2025北京十四中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京十四中高三10月月考数学2025.10出题人：高三备课组审核人：高三备课组注意事项1.本试卷共6页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2.已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，若，，，则的大小为（）A. B. C. D.4.已知直线与圆交于两点，且，则（）A. B. C. D.5.已知函数，且，则（）A.，都有 B.，都有C.，使得 D.，使得6.在等差数列中，，．记，则数列（）．A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项7.设是向量，则“”是“或”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（）A.1 B. C. D.9.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.10.已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（）A.0 B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分.11.展开式的常数项是__________．（用数字作答）12.函数的部分图象如图所示，则___________.13.已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.14.若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．15.设无穷数列的前项和为，且，．给出下列四个结论：①若，；②若，则；③当时，是等比数列；④对任意，总存在直线，使得点到的距离随着的变大而变小．其中正确结论的序号是_____．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求证：．17.在中，．（1）求的大小；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：在上单调递增；（3）判断与的大小关系，并直接写出结论．19.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．20.已知函数.（1）若，求的值；（2）当时，①求证：有唯一的极值点；②记的零点为，是否存在使得？说明理由.21.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910DCBDBBBCBC第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分.11.【答案】展开式的通项公式是，由，得，所以展开式的常数项为.故答案为：2412.【答案】由图像可得函数的最小正周期为，又，则.又，则，则，，则，，，则，，则，故答案为：.13.【答案】由题意可得，，则，，解得.故答案为：；.14.【答案】解：因为当时，，所以，要使函数的定义域和值域的交集为空集，则，当，时，值域中有元素，此时不满足题意，所以，当，时，的值域为，下面分两种情况讨论，当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得：当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得，综上，正数的取值范围是故答案为：15.【答案】对于①，，则，时，，时，，故①错误；对于②，，则数列是首项为，公差为2的等差数列，所以，则，所以，故②正确；对于③，时，，时，，时，，则，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，故③正确；对于④，时，，时，，则，整理得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，设直线，则点到的距离，当时，，又，所以，而随着的变大而变小，所以点到的距离随着的变大而变小，故④正确.故答案为：②③④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）==.所以f（x）的最小正周期．（2）证明：因为，即，所以f（x）在上单调递增．当时，即时，．所以当时，．17.【答案】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因为，所以，又，所以；（2）选条件①：边上中线的长为：设边中点为，连接，则，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面积为，选条件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，的面积为．当时，的面积为．不可选条件②，理由如下：若，故为钝角，则，则，，即，其与为钝角矛盾，故不存在这样的.18.【答案】（1），所以，，故曲线在点处的切线方程为；（2）由题意得所以，在上恒成立故在上单调递增.（3），证明如下：设，则，由（2）知:在上单调递增，则，所以，即在上单调递增，故，即．19.【答案】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列为X23P所以E（X）=2×．由题意可知，，所以E（Y）=np=．（3）．20.【答案】（1）因为，所以因为，所以（2）①的定义域是，令，则.设,因为在上单调递减，所以在上单调递减.因为，所以在上有唯一的零点，|所以有有唯一解，不妨设为.与的情况如下,+0-增极大值减所以有唯一的极值点.②由题意，，则若存在a，使，则，所以因为在单调递减，，则需，即，与已知矛盾.所以，不存在,使得.21.【答案】（1）若集合A={0，1，2}，则S（A）=T（A）={0，1，2，3，4}．（2）令．不妨设．充分性：设是公差为的等差数列．则且．所以共有2n-1个不同的值．即d（S（A））=2n-1．必要性：若d（S（A））=2n-1．因为．所以S（A）中有2n-1个不同的元素：任意（1≤i，j≤n）的值都与上述某一项相等．又，且．所以，所以是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A．假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S（A），因此1∉T（A），1∉S（T（A）），故1∉T（T（A）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A））矛盾，因此1∈A．设A的元素个数为n，S（A）的元素个数至多为C+n，从而T（A）的元素个数至多为C+n+n=．若n=2，则T（A）元素个数至多为5，从而T（T（A））的元素个数至多为=20，而T（T（A））中元素至少为26，因此n≥3．假设A有三个元素，设，且，则1，2，，，从而1，2，3，4∈T（T（A））．若，T（T（A））中比4大的最小数为，则5∉T（T（A）），与题意矛盾，故≤5．集合T（T（A））．中最大数为，由于26∈T（T（A）），故≥26，从而≥7，（i）若A={1，a2，7}，且≤5．此时1，2，，+1，7，8，2，7+，14∈T（A），则有8+14=22，2×14=28∈T（T（A）），在22与28之间可能的数为14+2，21+．此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．（ii）若A={1，，8}，且≤5．此时1，2，，+1，8，9，2，8+，16∈T（A），则有16+9