2025北京三十五中高三3月月考数学试题及答案

高中2025北京三十五中高三3月月考数学2025.3本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合A={x|−5<x(A){-1,0} (B){2,3} (C){-3,-1,0} (D){-1,0,2}（2）已知z=2+i(A)1 (B)2 (C)5 (D)5（3）在(3x(A)94 (B)−94 (C)92 （4）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅(A)(-2,6)(B)(-6,2)(C)(-2,4)(D)(-4,6)（5）已知圆C:(x+1)（A）｜PA｜的最小值为2（B）｜PA｜最小时，弦AB所在直线的斜率为-1（C）｜PA｜最小时，弦AB长为✓6（D）四边形PACB面积的最小值为3（6）定义在D上的函数f(x)，若满足：存在常数M>0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有(A)y=tan(B)y=2(C)y=x(D)y=x-[x]（［x］表示不大于x的最大整数）（7）已知函数f(x)的图象的一部分如图①，则图②中的函数图象对应的函数是(A)y=f(2x−12)(C)y=f(x图①图②（8）已知A，B是平面α上的点，A1,B1是平面β上的点，且AAA1∥B（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(（单位：毫升／克）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0·(A)12小时(B)59小时（C）5小时(D)（10）如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为(A)12V(B)49V(C)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若抛物线y2（12）已知双曲线mx（13）已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)满足f(π8)=f(5π8)，且f(x)在(π8（14）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月＿日．（15）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.给出下列4个结论：①函数y=x②正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数”④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形其中所有正确的结论的序号为（16）（本小题13分）在ΔABC中，ba（I）求证：△ABC为等腰三角形；（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值.条件①：∠B=π6条件②：△ABC的面积为152注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=1,PB=PD=2,PC=（I）求证：PAL平面ABCD；（II）M为线段CD的中点，求二面角P-BM-A的余弦值.（18）（本小题13分）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p(0<p<1)，乙队获胜的概率为1-p，每局比赛的结果互不影响．（I）若p=2（II）若p=2（III）若比赛打满3局的概率记为f(p)，请直接写出f(p)的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.（19）（本小题15分）已知椭圆E：x2a2+y2b（I）求椭圆E的方程及圆O的方程；（II）求证：|F（20）（本小题15分）设函数.f(x)=ln(1+x)+kx(k≠0)，直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>-1且t≠0)处的切线.（I）当k=-1时，求f(x)的单调区间；（II）求证：l不经过点（0,0）；（III）当k=-1时，设点A(t,f(t))(t>-1且t≠0),C(0,f(t)),,O(0,0)，B为l与y轴的交点，SΔACO与SΔABO分别表示ΔACO与（21）（本小题15分）对于项数为m+1(m∈N∗)若其对于任意的i∈{0,1,2,⋯,m-1,m}均满足：(1)ai∈{0,1,2,⋯,m−1,m};(2)则称数列A为自表数列.（I）判断下列数列是否为自表数列：A:3,2,1,1,0,0,0;B:4,2,2,0,1,0,0.（II）已知数列A：a0,a（III）求证：m≥6时，项数为m+1的自表数列存在且唯一.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）【答案】D集合A表示满足不等式−5<x3<5【详解】对于集合A，解不等式−5<x当x=−3时，(−3)当x=−1时，(−1)当x=0时，03当x=2时，23当x=3时，33因此，A∩B={−1,0,2}。正确选项为D。（2）【答案】C根据复数的定义和性质计算z的模长。【详解】先化简z：i2i3因此：z=2+(−1)+2(−i)=1−2i计算模长：|z|=正确选项为C。（3）【答案】A利用二项式定理确定展开式中的常数项。【详解】根据二项式定理，(a+b)T这里a=3x2,b=−1T为了得到常数项，要求幂次为零：(3−k)(2)−k(−1)=0⟹6−2k+k=0⟹k=6/3=2当k=2时：T正确选项为B。（4）【答案】A分析向量点积的几何意义，并结合正六边形的对称性求解。【详解】设正六边形的中心为O，边长为2，则AB=2i（假设水平放置）。