2m，材料的许用切应力[τ]=80MPa，弹性模量G=80GPa，承受的最大扭矩T_max=1.5kN·m，试校核该轴的扭转强度，并计算轴的最大扭转角。

解：（1）计算抗扭截面系数：W_p=πd³/16=3.14×50³/16≈3.14×125000/16≈24531.25mm³；

（2）扭转强度校核：τ_max=T_max/W_p=1.5×10⁶/24531.25≈61.1MPa；

因τ_max（61.1MPa）＜[τ]（80MPa），故轴的扭转强度满足要求；

（3）计算最大扭转角（单位：rad，换算为度）：

扭转角公式：φ=(T_max·L)/(G·I_p)，其中极惯性矩I_p=πd⁴/32=2W_p·d/2=W_p·d/2≈24531.25×50/2=613281.25mm⁴；

φ=(1.5×10⁶×2000)/(80×10³×613281.25)≈3×10⁹/4.906×10¹⁰≈0.061rad；

换算为度：φ≈0.061×(180/π)≈3.5°；

（4）结论：轴的扭转强度合格，最大扭转角约为3.5°。3.一根空心圆轴，外直径D=80mm，内直径d=60mm，承受扭矩T=2kN·m，材料的许用切应力[τ]=100MPa，试校核该轴的扭转强度。

解：（1）计算抗扭截面系数：W_p=π(D⁴-d⁴)/(16D)=3.14×(80⁴-60⁴)/(16×80)；

计算分子：80⁴=40960000，60⁴=12960000，D⁴-d⁴=28000000；

W_p=3.14×28000000/(1280)≈87920000/1280≈68703.125mm³；

（2）扭转强度校核：τ_max=T/W_p=2×10⁶/68703.125≈29.1MPa；

因τ_max（29.1MPa）＜[τ]（100MPa），故该空心圆轴扭转强度满足要求；

（3）结论：空心圆轴强度合格，且相比同外径的实心圆轴，节省材料。第6章弯曲一、名词解释1.弯曲：直杆受到垂直于其轴线的力（横向力）或绕垂直于轴线的力偶作用，使杆的轴线由直线变为曲线的变形，是化工设备中最常见的变形形式（如梁、管道、塔设备的横梁）。2.梁：以弯曲变形为主的构件，常见的梁类型有简支梁、悬臂梁、外伸梁。3.剪力图与弯矩图：表示梁的各横截面上剪力Q和弯矩M随截面位置x变化的图形，用于确定梁的最大剪力和最大弯矩，为强度计算提供依据。4.正应力：梁弯曲时，横截面上产生的垂直于横截面的应力，拉应力为正（梁下部），压应力为负（梁上部），计算公式为σ=M·y/I_z（M为截面弯矩，y为该点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）。5.抗弯截面系数：衡量梁抵抗弯曲变形能力的参数，用W_z表示，W_z=I_z/y_max（y_max为截面边缘到中性轴的最大距离），弯曲正应力强度条件为σ_max=M_max/W_z≤[σ]。二、简答题1.简述梁弯曲时，横截面上正应力的分布规律。

答：梁弯曲时，根据平面假设，横截面上各点的正应力大小与该点到中性轴的距离y成正比，即σ∝y；中性轴（通过截面形心的轴线）处y=0，正应力为零；梁的上边缘（压应力区）和下边缘（拉应力区）y最大，正应力最大；同一横截面上，拉应力和压应力对称分布，对于对称截面（如矩形、圆形），上下边缘的最大正应力大小相等。2.绘制剪力图和弯矩图的步骤是什么？

答：（1）确定梁的支座约束力，通过平衡方程（ΣF_x=0、ΣF_y=0、ΣM_O=0）计算支座反力；（2）根据梁的载荷分布，划分不同的载荷段（无载荷段、均布载荷段、集中力/集中力偶作用点）；（3）用截面法计算各载荷段的剪力方程和弯矩方程；（4）根据剪力方程和弯矩方程，绘制剪力图（Q-x图）和弯矩图（M-x图），标注关键点的剪力和弯矩值，确定最大剪力Q_max和最大弯矩M_max。3.梁的弯曲强度计算包括哪些类型？如何提高梁的抗弯能力？

答：（1）弯曲强度计算类型：①强度校核：计算梁的最大弯曲正应力，判断是否满足σ_max≤[σ]；②设计截面：根据最大弯矩M_max和许用应力[σ]，计算所需的最小抗弯截面系数W_z≥M_max/[σ]，进而确定截面尺寸；③确定许用载荷：根据截面尺寸和许用应力，计算最大允许弯矩M_max≤[σ]·W_z，进而确定许用载荷。

