【 数学】期末复习 课件 2025-2026学年 人教版七年级数学下册

期末综合复习初中数学人教版七年级下学期相交线与平行线两线四角相交线三线八角对顶角两线垂直邻补角定义、表示性质同位角、内错角、同旁内角平行线平行线的性质

定义

画法平行线公理及其推论平行线的判定互逆

定义性质平移作图方向和距离两要素定义、命题、定理

命题定理定义分类表达形式结构真命题推理证实实数平方根

性质

定义

定义性质立方根立方根与平方根的异同概念无理数估算方法按定义分

实数的分类按性质符号分算术平方根定义性质与平方根的联系与区别实数的绝对值、相反数、倒数与实数有关的概念与性质实数与数轴的关系实数的运算实数的大小比较实数的混合运算坐标轴：x轴上的点（x，0），y轴上的点（

0

，y）概念由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置水平的数轴为x轴或横轴，取向右为正方向竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向点的坐标特征象限：一（+，+），二（-，+），三（-，-）四（+，-）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系用坐标描述简单几何图形用坐标描述这些图形上的关键点位置应用用坐标描述平面内点的位置点的平移（上加、下减；左减，右加.）图形的平移（平移前后图形的形状、大小不变）用坐标表示地理位置用坐标表示平移变换建立坐标系；确定比例尺；用坐标表示位置.用方向和距离表示平面内点的位置.坐标方法的简单应用平面直角坐标系三元一次方程组概念应用解法找出等量关系、设出未知数、列方程、解、答含有三个未知数，未知数的次数都是1，含未知数的式子都是整式将三元化为二元，二元化为一元进行求解找出等量关系、设出未知数、列方程、解、答应用代入消元法、加减消元法解法概念二元一次方程（组）的解只含有两个未知数，未知数的次数都是1，含未知数的式子都是整式把两个（及以上）的二元一次方程放在一起组成二元一次方程组使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（两个方程的公共解）二元一次方程组不等式与不等式组数轴法确定一元一次不等式组的解集口诀法应用审、设、列、解、验、答

性质1性质2不等式的基本性质性质3概念不等式不等式的解一元一次不等式组的解集不等式的解集一元一次不等式一元一次不等式组去分母解一元一次不等式系数化为1去括号移项合并同类项数据的收集、整理与描述全面调查数据的收集抽样调查折线统计图数据的整理与描述条形统计图趋势图扇形统计图直方图频数分布表频数分布直方图总体、个体、样本、样本容量用样本估计总体简单随机抽样根据统计图表的不同特点，选择合适的描述方法.邻补角对顶角邻补角、对顶角概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角.注：(1)对顶角相等.(2)对顶角是成对出现的，且是共顶点的角.概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.注：(1)邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.(2)邻补角是成对出现的.(3)一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有多个.同位角、内错角、同旁内角同位角：在两条被截线同一方，在截线同侧，形如字母“F”.概念注意(1)这三类角都是没有公共顶点的，且都是成对出现的；(2)两条直线被一条直线所截，形成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.内错角：在两条被截线之间，在截线两侧，形如字母“Z”.同旁内角：在两条被截线之间，在截线同侧，形如字母“U”.垂直与垂线段垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.概念点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.垂直：当两条直线a、b相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作:a⟂b.性质(1)垂线段最短；(2)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.概念公理及其推论平行线平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.注：(1)“在同一平面内”是前提条件;(2)“不相交”就是说两条直线没有交点;(3)两条线段平行，两条射线平行是指它们所在的直线平行；(4)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行.(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简记为：平行于同一条直线的两直线平行(平行的传递性)平行线的判定判定方法特别强调(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行.

除上面的三种方法外，还可以根据平行线的定义，平行线的传递性，以及“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”来判定两直线平行.性质注意平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补.(1)只有在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.命题定义、命题、定理概念：判断一件事情的语句，叫作命题.真命题：被判断为正确(或真)的命题叫作真命题.假命题：被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.组成：由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

注：

判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定义、定理定义：对数学对象进行清晰、明确的描述叫作定义.定理：经过推理证实得到的真命题.证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过程叫做证明.定义、命题、定理注：

(1)定理一定是真命题，但真命题不一定是定理;(2)定理可以做为继续推理的依据;(3)在证明过程中，推理的每一步都要合乎逻辑.概念性质平移注：确定一个图形平移后的位置需要三个条件:①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离.平移：在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移.(1)平移前后图形的形状和大小完全相同；(2)对应边平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；(3)各对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等.平方根平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫作a的平方根.即：如果x2=a，那么x叫作a的平方根.概念注：(1)开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义.(2)平方与开平方互为逆运算.性质开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方.①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.概念算术平方根性质立方根概念性质开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．①一个正数有一个正的立方根；②0有一个立方根，是它本身；③一个负数有一个负的立方根；④任何数都有唯一的立方根.实数概念分类：注：常见的无理数的形式：开方开不尽的数；关于π的一类数；以无限不循环小数形式出现的特定结构的数.无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.有理数实数无理数正有理数0负有理数正无理数负无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数按定义分：所有分数都是有理数分类按正负分：实数正有理数0负有理数正无理数负无理数正实数负实数性质：①任何一个实数a都有一个相反数-a；②任何非零实数a都有倒数；③一个正数的绝对值是它本身；④一个负数的绝对值是它的相反数；⑤0的绝对值是0.实数与数轴关系运算在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质、运算律等同样适用.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.