AP可以表示为从点A到点由于P在正六边形内部，其坐标范围可以确定为：−2≤因此：AP点积为：APxP的范围为[−2,4]2结合正六边形的边界约束，实际范围为(−2,6)。正确选项为A。（5）【答案】C分析圆的几何性质和切线的条件，结合选项逐一验证。【详解】圆心为(−1,0)，半径为2。点P(x,y)满足x−y−3=0，即y=x−3。设切线方程为PA和PB，由圆的切线性质可知，|PA|的最小值出现在点P距离圆心最近时。此时：d=令导数为零，得x=1，代入得d=8=22。|AB|=2正确选项为C。（6）【答案】D逐个分析选项中函数的有界性。【详解】y=tan(x+πy=2x：无界，指数函数随y=xy=x−[x]：有界，因为x−[x]∈[0,1)。正确选项为D。（7）【答案】B观察图象变换规律，结合选项判断。【详解】图②相对于图①进行了横向伸缩和平移。通过比较可得，图②对应函数为：y=f正确选项为B。（8）【答案】B分析平行关系的充要条件。【详解】若α∥β，则AA1=BB1必然成立；但仅AA1正确选项为B。（9）【答案】C利用指数衰减公式计算剩余过滤时间。【详解】由题意，P5=P要求Pte还需过滤时间为10−5=5。正确选项为C。（10）【答案】C利用几何分割法计算多面体体积。【详解】将三棱锥P−ABC分割为多个小三棱锥，计算剩余部分体积。多面体BCFEGH的体积为：V正确选项为C。第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）【答案】p=2抛物线的标准方程为y2=2px，其中焦点为(p2,0)【详解】抛物线的焦点坐标为(p2,0)，而抛物线的顶点为原点根据题意，焦点到顶点的距离为1，因此有：p解得：p=2所以，p=2。（12）【答案】m=−1双曲线的标准形式为mx2+y2【详解】双曲线的标准形式为mx2+y2=1y=±题目给出一条渐近线的斜率为2，因此有：−m两边平方得到：−m=4解得：m=−所以，m=−1（13）【答案】ω=4，|x1−第一问：求ω由题意，f(x)=sinf(x)=根据条件fπω⋅整理得：ω⋅进一步化简：−ω⋅由于ω>0，取k=−1，得ω=4。第二问：求|当|f(x1)−f(x2)|=22时，说明f(x1因此，满足|f(xf(对应于正弦函数的两个关键点：44解得：x两者的差为：|令m−n=0或1，可得：|【分析】本题考查了三角函数的性质及周期性。通过将原函数化简为标准形式，利用正弦函数的对称性和周期性求解参数ω和两点间的距离|x【详解】化简函数：将f(x)=sinωx+cos利用对称性求ω：根据fπ8=f求最大值与最小值的间距：当|f(x1)−f(x2（14）【答案】连续打卡5天共得积分：35；未打卡的那天可以是3月11日。第一问：连续打卡5天的总积分连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推。这实际上是一个首项为1、公差为2的等差数列。前5天的总积分为：S第二问：确定未打卡的日期从3月1日到3月20日共有20天。如果每天都打卡，那么总积分应为：S实际积分只有193分，说明缺失了400−193=207积分。未打卡的那天会导致从那一天起的后续积分全部重置为1分开始计算。假设未打卡的日期为第k天，则前k−1天的积分按正常等差数列计算，第k天无积分，从第k+1天起重新从1分开始累加。设未打卡的日期为k，则总积分公式为：S通过试算可知，当k=11时，总积分刚好为193分。【分析】本题考查等差数列的求和公式及逻辑推理能力。通过分析未打卡对积分的影响，逐步推导出未打卡的具体日期。【详解】连续打卡5天的积分：直接使用等差数列求和公式计算。未打卡日期的确定：假设未打卡日期为k，分别计算前k−1天和后20−k天的积分，通过试算确定k=11。（15）【答案】②③④①函数y=x函数y=x3+x②正弦函数y=sin正弦函数的图像关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图像将圆的周长和面积同时等分。因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故②正确。③是否存在不为常数函数的偶函数为“太极函数”？偶函数的图像关于y轴对称。如果偶函数的图像还具有中心对称性（如y=−x2），它可以成为“太极函数”。因此，④“太极函数”的充要条件是否为中心对称图形？根据定义，“太极函数”必须将圆的周长和面积同时等分，而这一性质要求函数图像必须是中心对称的。因此，④正确。【分析】本题考查了函数的对称性及“太极函数”的定义。通过逐一分析每个选项的性质，判断其是否符合“太极函数”的定义。【详解】分析①：y=x分析②：正弦函数是中心对称函数，且可以通过调整圆的位置和大小使其成为“太极函数”。分析③：存在偶函数（如y=−x分析④：中心对称是“太极函数”的必要条件，也是充分条件。（16）【答案】（I）△ABC为等腰三角形；（II）选择条件②，b=3。本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用。通过已知条件ba=105和【分析】（I）要证明△ABC为等腰三角形，需利用已知条件ba=105和cosA=10（II）根据题目要求，选择一个条件使△ABC存在且唯一。可以选择条件①（角B的大小）、条件②（面积）或条件③（高）。最终计算出b的值。【详解】（I）证明：△ABC为等腰三角形由已知条件cosA=1010，可得根据正弦定理：a由ba=105，设再根据余弦定理：c将a=k、b=10c化简后可得c2=k2，即c=k。因此，（II）求b的值选择条件②：△ABC的面积为15三角形面积公式为：S=由正弦定理可知：sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B).假设∠B=π6，则∠C=sinC=sin代入sinA=31010、cosA=1010sinC=将面积公式代入：15已知a=k、b=105k，代入后解得k=5（17）【答案】（I）证明PAL平面ABCD；（II）二面角P-BM-A的余弦值为63本题考查了空间几何中的垂直关系证明以及二面角的计算。