（2）提高梁的抗弯能力的方法：①增大抗弯截面系数W_z（如采用工字形、箱形截面，将材料集中在截面边缘）；②合理布置载荷，减小最大弯矩（如将集中载荷分散为均布载荷，合理设置支座位置）；③增加梁的长度方向的刚度（如增加截面高度）；④选用弹性模量E较大的材料。三、计算题1.一根简支梁AB，长度L=6m，在跨中C点受集中力F=12kN（竖直向下），梁的截面为矩形，宽度b=100mm，高度h=200mm，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核该梁的弯曲强度。

解：（1）计算支座约束力：简支梁跨中受集中力，支座反力F_A=F_B=F/2=6kN（竖直向上）；

（2）确定最大弯矩：跨中C点弯矩最大，M_max=F·L/4=12×6/4=18kN·m=18×10⁶N·mm；

（3）计算抗弯截面系数：矩形截面W_z=b·h²/6=100×200²/6≈100×40000/6≈666666.67mm³；

（4）弯曲强度校核：σ_max=M_max/W_z=18×10⁶/666666.67≈27MPa；

因σ_max（27MPa）＜[σ]（160MPa），故该梁弯曲强度满足要求；

（5）结论：梁的弯曲强度合格。2.一根悬臂梁，长度L=3m，自由端受集中力F=8kN，材料的许用应力[σ]=140MPa，试设计该梁的圆形截面直径（保留1位小数）。

解：（1）确定最大弯矩：悬臂梁自由端受集中力，最大弯矩在固定端，M_max=F·L=8×3=24kN·m=24×10⁶N·mm；

（2）根据强度条件设计截面：W_z≥M_max/[σ]，圆形截面W_z=πd³/32；

（3）计算直径：d≥√(32·M_max/(π·[σ]))=√(32×24×10⁶/(3.14×140))≈√(768×10⁶/439.6)≈√1747042.77≈132.2mm；

（4）结论：圆形截面直径至少为132.2mm（实际工程中可圆整为135mm）。3.一根简支梁，长度L=8m，承受均布载荷q=2kN/m，梁的截面为工字形，抗弯截面系数W_z=150000mm³，材料的许用应力[σ]=170MPa，试校核该梁的弯曲强度，并确定最大弯矩位置。

解：（1）计算支座约束力：简支梁受均布载荷，支座反力F_A=F_B=q·L/2=2×8/2=8kN（竖直向上）；

（2）确定最大弯矩及位置：均布载荷作用下，最大弯矩在跨中，M_max=q·L²/8=2×8²/8=16kN·m=16×10⁶N·mm；

（3）弯曲强度校核：σ_max=M_max/W_z=16×10⁶/150000≈106.7MPa；

因σ_max（106.7MPa）＜[σ]（170MPa），故该梁弯曲强度满足要求；

（4）结论：梁的弯曲强度合格，最大弯矩位于跨中，大小为16kN·m。第7章复杂应力状态及强度理论一、名词解释1.复杂应力状态：构件内某一点同时受到正应力和切应力作用，或受到两个及以上不同方向正应力作用的应力状态，区别于单向应力状态（仅受拉或压）和纯剪切应力状态（仅受切应力），是化工设备构件的常见应力状态（如容器壁、传动轴）。2.主应力：在复杂应力状态下，通过该点的某一斜截面上，切应力为零，此时该截面上的正应力称为主应力，主应力有三个，分别用σ₁、σ₂、σ₃表示（按大小排序：σ₁≥σ₂≥σ₃）。3.强度理论：解决复杂应力状态下构件强度计算的理论，通过将复杂应力状态转化为单向应力状态，利用单向拉伸或压缩的强度条件，建立复杂应力状态的强度条件，常用的强度理论有第一强度理论（最大拉应力理论）、第三强度理论（最大切应力理论）、第四强度理论（形状改变比能理论）。4.相当应力：根据强度理论，将复杂应力状态转化为等效的单向拉应力，称为相当应力，用σ_r表示，强度条件为σ_r≤[σ]。二、简答题1.简述常用的强度理论及其适用范围。

答：（1）第一强度理论（最大拉应力理论）：认为构件的破坏是由最大拉应力引起的，相当应力σ_r1=σ₁，强度条件σ_r1≤[σ]；适用范围：脆性材料（如铸铁、陶瓷），主要发生拉断破坏，不考虑压应力的影响。

