2026年天津市部分区高考数学质检试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年天津市部分区高考数学质检试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁UA)∪B=A.{0,2,4} B.{2,3,4} C.{1,2,4} D.{0,2,3,4}2.设a，b∈R，则“a<b”是“a2(a−b)<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=ln|x|+32A. B.

C. D.4.某学校为培养学生创新思维和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，抽取200名参赛学生，统计其成绩，将所得数据分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图，则下列说法错误的是(

)A.a=0.010

B.成绩在[50,70)的频数为50

C.成绩中位数在[80,90)内

D.成绩平均数在[80,90)内5.已知a=50.6，b=log30.6，c=(14)−0.3，则A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b6.若4a=9，3b=4，则A.32log23 B.327.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(0<ω<6)在x=−π3处取得最小值，则A.[0,π6] B.[0,π3]8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O是坐标原点，过A.x2−y24=1 B.x9.已知球O是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.π12 B.π9 C.π8二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数1+3i1−i=______．11.在(2+1x2)(1−x)6的展开式中，x212.已知圆C：(x−1)2+y2=r2，圆心为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，圆C与抛物线交于A，B两点，与其准线交于D，13.现有3名学生参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种语言回答问题，各学生用何种语言回答问题相互独立，每名学生被要求用英语回答问题的概率均为23，则这3名学生中至少有2人用英语回答问题的概率为

；记用英语回答问题的学生人数为X，则X的数学期望E(X)=

．14.已知P是△ABC内一点，AP=12PB+14PC.若AQ=λAC，λ∈(0,1)，且B，P，Q三点共线，则λ的值为

；若|AB|=3，|15.函数f(x)=sinπ2(x+1),0<x<ax2−2ax+1,x≥a，若f(x)恰有四个不同零点，则实数三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(a+b)2=c2+32ab，5asinB=bsinC．

(Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=2，AD=2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

(1)求证：PQ//平面BCD；

(2)求平面ABC与平面ABM夹角的正弦值；

(3)求点M到平面ABC的距离．18.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,1)，且离心率为32，右顶点为A，上顶点为B．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆有唯一公共点P，与y轴交于点Q，过点Q与直线AB平行的直线交x19.(本小题15分)

已知{an}是单调递增的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a3⋅b2=1，(S2+S3)⋅b3=1．

(Ⅰ)求{a20.(本小题16分)

设函数f(x)=ex−12ax2(a>1)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅲ)设h(x)为f(x)的导函数，若h(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点参考答案1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】−1+2i

11.【答案】45

12.【答案】213.【答案】2014.【答案】115.【答案】(5,7]

16.解：(Ⅰ)因为(a+b)2=c2+32ab⇒a2+b2+2ab=c2+32ab⇒a2+b2−c2=−12ab，

由余弦定理可知cosC=a2+b2−c22ab=−12ab2ab=−14；

(Ⅱ)由5asinB=bsinC⇒5sinAsinB=sinBsinC，

因为B∈(0,π)，

由5sinAsinB=sinBsinC⇒sinA=sinC517.解：(1)证明：取MD中点G，连接PG，QG，如下图所示：

因为M为AD中点，G为MD中点，所以AG=3GD，

又因为AQ=3QC，所以AQQC=AGGD，

所以QG//CD，

又QG⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以QG//平面BCD，

又因为P为BM中点，G为MD中点，所以PG//BD，

又PG⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

所以PG//平面BCD，

又PG∩QG=G，PG，QG⊂平面GPQ，

所以平面GPQ⊥平面BCD，

又PQ⊂平面GPQ，

所以PQ//平面BCD；

(2)因为BC⊥CD，则以C为原点，CD,CB,DA所在直线为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,2),B(0,2,0),C(0,0,0),M(2,0,1)，

设平面ABC的法向量为m=(a,b,c)，

则m⊥CAm⊥CB，则m⋅CA=0m⋅CB=0，故2a+2c=02b=0，

所以b=0，取a=2，可得c=−1，

所以m=(2,0,−1)为平面ABC的一个法向量，

设平面ABM的法向量为n=(x,y,z)，

则m⊥ABm⊥AM，则m⋅AB=0m⋅AM=0，故−2x+2y−2z=018.解：(Ⅰ)因为椭圆x2a2+y2b2=1过点(2,1)，且离心率为32，

所以4a2+1b2=1ca=32，解得a2=8，b2=2，

则椭圆的方程为x28+y22=1；

(Ⅱ)设l的方程为y=kx+m，设P(xP,yP)，Q(0,m)，

联立方程组y=kx+mx28+y22=1，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−8=0，

解得xP=−4km1+4k2,yP=m1+4k2，则P(−4km1+4k2,m1+4k2)，

因为直线l与椭圆有唯一公共点P，所以直线与椭圆相切，

得到Δ=(8km)2−4×(1+4k2)×(4m2−8)=0，解得m2=8k2+2，

由题意得A(22,0),B(0,2)，则AB的斜率是−12，

而过点Q与直线AB平行的直线交x轴于点M，则该直线方程为y=−12x+m，

令y=0，解得x=2m，得到M(2m,0)，

设线段PM的中点为R，由中点坐标公式得R(m−2km1+4k2,m2(1+4k2))，

因为R在直线x−2y=0上，所以m−2km1+4k2−2×m2(1+4k2)=0，

化简得2km(2k−1)=0，而k≠0，m≠0，故解得k=12，

代入m2=8k2+2中，得到m2=4，解得m=±2，

则l的方程为y=12x+2或y=12x−2．

19.解：(Ⅰ)因为数列{an}是单调递增的等差数列，故设{an}的公差为d(d>0)．

设数列{bn}的公比为q．

由a1=b1=1，a3⋅b2=1，(S2+S3)⋅b3=1，

得(1+2d)⋅q=1(5+4d)⋅q2=1，

又d>0，解得d=1q=13，

所以an=a1+(n−1)d=n，bn=b1qn−1=(13)n−1；

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Sn=na1+n(n−1)2d=n+n(n−1)2=n(n+1)2x(−∞,x(x(f′(x)+0−0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减；

综上所述：当a>e时，f′(x)=0有两根，