2025北京高三（上）入学定位考数学试题及答案

高中2025北京高三（上）入学定位考数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.若复数满足，则（）A. B.1C. D.3.直线被圆所截得的弦长为（）A. B.2C. D.44.在的展开式中，常数项为（）A. B.C.6 D.125.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度6.已知函数的最大值为2，则的值可以是（）A.-1 B.1C. D.27.已知点在抛物线上，且点到抛物线焦点的距离等于点到直线的距离，则（）A.1 B.2C.3 D.48.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.9.已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（）A.四棱锥的体积不变B.总有C.点在一条定线段（不含端点）上D.记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域为___________．12.已知双曲线的一条渐近线经过点，则______，的离心率为______．13.函数的最小正周期___________，函数的长度为的一个单调递减区间为___________．（只需写出一个）14.等差数列的通项公式，前项和为，则___________，数列的最小值为___________．15.已知函数与，其中实数．给出下列四个结论：①函数在区间上单调递增；②对任意的与的图象都只有一个公共点；③若与的图象没有公共点，则的取值范围是；④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1．其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，为钝角，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，，点在上，．（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．18.某学校为了解该校不同性别教师使用人工智能模型的情况，分别从男教师、女教师中随机抽取了部分教师，统计了他们上个月使用人工智能模型的时长，得到以下数据（单位：小时）：女教师：25，26，32，33，34，36，46，47，50，55男教师：15，16，22，23，24，26，36，37，40假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名教师使用人工智能模型的情况相互独立．（1）该学校要对上个月使用人工智能模型时长不足20小时的职工进行专项调研，已知该校共有180名男教师，试估计该校需要参加此次专项调研的男教师人数；（2）从女教师中随机抽取2人，男教师中随机抽取1人，记为这3人中上个月使用人工智能模型时长不少于35小时的人数，求的分布列和数学期望：（3）设样本中女教师使用人工智能模型时长的方差为，男教师使用人工智能模型时长的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）19.已知椭圆的右顶点为，上顶点与左右焦点构成一个等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为、点关于轴的对称点为与不重合），直线与轴的交点分别为．若，求线段的长．20.已知函数．（1）求证：曲线在点处的切线一定经过点；（2）当时，求函数的单调区间；（3）记，是否存在实数，使得函数与在处同时取得极值，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．21.给定整数，数列满足．定义数列如下：，其中表示这2个数中最小的数．记，（1）时，，分别写出相应的数列和；（2）求证：；（3）求的最小值．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910BDCCACBABD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】求出的解集后可得函数的定义域.【详解】由题设可得，所以，所以函数的定义域为，故答案为：.12.【答案】①.0②.【分析】将点代入双曲线的渐近线方程求得，即可求解和离心率.【详解】已知双曲线的一条渐近线经过点，则点在渐近线上，所以，即，所以，.故答案为：0；13.【答案】①.②.（答案不唯一，满足即可）【分析】先利用二倍角公式化简，进而结合余弦函数的周期公式、余弦函数的单调性求解即可.【详解】由，则；令，，则，，则函数的长度为的一个单调递减区间为.故答案为：（答案不唯一，满足即可）.14.【答案】①.-3②.-3【分析】由等差数列的前n项和公式可得第一空答案；由题意可知，令，利用导数可求得第二空答案.【详解】由题意可得，所以；由题意可知，令，则，由可得，由可得，即在上单调递减，在上单调递增，又因，则，即数列的最小值为.故答案为：；15.【答案】①②③【分析】根据题意，按的不同取值范围，分类作图，逐一判断即可解出.【详解】题意，分类作图如下：（1）（2）（3）（4）当时，，，两函数的图象只有一个交点，对于①，根据图象，在区间上单调递增，所以①正确；对于②，根据图象，时，与的图象仅有一个公共点，所以②正确；对于③，根据图象，在时，与的图象可能没有交点，此时，解得，即的取值范围是，所以③正确；对于④，根据图象，在时，与的图象可能有两个交点，此时解得公共点横坐标为，则两个公共点横坐标的差为，所以④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）利用二倍角的正弦公式可得，结合正弦定理可得；（2）若选条件①，由同角三角函数的基本关系式和余弦定理可求，故可求面积；若选条件②，利用三角变换公式可求，再结合正弦定理可求，故可求面积；若选条件③，则结合余弦定理和基本不等式得到矛盾，故此时三角形不存在.【小问1详解】因为，所以，又因为为钝角，所以，则，可得，由正弦定理，所以.若选择条件①：，【小问2详解】因为，且为钝角，所以由余弦定理，代入整理得到解得（舍），此时的面积；若选择条件②：，因为，且为钝角，所以，且为锐角，由可得，则，由正弦定理，所以，所以的面积；若选择条件③：，由（1）结合为钝角可得，因为，故，而，故，故，而，由余弦定理，，，但由基本不等式有，产生矛盾，故不能选③.17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点，连接，则可证四边形为平行四边形，故，由线面平行的判定定理可得平面;（2）建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法可求线面角的正弦值.【小问1详解】取中点，连接，因为分别为的中点，所以，且，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，故，而，故可建立如图所示空间直角坐标系，则，因此．设平面的法向量为，则，取，于是.设直线与平面所成角为，所以.18.【答案】（1）40（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）根据样本计算频率，再估计总体参加专项调研的教师人数；（2）以样本中的数据的频率作为概率，利用独立事件概率公式，求分布列，进而求得数学期望；（3）根据样本的关系，再结合方差的定义，即可比较大小.【小问1详解】样本中9名男教师中有2人使用人工智能模型时长不足20小时.所以男教师使用人工智能模型时长不足20小时的职工的概率约为.故男教师约有需要参加此次专项调研.【小问2详解】从女教师中随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为；从男教师随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为．由题设，的可能取值为0，1，2，3.且；所以的分布列为：0123数学期望.【小问3详解】女教师和男教师的前9个数据的差值都是10，所以女教师和男教师前9个数据的方差相同，女教师比男教师多一个数据55，这个数据与平均数的差值最大，所以使女教师的数据波动变大，从而方差变大，所以.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据等腰直角三角形可得，结合右顶点可求各基本量，从而可得椭圆方程；（2）利用知点求点可用直线的斜率结合表示，再根据可求得，故可得的坐标，从而求出线段的长．我们也可以设，则可用表示，再根据可求，故可求线段的长．【小问1详解】由题设，，所以，所以的方程为.【小问2详解】方法一：由题设，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.所以可得，，设，所以，所以，所以，所以，直线的斜率，所以直线的方程为，令，得，所以，同理可得所以，又，所以，因为与不重合，所以，所以，所以，所以，所以.方法二：设点，所以，所以直线的方程为，令，所以，同理直线的方程为，令，所以，又，因为，所以，所以所以，所以，所以，所以.20.【答案】（1）证明见解析（2）单调递增区间为；单调递减区间为（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程，从而可求其所过的定点；（2）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数单调性；（3）假设存在实数满足题设条件，则由两者有相同的极值点可求的值和的值，代入检验得不存在极值点后可判断实数不存在.【小问1详解】因为，所以，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为当时，，所以曲线在点处切线经过定点.【小问2详解】当时，，令，得，与的变化情况如下表：1+00+↗

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↗所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】假设存在实数，使得函数与在处同时取得极值，因为，所以，所以，所以，此时恒成立，不存在极值，矛盾，所以不存在实数，使得函数与在处同时取得极值.21.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用数列的定义可求解；（2）利用中的任一元素，在中至多在和中出现两次，分为偶数，为奇数两种情况证明即可；（3）不妨设，其中