2025北京顺义一中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京顺义一中高三12月月考数学一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）（1）已知集合A={−2,−1,0,1,2,3}，集合，则（A）（B）{x|x>1}（C）{2,3}（D）{1,2,3}（2）在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（A）（B）（C）（D）(3,-1)（3）若，则下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）（4）在的展开式中，常数项为（A）6（B）-6（C）24（D）-24（5）已知P(m,32)为角α终边上一点,“m=12”是“（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线：的离心率为52，则双曲线的渐近线方程为（A）y=±x（B）y=±2x （C） y=±（7）中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面ABCD为矩形，侧棱EF//平面ABCD,若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：AB=4,AD=2,EF=2,且各侧面与底面ABCD所成角均为π4，则该“刍甍”的体积为（A）73（B）8 103（D）32（8）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线3x-4y+20=0距离的最大值为（A）（B）3 （C）4（D）6（9）在中，AC=AB=2，，为所在平面内的动点，且AC∙AD=2，则的最小值为（A）23（B）25（C）（D）(10)已知函数，给出下列四个结论：①，使得为偶函数；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④∃k>0，使得有三个零点；其中正确的结论有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数的定义域为_______.12.抛物线的焦点F到其准线的距离为;抛物线上一点M，且|MF|=7,则M点的横坐标为_____________.13.已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos2x,|φ|<π2且f(0)=12，则14.①曲线C关于原点对称；②当a=1时，P点的横坐标不超过2；③的面积可以等于34a2；=4\*GB3④点P到原点距离|OP|≤2a．其中，所有正确结论的序号是____．

三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(16)(本题13分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且PD=AD=4，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.（1）求证：；（2）若CF=25，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值（17）（本题13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若a=43，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：的周长为8+43；条件②：；条件③：b=6．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（本题14分）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）车型低收入群体（收入<20万元/年）中收入群体（收入20万元-50万元/年）高收入群体（收入>50万元/年）愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV502040403020PHEV254540403515假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV)的概率p;从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动版（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动版(EV)汽车的概率设为pA试比较p和p(本题15分）已知椭圆的上，下顶点分别为A，B，且短轴长为2，离心率为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线y=-2与y轴交于点Q，点M为椭圆E上不同于顶点的一点,且直线BM与直线y=-2交于点P，AM与直线y=-2交于点N，判断是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.（20）（本题15分）已知函数．（Ⅰ）求在(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=ex-cosx（Ⅲ）若恒成立，求实数的值．（21）（本题15分）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列：①；②．（Ⅰ）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的5阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的5阶数列？说明理由；（Ⅱ）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；（Ⅲ）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值．

参考答案题号12345678910答案CDCCACCDAB1．C【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，，所以.故选：C2．D【分析】先通过复数乘法法则计算，再根据复数与复平面内点的对应关系确定坐标.【详解】，，在复平面内，复数对应的点的坐标为，因此对应的点的坐标是.故选：D.3．C【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断.【详解】对于A，由，得，A错误；对于C，由，得，，C正确；对于B，由，，因此，B错误；对于D，由，得，，D错误.故选：C4．C【分析】先写出的展开式的通项，并整理，令的指数为零，求出对应参数，代回通项，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项为.令，得.所以在的展开式中，常数项为.故选：C.5．A【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得.【详解】当时，，则，充分性成立，当时，则，可得，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6．C【分析】根据双曲线方程及离心率得，进而写出其渐近线方程.【详解】由题设，可得，故，所以双曲线的渐近线为.故选：C7．C【分析】过作平面交平面于，过作交于，交于，过作交于，连接，根据题中条件可以得到为侧面与底面ABCD所成的角，由得到，同理可得，则有，过作平面平面，交于，交于，则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，分别求出体积即可得解.