2025北京九中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京九中高三12月月考数学一、选择题（共10小题，每题4分）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，若，则（）A. B. C.1 D.3.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.4.若，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5.若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（）A.-240 B.240 C.15 D.-156.设均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：）A.550m B.1818m C.5500m D.8732m8.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（）A. B. C. D.10.正方体的棱长为1，是空间中任意一点，给出下列4个结论.正确的个数有（）①若点在线段上运动，则始终有；②若点在线段上运动，则过、、三点的正方体的截面面积最小值为；③若点在线段上运动，则的最小值为；④若点在线段上运动，则直线CP与平面所成最大角的正切值为.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（共5小题，每题5分）11.函数的定义域为______．12.在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____.13.在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______.14.命题：若是等比数列，则前n项和不存在最大值和最小值.写出一组说明此命题为假命题的首项___________和公比___________15.已知函数．给出下列四个结论：①的最小正周期是；②的一条对称轴方程为；③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则；④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题（共6题）16.已知函数.（1）求函数的单调递增区间及在上的值域；（2）若为锐角且，求的值.17.在中，.（1）求角的大小；（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.18.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为组：、、、加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“级”，发芽率低于但不低于的种子定为“级”，发芽率低于的种子定为“级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“级”、“级”、“级”康乃馨种子的售价分别为元、元、元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）求的单调区间；（3）若区间，求实数的取值范围.21.对于一个m行n列的数表，用表示数表中第i行第j列的数，（；）．对于给定的正整数t，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：①，；②．（1）以下给出数表1和数表2．数表1111010000数表211110100001111010000（i）数表1是否具有性质？说明理由；（ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；（2）是否存在数表具有性质？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（3）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为．求的最大值．

参考答案一、选择题（共10小题，每题4分）题号12345678910答案CCDCBCCBAB二、填空题（共5小题，每题5分）11.【答案】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.12.【答案】如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得，因为为锐角三角形，所以，可知，已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得,所以是等腰三角形，.故答案为：；2.13.【答案】延长，，到，，，使，，，如图：则为三棱柱，且.因为棱，，互相平行，且两两之间距离均为1，所以三棱柱的直截面是边长为1的正三角形.所以.所以.故答案为：14.【答案】因为命题“若是等比数列，则前n项和不存在最大值和最小值”为假命题，所以可得“若是等比数列，则前n项和存在最大值或最小值”，因为只需确定满足条件的一组取值，故不妨先考虑，条件下是否存在，若，则，当时，则随的增大而增大，此时有最小值，满足条件，当时，则随的增大而减小，此时有最大值，满足条件，若，则，当时，若，则随的增大而增大，此时有最小值，满足条件，当时，若，则随的增大而减小，此时有最大值，满足条件，故可取，，故答案为：1，2（答案不唯一）15.【答案】的图象如下：对于①，的最小正周期是，①错误；对于②，的一条对称轴方程为，②正确；对于③，画出图象，与在上有5个交点，这5个交点即为函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，且关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，则，故，③正确；对于④，时，单调递增，且，对任意，，由对勾函数性质可知在上单调递增，故，由单调性可知存在实数a，使得对任意，只有一个，满足，④错误.故答案为：②③三、解答题（共6题）16.【答案】（1）依题意，函数由，解得，所以函数的单调递增区间为；由，得，，所以当的值域为.（2）由（1）知，，由，得，由，得，所以，，所以.17.【答案】（1）由正弦定理得，因为在中，，所以，又因为，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若选条件①：，条件②：，则由余弦定理可得,即，解得或，可使得存在但不唯一确定，故不符合题意；若选条件①：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意；若选条件②：，条件③：，则可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因为，所以，所以，符合题意.18.【答案】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，，，∴四边形是平行四边形，，又平面平面平面．（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱的中点，（i），设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，设，则，由（2）知平面的一个法向量为，，∴点Q到平面的距离是，．19.【答案】（Ⅰ）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”，由图表，得，解得，由图表，知“级”种子的频率为，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“级”的概率为．因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“级”种子”为对立事件，所以事件的概率；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为，恰好是“级”康乃馨的概率为，恰好是“级”的概率为．随机变量的可能取值有、、、、，且，，，，.所以的分布列为：故的数学期望．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20.【答案】（1）当时，，则，，则，故曲线在点处切线方程为；（2），①若，则定义域为，有恒成立，则当时，，当时，，即在、上单调递增，在、上单调递减；②若，则定义域为，有恒成立，则当时，，当时，，即在、上单调递减，在、上单调递增；综上所述：当时，在、上单调递增，在、上单调递减；当时在、上单调递减，在、上单调递增；（3）由，故，有定义域为，故，则在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递减，在上单调递增，有，解得或（舍去），即；若，即时，在上单调递增，只需，即，由，故，，故无解；故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用函数定义域，结合所给条件，得到，从而可借助第二问中所得单调性去计算函数在上的最小值.21.【答案】（1）（i）数表1不具有性质．理由：．（ⅱ）存在．由图表可知，故时，数表2具有性质．（2）不存在数表具有性质．假设存在m使得数表具有性质，则．即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k列是第i行的数为1，第行的数为0，则有列是第i行的数为0，第行的数为1，所以，从第i行到第行，一共增加了个1，1的个数的奇偶性不变．所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同，与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾，所以，不存在具有性质的数表．（3）的最大值为．定义行n列的数表：其第i行第j列为，（），则，且表示，两数相同，表示，两数不同．因为数表的第1行确定，所以给定数表后，数表唯一确定．①先证．按照如下方式，构造数表：对于第行和第2s行，，令，，，，且在这两行其余的列中，任选相同的列都为1，其他列都为0，于是可得到具有性质的数表如下：第1列第2列第3列第4列第n－1列第n列第1行1111…11