2025北京一六六中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京一六六中高三12月月考数学（时长：120分钟）考查目标知识：集合，函数，三角函数与解三角形，导数及其应用，数列，平面向量与复数，平面解析几何，立体几何，排列组合与二项式定理，概率统计能力：数学抽象；逻辑推理；数学建模；直观想象；数学运算；数据分析.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数记为，则（）A. B. C. D.23.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（）A. B.C. D.4.下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.5.已知定义在实数集上的偶函数，在上单调递增，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（）A. B. C. D.7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（）A.2 B. C.6 D.8.若实数满足，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10.设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为．若为正偶数，均有，且，则的最小值为（）A.32 B.26 C.24 D.22第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.的展开式中的常数项是____．12.在等比数列中，，则______，前7项的乘积等于______．13.对于双曲线,给出下列三个条件:①离心率为;②一条渐近线的倾斜角为;③实轴长为,且焦点在轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．14.在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若对应的声强为，对应的声强为，则________．15.设函数，关于有下列四个结论：①的导函数为周期函数，且最小正周期为；②在上单调递增；③的图象关于对称；④方程在上有唯一解，则实数a的值为．其中正确结论的序号为______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求角的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，N为棱BC的中点．（1）求证：；（2）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．19.已知椭圆的右顶点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点、，直线和分别与直线交于点、，求与面积之和的最小值.20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）已知和在上均单调递增，求实数m的最小值；（3）已知方程与的解集的并集为，且，求证：．21.给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将、、、中的最小值称为数列的特征值.（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案CDCDAADCBD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】由二项式展开式的通项为，令，可得，所以展开式中常数项为.故答案为：.12.【答案】因为是等比数列，所以，又，所以，解得或（舍去），因为，，所以，解得．所以前7项的乘积.故答案为：；113.【答案】若选择①③，所以，解得，所以，因为焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：，答案不唯一．14.【答案】由，得到，所以，又若对应的声强为，对应的声强为，所以，，则，故答案为：.15.【答案】对于①，由，可得，因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以函数是周期函数，且最小正周期为，所以①不正确；对于②，由，当，可得，则，所以，所以函数在上单调递增，所以②正确；对于③，由，即，所以函数关于对称，所以③正确；对于④，由，令，因为时，可得，所以则，其图象开口向下，对称为，所以，，且，如图所示，当时，方程无解，当时，只有一个解，此时有两个解；当时，方程有两个解，设两解为，则，此时有四个解；当时，方程有一个解，且，此时有两个解；当时，方程有一个解为，此时只有一个解；当时，方程无解，综上可得，方程在上有唯一解，则实数a的值为．所以④正确；故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）在中，因为，又，所以．因为，所以．因为，所以．（2）选条件①：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．因为，所以．所以．设点为线段的中点，在中，由余弦定理得，所以，即边上的中线的长.选择条件②：由（1）知，所以，可知，不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②.选择条件③：因为中，，，，所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为，则面积，即，解得，因此，设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得，所以，即边上的中线的长.17.【答案】（1），N为棱BC的中点，，又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD平面，所以平面ABCD，平面，（2）在直角梯形中，取的中点为，易知，，，则四边形是正方形，故.在中，.在中，，，.又因为平面平面，且平面平面，平面，故平面，连接，，则，故平面，故可以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因，则，，，，于是，易知平面的一个法向量为.假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为.不妨设（），则，设为平面的一个法向量，则，.从而，解得或（舍去）由题知二面角为锐二面角.所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时.18.【答案】解：（Ⅰ）可能的取值为，，，.每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为.，，，，所以X的分布列为：0123（Ⅱ）设每盘游戏没有得到15分为事件，则.设“两盘游戏中至少有一次获得15分”为事件，则因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为.（Ⅲ）设每盘游戏得分为.由（Ⅰ）知，的分布列为：Y-1215120P的数学期望为.这表明，获得分数的期望为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．19.【答案】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意，得，解得.所以椭圆的方程为；（Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，满足（且），直线的方程为，令，得，即.直线的方程为，同理可得.设为与轴的交点..又因为，，所以.当且仅当取等号，所以的最小值为.20.【答案】（1）易知，所以切点为，又，所以切线斜率，所以切线方程为.（2）,由于,所以时，单调递增，所以在上单调递增。，令，解得，所以时，，所以单调递增，即在上单调递增。又所以，即的最小值为.（3）因为的定义域为，的定义域为，画出两函数图象如下图所示：由图象可知需满足方程与的解集的并集才有三个元素；因此两个函数的两个解中有一个解是公共解（即两个函数图像的交点），所以合并后总共是三个不同的解。因为，所以，所以，所以或，同理或，因为，所以，所以所以，即，可得，因为，所以，所以，因为是方程的正根，令，所以当，所以，当，因为，所以，由连续性和单调性以及零点存在定理可得的唯一解，所以，即，证毕。21.【答案】（Ⅰ）由题知：，，，的特征值为；（Ⅱ）.理由如下：由于，可分下列两种情