2025北京昌平一中高三11月月考数学试题及答案

高中2025北京昌平一中高三11月月考数学2025.11本试卷共21道题，满分150分．考试时长120分钟试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数满足，则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.3.下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）A. B.C. D.4.设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.65.在交通工程学中有如下定义：交通流量(辆/小时)是单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度(千米/小时)是单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度(辆/千米)是单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数，其中和的测量通常视为连续不断的数值.设某路段的和满足(其中是正数)，则随着车流密度增大，以下说法正确的是（）A.车流速度增大 B.交通流量增大C.交通流量先减小后增大 D.交通流量先增大后减小6.若是函数图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（）A. B. C. D.8.先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（）A.1 B. C.2 D.9.已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.设正方体的棱长为2，点在底面内且满足性质．若点的轨迹为抛物线的一部分，则性质可以为（）①点到直线的距离与它到平面的距离相等；②点到点的距离与它到直线的距离之和为4；③直线和夹角为；④直线和夹角为．A.①或③ B.①或④ C.②或③ D.②或④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.函数的定义域是________．12.在中内角、、所对边分别为、、，能说明“若，则是直角三角形”为假命题的一组、的值_____，_____.13.已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为_____.14.已知函数，当时，不等式的解集为_____；若0是的一个极值点，则的取值范围是_____.15.已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论:①不存在数列与，使得是递减数列；②存在数列与，使得是递增数列；③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项；④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项.其中正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，内角的对边分别为，已知不是直角三角形，且角为锐角，，．（1）求角；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．（1）估计A校高二年级学生该题作答正确的概率；（2）从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望；（3）假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为40%（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，A校学生作答正确的概率为100%，B校学生作答正确的概率为75%．设A，B两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小．（结论不要求证明）18.如图，四边形、均为直角梯形，，，，且．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.已知椭圆：的离心率为，长轴长为4．过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求；（3）求的面积的最大值．20.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线为轴，求的值:（2）函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1.21.已知为各项均为整数的无穷递增数列，且.对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.（1）若，，写出的所有可能值；（2）若.①当时，求的最大值；②当时，求的最小值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号12345678910答案ABCBDCBDDA第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.【答案】根据题意可得如下不等式组，解得且.所以函数的定义域为.故答案为：.12.【答案】由结合正弦定理可得，因为、，所以，故，故为锐角，且，故，所以，因为，则，若，由于正弦函数在上为增函数，故，故；若，则，可得，综上所述，或.命题“若，则是直角三角形”为假命题，则，故可取，（答案不唯一）.故答案为：；（答案不唯一，只需满足即可）.13.【答案】由题可得，则的最小值为的最小值，设为d，则.故答案为：14.【答案】第一空：当时，，当时，由，得，所以，解得，所以；当时，由，得，所以，解得，所以；综上所述：不等式的解集为；第二空：当时，在上单调递减，在上单调递增，若0是的一个极值点，则是极大值，所以，解得，所以，当时，在上为常数函数，在上单调递增，故0不是的一个极值点，当时，在上单调递增，在上单调递增，若0是的一个极值点，则是极小值，所以，解得，又，所以；综上所述：所以的取值范围是.故答案为：①；②.15.【答案】因为等差数列与等比数列都是无穷递增数列，则，则，所以数列是递增数列，不存在数列与，使得是递减数列，①正确；设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则，显然可以成立，如当时，即，所以存在数列与，使得是递增数列，②正确；由①数列是递增数列，所以最小项为，由等差数列性质，若恒成立，则由等比数列是无穷递增数列得，则一定存在，使得，则当时，，则有无穷个正项和有限个负项，所以不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项，③正确；因为为一次型函数增长模型，为指数型增长模型，由一次函数与指数函数图像特征可知，一次函数与指数函数至多只有两个交点，所以不存在数列与，使得恰好出现三个为1的项，④错误.故答案为：①②③三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由二倍角公式可得，即，所以或.在中，由解得.因为不是直角三角形，所以舍去.当时，在中，由正弦定理可得，解得，因为角为锐角，所以；（2）选择条件①时，，由（1）知，在中，由余弦定理可得，即，即，解得或，所以不唯一，不合题意，舍去；选择条件②时，由，可知为钝角，所以唯一，符合题意.此时，代入中，可得，解得.在中，由（1）知，因为，所以.所以；选择条件③时，，由（1）知，，则，解得.在中，由余弦定理可得，即，即，解得或（舍去），所以唯一，符合题意.此时.17.【答案】（1）估计A校高二年级学生该题作答正确的概率.（2）设A为“从A校高二年级学生抽取1人做对”，则，，设为“从校高二年级学生抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故，依题可知，可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）设为“A校掌握这个知识点的学生做该题”，因为A校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，未掌握该概念的学生作答正确的概率为40%，故，即，故，同理有，，故，故.18.【答案】（1）因为且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为，，所以两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，则，设，则，设，则，解得，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线和平面所成角的正弦值为，则，平方化简得，解得，综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时.19.【答案】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：.（2）当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立消去得，，由，解得，设，，，解得，所以．（3）当直线AB的斜率不存在时，此时三点共线，不合要求，舍去，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立消去得，，由，解得，设，，设，则，，当且仅当，即时等号成立，即，解得时取等号，满足，所以的面积最大为.20.【答案】（1）函数求导，由题意，曲线在处的切线为轴，则，即，令，易知，则在上单调递增，在上单调递减，所以，即只有一个解，得；（2）曲线与的交点满足，化简得，则或即，不妨令交点，则.直线的斜率为，由上可知，所以，令，则，故，于是.21.【答案】（1）或，当时，因为，符合条件；则或或或，又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或.当时，则或或或，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去，综上，的所有可能值为7，9，15，17．（2）①的最大值为1013，理由如下：（i）当时符合题意且．（ii）假设中存在偶数，且首个偶数为，因为为递增数列，所以存在，使得或，进而有．所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾．所以中各项均为正奇数，又因为为递增数