通过点坐标及向量运算，可以证明直线PA垂直于平面ABCD，并进一步计算出二面角的余弦值。【分析】（I）要证明PAL平面ABCD，需利用向量内积为零的性质，证明PA垂直于平面ABCD内的任意两条不共线向量。（II）通过建立空间直角坐标系，分别计算向量PB、BM、AM的方向向量，进而利用法向量求解二面角的余弦值。【详解】（I）证明：PAL平面ABCD以A为原点，建立空间直角坐标系，设点坐标如下：A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(x由题意PB=2、PD=2、(x(解得P(0,0,1)。向量PA=(0,0,−1)，平面ABCD内的向量为AB=(1,0,0)和计算内积：PAPA因此，PA垂直于平面ABCD，即PAL平面ABCD。（II）求二面角P-BM-A的余弦值M为CD中点，坐标为(0.5,1,0)。计算相关向量：PB平面PBM的法向量n1由PBn平面ABM的法向量n2由ABn二面角余弦值为：cosθ=计算内积和模长：n|因此：cosθ=（18）【答案】(I)1(II)E(X)=(III)f(p)的最大值为12，此时p=(I)乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜。乙队每局获胜的概率为1−p，因此乙队以2:0获胜的概率为：P(代入p=2P((II)比赛结束时甲队获胜的局数X的可能取值为0、1或2。计算各情况的概率如下：P(X=0)：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为(1−p)P(X=1)：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为：P(X=1)=2p(1−pP(X=2)：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或后2局），概率为：P(X=2)=因此，X的期望为：E(X)=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1)+2⋅P(X=2),代入p=2E(X)=0⋅化简后得E(X)=4(III)比赛打满3局的概率f(p)表示比赛进行到第3局才分出胜负。这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此：f(p)=2p(1−p).将f(p)视为关于p的函数，其最大值出现在p=1f实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大。【分析】本题考查概率的基本概念和期望的计算方法。解题过程中需要结合三局二胜制的规则，合理分析比赛结果的各种可能性，并利用概率公式进行计算。【详解】(I)根据三局二胜制规则，乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜，因此概率为(1−p)2。代入(II)X的期望通过加权平均的方式计算，需分别计算P(X=0)、P(X=1)和P(X=2)的概率，并结合X的取值进行加权求和。(III)打满3局的概率f(p)=2p(1−p)是一个关于p的二次函数，其最大值出现在对称轴p=12处，最大值为（19）【答案】(I)椭圆E的方程为x22+y2(II)定值为22(I)已知以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形。设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，焦距为2c。由正方形性质可知：c=b=因此，椭圆E的方程为：x圆O的方程为：x(II)设A(x1,y1)为圆O上一点，B(x1,y2)为椭圆Ex过E作l的垂线，垂足为M。由于M在l上，且EM⊥l，可以证明|F【分析】本题主要涉及椭圆和圆的几何性质，以及切线和垂线的关系。解题过程中需要灵活运用几何图形的对称性和相关公式。【详解】(I)根据正方形的边长为2，可以确定椭圆的半短轴b=2，焦距2c=22，从而求得(II)利用椭圆和圆的对称性，结合切线和垂线的几何关系，可以证明|F1M|+|B（20）【答案】（I）f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)。（II）直线l不经过点(0,0)。（III）存在点A使得SΔ（I）当k=-1时，求f(x)的单调区间。函数f(x)=ln(1+x)−x的导数为：f'(x)=令f'(x)=0，解得x=0。当x∈(−1,0)时，f'(x)>0，故f(x)在区间(−1,0)上单调递增；当x∈(0,+∞)时，f'(x)<0，故f(x)在区间(0,+∞)上单调递减。因此，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)。（II）求证：l不经过点(0,0)。直线l是曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线，其斜率为f'(t)。因此，切线方程为：y−f(t)=f'(t)(x−t).将原点(0,0)代入该方程，得到：0−f(t)=f'(t)(0−t),即：f(t)=tf'(t).由题意f(x)=ln(1+x)+kx，则：f(t)=ln(1+t)+kt, f'(t)=代入上式：ln(1+t)+kt=t化简后得到：ln(1+t)=t⋅两边同乘以1+t（注意t>−1且t≠0），得：(1+t)ln(1+t)=t.设g(t)=(1+t)ln(1+t)−t，则g(t)=0是上述等式的必要条件。然而，通过分析g(t)的性质可以发现，g(t)=0仅在t=0时成立，而题目要求t≠0。因此，直线l不可能经过点(0,0)。（III）是否存在点A使得SΔACO=2S设点A(t,f(t))，直线l与y轴交点为B，则点B的坐标为(0,b)，其中b为切线方程中的截距。切线方程