2025年四川省乐山市中考数学试题（含答案）

PAGE1乐山市2025年初中学业水平考试数学本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第I卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1.2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（）A. B. C. D.3.如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（）A. B. C. D.4.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（）A. B. C. D.5.计算：的结果为（）A B. C. D.16.如图，，，，，则的长为（）A.4 B.6 C.8 D.107.若方程的两个根是和，则的值为（）A. B.1 C. D.28.某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（）A.7.8元 B.7.9元 C.8元 D.8.1元9.醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A.18 B.20 C.22 D.2410.已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；③若，则；④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．其中，正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第II卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效，2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11.的相反数是_________．12.某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为______．13.如图，度数为______．14.已知：，则，_______．15.如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．16.定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填番号）；①；②；③．（2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．17.计算：．18.解不等式组：19.先化简，再求值：，其中．20.如图，已知线段、相交于点，，．求证：．21.某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示，项目人数频率16

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40.1根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图；（2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数；（3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率．22.如图，在中，，，．（1）求的长；（2）求点到线段的距离．23.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．（1）求、的值和反比例函数的表达式；（2）若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值．24.如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求的长．25.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．问题初探】如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．解：设，，则．，请补全以上解题过程；问题再探】如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【知识迁移】如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；【延伸拓展】如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是黄金分割点．26.在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：（1）求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：第一步：在函数的图象上取两点和；第二步：分别求出这两个点关于点的对称点和；第三步：函数关于点的“对称函数”为．（2）是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，①若，求内的“整点”个数；②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围．乐山市2025年初中学业水平考试数学本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第I卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上，2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1.2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选：B2.如图，两条平行线、被第三条直线所截．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数．【详解】解：如图所示，∵，∴，∴，故选：D．3.如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．【详解】解：∵从上面看到的图形是俯视图，∴该图形俯视图为：，故选：A．4.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键．根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解．【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为，∴点的坐标是，故选：C．5.计算：的结果为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案．【详解】解：故选：D6.如图，，，，，则的长为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键．根据得到，再代入数据即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，故选：B．7.若方程的两个根是和，则的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，．【详解】解：∵和是方程的两个根，∴，，∴，故选：C8.某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（）A.7.8元 B.7.9元 C.8元 D.8.1元【答案】A【解析】【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元），故选：A．9.醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，

第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；

所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个．

当时，（个），

即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．

故选：B．10.已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；③若，则；④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．其中，正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．【详解】解：二次函数中，，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．令，则，当时，则，则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，故若，则，故③错误．联立与，则，整理得：，则，解得：，令，对称轴为直线，∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，故当时，，解得∶．解得：，故④正确，综上：①②④正确，故选：C第II卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效，2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11.的相反数是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数．根据定义求解即可．【详解】解：的相反数是2．故答案为：2．12.某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为______．【答案】7.5【解析】【分析】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【详解】解：7.5，7.5，7，7.5，8，这一组数据中7.5出现的次数最多，∴众数是7.5，故答案为：7.5．13.如图，的度数为______．【答案】##100度【解析】【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可．【详解】解：故答案为：14.已知：，则，_______．【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．15.如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．【答案】①②或①③（填写一组即可）【解析】【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．【详解】解：当选择①；②时，∵四边形是平行四边形，当，∴四边形是菱形，∵，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形；当选择①；③时，∵四边形是平行四边形，当，∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形；当选择②；③，由于四边形是平行四边形，若或，均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；∴选择①②或①③均可以，故答案为：①②或①③（填写一组即可）．16.定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．（1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填番号）；①；②；③．（2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______．【答案】①.③②.【解析】【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”．（1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断．（2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围．【详解】解：（1）①联立，整理得：，则，则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．②联立，整理得：，令，则方程变为，即，则，则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”．③联立，整理得：，则，∵恒成立，∴，解得：，当时，，则点满足，即函数图象上存在“单位圆点”．故答案为：③（2）联立，整理得：，则，解得：，故答案为：三、解答题：本大题共10个小题，共102分．17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．【详解】解：．18.解不等式组：【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求出不等式解集，然后根据

“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．【详解】解：由①得，；由②得，，∴原不等式组的解集为：．19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．20.如图，已知线段、相交于点，，．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键．根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明．【详解】证明：∵线段、相交于点，∴，∵，，∴，∴．21.某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：．体育中的数学，．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示，项目人数频率16

8

40.1根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图；（2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目的学生人数；（3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目和项目的概率．【答案】（1）40，补全条形统计图见解析（2）人数为人（3）【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题关键．(1)用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可；(2)根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案；(3)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到项目A和项目B的结果数，再利用概率公式可得答案．【小问1详解】解：本次调查抽取学生总人数为(人)，∴选择C项目的人数为(人)，补全条形统计图如图所示：故答案为：40；【小问2详解】解：（人），答：估计选择项目的学生人数为人；【小问3详解】解：列表如下：

ABCDA

B

C

D

共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：，，共2种，∴恰好选到项目A和项目B的概率为．22.如图，在中，，，．（1）求的长；（2）求点到线段的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解；（2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解．【小问1详解】解：过点作的垂线，垂足为，则，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴【小问2详解】解：过点作于点，∵，∴，∵，∴，∴点到线段的距离为．23.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．（1）求、的值和反比例函数的表达式；（2）若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键．（1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；（2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可．【小问1详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，∴，∴，∴，，∴，∴，∴反比例函数解析式为；【小问2详解】解：如图所示，设直线交x轴于C，在中，当时，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴或．24.如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．（1）求证：为的切线；（2）若，，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明；（2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解．【小问1详解】证明：∵直径垂直于弦，∴，，∴，∴∵∴，∴，∴，即，∵半径，∴为的切线；【小问2详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，设，∴，∴，∴，连接，如图：设，则在中，由勾股定理得，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键．25.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．【问题初探】如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比．解：设，，则．，请补全以上解题过程；【问题再探】如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【知识迁移】如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：；【延伸拓展】如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点．【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展]证明见解析【解析】【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可；[问题再探]以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点；[知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明；[延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明．【详解】[问题初探]解：设，，则．，∴，解得：，（舍），∴，∴黄金比为；[问题再探]解：如图，点即为的黄金分割点：[知识迁移]证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形，∴，，，∵点为线段的黄金分割点，∴，∴，∴；[延伸拓展]证明：∵五边形是正五边形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴∴点是的黄金分割点．【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．26.在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关