（2）第三强度理论（最大切应力理论）：认为构件的破坏是由最大切应力引起的，相当应力σ_r3=σ₁-σ₃，强度条件σ_r3≤[σ]；适用范围：塑性材料（如Q235钢、16MnR），主要发生塑性屈服破坏，广泛应用于机械制造和化工设备设计。

（3）第四强度理论（形状改变比能理论）：认为构件的破坏是由形状改变比能（单位体积内由于形状改变产生的应变能）达到极限值引起的，相当应力σ_r4=√[(σ₁-σ₂)²+(σ₂-σ₃)²+(σ₃-σ₁)²]/2，强度条件σ_r4≤[σ]；适用范围：塑性材料，比第三强度理论更符合实际，适用于对强度要求较高的构件（如化工高压容器）。2.如何确定复杂应力状态下的主应力？

答：对于平面复杂应力状态（仅σ_x、σ_y、τ_xy），主应力的计算公式为：

σ₁,₂=(σ_x+σ_y)/2±√[((σ_x-σ_y)/2)²+τ_xy²]

第三个主应力σ₃=0（平面应力状态）；

计算后，将三个主应力按大小排序（σ₁≥σ₂≥σ₃），即可得到该点的主应力；对于空间复杂应力状态，需通过空间应力分析确定三个主应力，计算过程更为复杂，工程中常通过简化计算或试验方法确定。3.化工设备中，复杂应力状态的应用场景有哪些？举例说明。

答：化工设备中，很多构件都处于复杂应力状态，例如：①高压容器的器壁：同时受到内压产生的周向拉应力、轴向拉应力，以及容器自重或支座反力产生的弯曲应力，属于复杂应力状态；②搅拌轴：同时受到扭矩产生的切应力和横向力产生的弯曲应力，属于弯扭组合的复杂应力状态；③塔设备的裙座：受到塔体自重、风载荷、地震载荷的作用，同时产生压应力、弯曲应力和切应力，属于复杂应力状态。对于这些构件，需采用相应的强度理论进行强度校核，确保设备安全运行。三、计算题1.某化工设备构件上某点的平面应力状态为：σ_x=80MPa，σ_y=20MPa，τ_xy=30MPa，材料的许用应力[σ]=120MPa，试采用第三强度理论和第四强度理论校核该点的强度。

解：（1）计算主应力：

σ₁,₂=(σ_x+σ_y)/2±√[((σ_x-σ_y)/2)²+τ_xy²]

=(80+20)/2±√[((80-20)/2)²+30²]

=50±√[30²+30²]=50±√1800≈50±42.43MPa；

因此，σ₁≈92.43MPa，σ₂≈7.57MPa，σ₃=0（平面应力状态）；

（2）第三强度理论校核：

相当应力σ_r3=σ₁-σ₃≈92.43-0=92.43MPa；

因σ_r3（92.43MPa）＜[σ]（120MPa），故满足第三强度理论要求；

（3）第四强度理论校核：

相当应力σ_r4=√[(σ₁-σ₂)²+(σ₂-σ₃)²+(σ₃-σ₁)²]/2

=√[(92.43-7.57)²+(7.57-0)²+(0-92.43)²]/2

=√[(84.86)²+7.57²+92.43²]/2≈√[7201.22+57.3+8543.3]/2≈√15801.82/2≈125.7/2≈62.85MPa；

因σ_r4（62.85MPa）＜[σ]（120MPa），故满足第四强度理论要求；

（4）结论：该点强度满足要求，两种强度理论均合格。2.某传动轴，同时受到弯矩M=8kN·m和扭矩T=10kN·m的作用，轴的直径d=80mm，材料的许用应力[σ]=160MPa，试采用第三强度理论校核该轴的强度。

解：（1）分析应力状态：轴的横截面上，弯曲产生正应力，扭转产生切应力，属于弯扭组合的复杂应力状态；

（2）计算弯曲正应力和扭转切应力：

抗弯截面系数W_z=πd³/32≈3.14×80³/32≈3.14×512000/32≈50240mm³；

抗扭截面系数W_p=πd³/16=2W_z≈100480mm³；

最大弯曲正应力σ=M/W_z=8×10⁶/50240≈159.2MPa；

最大扭转切应力τ=T/W_p=10×10⁶/100480≈99.5MPa；

（3）确定主应力：平面应力状态下，σ_x=σ≈159.2MPa，σ_y=0，τ_xy=τ≈99.5MPa；

σ₁,₂=(159.2+0)/2±√[(159.2/2)²+99.5²]≈79.6±√[6336.04+9900.25]≈79.6±127.5；

因此，σ₁≈207.1MPa，σ₂≈-4