一一对应注：在实数范围内：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.

混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号的先算括号内的.实数平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.概念注：水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点．象限建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分（如图），每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．点的坐标特征方法：如图，由点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是

3，垂足N在y轴上的坐标是4，则有序数对（3，4）就叫作点A的坐标，记作A（3，4）.在平面内确定点的坐标点的坐标特征

点的位置

横坐标符号

纵坐标符号第一象限++第二象限-+第三象限--第四象限+-原点（0，0）

x轴上的点（

x，0）y轴上的点（0，y）重要结论用坐标描述简单几何图形

1.一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形．在用坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．为了能方便地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征．

2.类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点（例如顶点）的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形．

3.平面直角坐标系建立了平面内的点与它的坐标的一一对应关系，这样就可以利用坐标方法数形结合地研究一些问题．用坐标表示地理位置方法1.用经纬度表示地理位置．

例如，“北纬39.93°，东经116.33°”确定了北京在地球上的位置．2.建立平面直角坐标系，用坐标来表示地理位置．注：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：（1）建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；（2）根据具体问题，确定单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．3.用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．用坐标表示平移结论规律在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）或（x，y-b）.对一个图形进行平移，图形上点的位置会发生变化．这时如果建立平面直角坐标系，就可以用坐标的变化表示平移了．注：

①对一个图形进行平移，图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可看出对这个图形进行了怎样的平移．②图形的平移：平移前后图形的形状、大小不变.二元一次方程（组）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边值相等的两个未知数的值.概念注：①判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”，一看原方程是不是整式方程，二看化简后的方程是否只含有2个不同未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1.②一个二元一次方程有无数个解.二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解.注：①二元一次方程组中共有2个不同未知数，且有2个一次方程；②一般，二元一次方程组有且只有一组解.解二元一次方程组代入法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.概念

解二元一次方程组的基本思想是消元.加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.基本思想注：根据方程组中未知数系数的特征选择适当的消元法.概念二元一次方程组的应用列二元一次方程组解应用题的一般步骤:1.审题：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；2.设元：用字母表示题目中的未知数；3.列方程组：根据题中的等量关系列出方程组；4.解方程组：解方程组，求出未知数的值；5.检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.三元一次方程组三元一次方程组：方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.概念解三元一次方程组的基本思路：通过“代入法”或“加减法”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.解法不等式及其相关的概念不等式：用不等符号表示不等关系的式子，叫作不等式．概念注：1.不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换；2.判断式子是不是不等式，主要是看它是否含有不等号，若有，则是；否则不是．求不等式的解集的过程叫作解不等式．不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.注：1.一般情况下，不等式的解有无数个；2.解集中包括所有的解，解只是解集中的一个数值.意义不等式是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用.不等式的性质概念意义不等式的性质是解不等式（组）的依据.注：应用不等式的性质2，3时，一定要先弄清两边同乘（或除以）的是一个正数还是负数，以此确定不等号方向改变还是不改变，简记为“负变正不变”.一元一次不等式概念一元一次不等式：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.注：一元一次不等式必须同时满足三个条件：(1)不等号的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是1，且未知数系数不为0.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；

②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.注：(1)去分母时，若分子是多项式，应把分子视为一个整体，并加上括号，否则会出现符号错误.去分母时不要漏乘不含分母的项；（2）移项时，注意改变所移项的符号，但不等号方向不变；（3）系数化为1时，系数如果是负数，不等号的方向要改变.一元一次不等式组概念一元一次不等式组：把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.一元一次不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．解一元一次不等式组的步骤：(1)先分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集，这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集；（3）写出不等式组的解集.注：(1)用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈；（2）求不等式组的解集时，可以记住以下口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.一元一次不等式（组）的应用概念一元一次不等式(组)解决应用题的步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量；(2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；(3)设：设出适当的未知数；(4)列：根据题中的不等关系列出不等式（组）；(5)解：解出所列不等式（组）的解集；(6)答：检验是否符合题意，写出答案．概念数据的收集全面调查：考察全体对象的调查；抽样调查：只抽取部分对象进行的调查，然后根据调查数据推测的结果推测全体对象的情况.简单随机抽样：在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.总体：要考察的全体对象；个体：组成总体的每一个考察对象；样本：被抽取的所有个体组成一个样本；样本容量：一个样本中包含的个体的数目.样本容量没有单位.注：(1)统计调查的方法有全面调查和抽样调查，全面调查的特点全面、准确、花费多，耗时多，抽样调查的特点花费少，省时省力；(2)抽样调查中，抽取的样本必须具有代表性.概念扇形、条形、折线统计图扇形统计图：清楚地表示出各部分在总体所占的百分比.条形统计图：清楚地表示出每个类别的数据，且易于比较各类别数据之间的差距.折线统计图：清楚地反映数据的变化趋势.扇形统计图：用圆代表总体，每个扇形代表总体中的一部分，通过扇形的大小反映各个部分占总体的百分比.条形统计图：用小长方形高的长短来表示数量的多少的一种统计图.折线统计图：用折线的起伏来表示数量增减变化的一种统计图来表示数据的图形.特点概念直方图组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离（组内数据的取值范围）称为组距．组距：每一组两个端点之间的距离叫组距；频数：落在各小组内的数据的个数叫该组的频数；频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值.注：频数分布直方图在等距分组时，以小长方形的高来反映数据落在各个小组内的频数的大小.画直方图的步骤是一个数值，没有单位.(1)算：计算最大值与最小值的差；(2)定：决定组距和组数；(3)列：列频数分布表；(4)画：画频数分布直方图.下列说法中正确的是()A.不相交的两条直线叫平行线B.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到这条直线的距离C.互相垂直的两条线段一定相交D.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直A.在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法错误;B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这点到这条直线的距离，故B说法错误；C.平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法错误，D说法符合题意.故选D.D例1如图，下列条件中，不能判断直线a//b的是()A.