【详解】过作平面交平面于，过作交于，交于，过作交于，连接，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，为侧面与底面ABCD所成的角，各侧面与底面ABCD所成角均为，，，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，为侧面与底面ABCD所成的角，各侧面与底面ABCD所成角均为，，，同理，，，，，，过作平面平面，交于，交于，则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，，侧棱平面，，，，该五面体的体积为，该“刍甍”的体积为.故选：C.8．D【分析】由题意可得，线段的中点的轨迹为圆，因此可将求线段的中点到直线距离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解.【详解】设，则，即.记线段的中点为点，设点的坐标为，则.所以，即.所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆.点到直线的距离为.所以点到直线的距离的最大值为.故选：D.9．A【分析】由余弦定理，可得，根据数量积公式，可得，根据数量积的几何意义，可得在方向上的投影长度为1，设的中点为E，连接DE，DA，DC，DB，可得，分析可得当B、D、C三点共线时，有最小值，且为，即可得答案.【详解】因为，，所以，所以，因为，所以，即在方向上的投影长度为1，设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB，所以，所以，则,当B、D、C三点共线时取等号，故选：A10．B【分析】利用赋值法，结合奇偶性的定义可判断①；当时，分和两种情况讨论可得的单调性可判断②③；函数的零点个数即为函数与函数的交点个数可判断④.【详解】对于①，当时，，又，所以是偶函数，故，使得为偶函数，故①正确；对于②③，当时，若，，当时，可得，所以，则，又，则，又，则，所以函数在上单调递减，当时，，所以，则，所以函数在上单调递减，综上所述：函数在上单调递减，又当时，，又，，所以不存在最小值，故②错误，③正确；对于④，函数的零点即为方程的根，即方程的根，即函数与函数的交点，画出函数与的图像，如图所示：由函数图像可知和至多有两个交点，所以至多有两个零点，故④错误.所以，正确命题的个数为2个.故选：B.11．【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域.【详解】由题设有，故，故答案为：.12．26【分析】根据抛物线方程即可确定其焦准距，可得第一空答案；利用抛物线的焦半径公式可求得M点的横坐标.【详解】由抛物线可知其焦准距为，即其焦点F到准线的距离为2，准线方程为；设M点横坐标为x，则由，得，即M点的横坐标为6，故答案为：2；613．1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）【分析】代入，解方程可得空1的答案；令，作出的图象，数形结合可得空2答案.【详解】由得，即，又，解得；此时，，当时，令，作出的图象，由题意得：曲线与直线恰有一个公共点时，即曲线与直线恰有一个交点，故或.故答案为：；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）14．【分析】空由题意可求出公差，从而可求解；空：先求出公比及，从而求出，从而确定数列中项的正负，然后再设，用作差法得出数列的单调性，从而可得数列的最大值.【详解】空①：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，可得公差，所以；空②：因，可得，又因，所以，则得，所以，则，显然第一项为正，第二项为负，当时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，并设，则，所以当时，，所以数列从往后递减，又因为，，，，所以最大项为，则数列的最大值为.故答案为：；.15．①②④【分析】设动点坐标，由题意列出曲线方程.将关于原点对称的点代入方程，判断①；由曲线方程化简得到，由，建立不等式即可解得P点的横坐标的范围，判断②；令代入后利用配方法求得的取值范围，即可求得面积的取值范围，判断③；由曲线方程建立不等式求得的范围，判断④.【详解】设点，由题意得.∴，∴当点时，，轨迹方程成立，∴曲线C关于原点对称，①正确；∵，，当时，，则，∴，即，∵，∴，即，②正确；，令，则∴，当且仅当，即时，取最大值为，∴，∵，∴③错误；，即，∵，∴，∴，④正确.故答案为：①②④16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面平行的判定与性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，由题意求出线段的长度，确定相关点坐标，求解平面的法向量，利用空间角的向量求法求解即可.【详解】（1）在矩形中，，又平面，平面，所以平面，又因为平面，且平面平面，所以.（2）由（1）可知，又因为E是的中点，所以F是的中点，因为平面平面，所以因为，即，故.又在矩形中，，所以两两垂直.如图以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，设直线与平面所成角为，则，故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式，可求角的三角函数值，进而求角.（2）若选①，可用余弦定理求三角形的边长，再求三角形面积；若选②，可用正弦定理求边，再利用两角和的正弦求，利用三角形的面积公式求面积即可；若选③，利用正弦定理判断满足条件的三角形不唯一，所以选③不满足题意.【详解】（1）在中，，由正弦定理，可得，整理得，因为，，所以，即，因为，所以.（2）选择条件①：因为的周长为，，则，由余弦定理，得，所以，即，解得，所以的面积；选择条件②：因为，，所以，因为，由正弦定理，可得，又，，所以，所以的面积；选择条件③：因为，由正弦定理，可得，因为，所以不唯一，因为存在且唯一确定，故条件③不成立．18．(1)(2)分布列见解析,(3)【分析】（1）利用频率来估计概率即可；（2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解；（3）利用全概率公式来进行求解.【详解】（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计，由题意可知X可能取值为0，1，2，3，分布列如下：X0123p（3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；利用全概率公式可得：所以19．(1)(2)或，【分析】（1）根据椭圆的短轴长为，求得，再由离心率为，得到，结合，求得，即可求得椭圆的标准方程；（2）设椭圆上不同于顶点的点，得到，再由直线的方程，求得，假设存在点，使得，得到，列出方程，求得，进而求得点的坐标，得到答案.【详解】（1）解：由椭圆的短轴长为，可得，解得，又由椭圆的离心率为，即，所以，因为，可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：由直线与轴的交点为，且椭圆的上下顶点为，设椭圆上不同于顶点的点，可得，即，由直线的斜率为，则直线的方程为，令，可得，解得，所以，又由直线的斜率为，则直线的方程为，令，可得，解得，所以，假设存在点，使得，则，即，因为，可得，解得，所以，所以，即点的坐标为或，所以存在点或，使得成立.20．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）根据题意，求得，当时，得到，得出在上单调递增，结合，即可得证；（3）由时，，时，，设，转化为当时，，当时，，根据，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和最值，作出证明，即可求解.【详解】（1）解