1=

3B.

2=

3C.

4=

5D.

2+

4=180°根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答.故选B.B例2如图，在△ABC中，BC＝8cm．将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（点E在线段BC上），若要使AD＝3CE成立，则平移的距离是（）

A．4cm

B．5cm

C．6cm

D．7cmC例3已知，如图，AB//EF，

ABC=75°，

CDF=135°，则

BCD等于()A.45°B.40°C.35°D.30°过点C作CG//EF，如图，∴

DCG=

CDF=135°.∵AB//EF，∴CG//AB，∴

BCG+

ABC=180°,∴BCG=180°-

ABC=105°.∴

BCD=

DCG-

BCG=30°.故选D.D过“拐点”作已知直线的平行线是解决平行线问题常用的作辅助线的方法.方法总结例4B例5下列说法不正确的是()A.225的平方根是

15B.

-8的立方根是-2C.4是16的平方根D.

7是49的算术平方根根据平方根、算术平方根及立方根的定义，即可判断选项A，B，C正确.因为49的算术平方根是7，49的平方根是±7，所以选项D不正确，故选D.D例63例7A例8B<例9已知在第二象限内的点P的坐标为(2a-3，6+a)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是()A.(-5，5)B.(5，-5)C.(-5，5)或(-15，15)D.(5，-5)或(15，-15)A∵点P(2a-3，6+a)是第二象限内的一个点，且P到两坐标轴的距离相等，∴-(2a-3)=6+a，解得a=-1.∴2a-3=-5，6+a=5.∴点P的坐标为(-5，5).故选A.例10已知点A(3，0)，B(0，1)，点P在x轴上，且三角形PAB的面积为4，则点P的坐标为()A.(-5，0)B.(7，0)或(-1，0)C.(-5，0)或(11，0)D.(-1，0)C例11若点M(a-1，1)与点N(3，b-1)关于y轴成轴对称，则ab=

.4∵点M(a-1，1)与点N(3，b-1)关于y轴成轴对称，∴a-1+3=0，b-1=1，∴a=-2，b=2.∴ab=(-2)2=4.故答案为4.例12方法总结方法总结点的平移规律：向右平移横坐标加，向左平移横坐标减；向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减,简记为“上加下减，右加左减.A例13（2,75°）例14C-3例15某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每小时加工15个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工18个零件，就可以提前1h完成，这批零件有

个，按原计划需

h完成.72例165若不等式(m-2025)x>m-2025两边同时除以(m-2025)，得x<1，则m的取值范围是()A.m<2025B.m>2025C.m≥2025D.m≤2025A例17在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，所以m-2025<0，解得m<2025.故选A.例18二元一次方程3x+2y=12的正整数解有()A.1组B.2组C.3组

D.4组A例19不等式组的解集既可以用数轴法又可以用口诀.口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．方法总结例20某公司需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1350箱.（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；例20某市有4万名学生参加中考，为了考查他们的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩.在这个问题中，下列说法正确的是()A.4万名考生是总体

B.每名考生的数学成绩是个体C.2000名考生是总体的一个样本D.2000名是样本容量例21A.4万名学生的数学成绩是总体，故A不符合题意;B.每名考生的数学成绩是个体，故B符合题意;C.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意;D.2000是样本容量，故D不符合题意.故选B.B根据某中学爱心捐款的情况绘制了如图所示的统计图，已知该校在校学生3000人，则该校共捐款()A.47770元

B.37770元

C.27770元

D.17770元例22B3000×32%×15+3000×33%×13+3000×35%×10=37770(元)故选B.3月12日植树节当天，某校组织各班级进行植树活动，活动后统计了各班级种植树木的数量，绘制成如图所