2025北京潞河中学高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京潞河中学高三12月月考数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小題，每小题4分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（）A. B. C. D.3.已知向量的夹角为锐角，且满足，则向量的模长可以为（）A. B.2 C.2 D.34.设，则（）A.-2 B.-1 C.0 D.15.记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（）A. B. C. D.6.在中，角的对边分别是，若，则（）A.2 B.3 C. D.7.已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（）A. B. C. D.8.已知非零实数，满足，则“”是“，均为正数”的（）A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件9.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源，如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（）A. B. C. D.10.若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（）A.存在等差数列，使得是的“M数列”B.存在等比数列，使得是的“M数列”C.存在等差数列，使得是的“M数列”D.存在等比数列，使得是的“M数列”第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为__________．12.已知矩形，，，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为____________．13.已知为第四象限角，命题存在，且，使．能说明p为真命题的一组的值为__________，_________．14.已知函数，当时，函数的值域为_____；若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是____________.15.已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有__________.①曲线关于点对称；②曲线所围成的图形面积小于3；③点的纵坐标的取值范围为；④线段长度的最小值为1.三、解答题：共6小题，共85分、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.如图,在四棱锥中,平面,,正方形的对角线交于点O．（1）求证:平面PAC;（2）求二面角的余弦值．17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求m的取值范围.18.在中，，.（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：求的面积.条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点．（1）求的方程；（2）过点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于．若，求直线的斜率．20.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的两个零点为，求证：.21.记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合.（1）当时，写出集合；对于，写出；（2）当时，如果，求的最小值；（3）求证：.（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小題，每小题4分，共40分.题号12345678910答案BDCADABCAC第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】对于函数，有，解得.故函数的定义域为.故答案为：.12.【答案】因为，为焦点，所以，解得，因为是矩形，所以为直角三角形，，又因为在双曲线上，所以，解得，所以故答案为：13.【答案】因为命题存在，且，使为真命题，则可取，此时，所以能说明p为真命题的一组的值为.故答案为：；.（答案不唯一）14.【答案】当时，，若，则，即；若，则，即，综上可得，函数的值域为；因为增函数，最多只有一个零点，而最多可有两个零点，由函数恰有两个零点可分为两种情况：①当时，有一个零点，且时，也只有一个零点，由在有1个零点，可得；而在上只有一个零点，当时，显然不合题意；当时，则需使，即.综上可得；②当时，没有零点，且时，有两个零点，由在上没有零点，可得；而在上有两个零点，即.综上可得.故实数的取值范围为.故答案为：；.15.【答案】①，当时，，当时，，，无解.当时，，解得或，所以曲线过点，这两点不关于对称，所以①错误.③，对于，由于，所以，，，当时，，，所以无解.当时，，解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③正确.②，由③可得，故曲线即为，整理得，当时，，故关于的方程有一正一负两个解，设，则，，而，故，故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方，而曲线关于轴对称，故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方，而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为，故曲线所围成的图形面积大于3，故②错误.④，设，其中，，由于，所以，所以，所以，所以线段长度的最小值为1，此时，所以④正确.故答案为：③④三、解答题：共6小题，共85分、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）解:由题知平面,,正方形,,平面,平面,平面.（2）由题知平面,为正方形,以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系如图所示:不妨设,,,,记平面法向量为,,即,不妨取,则,平面,平面法向量为,,由图可知二面角的大小为钝角,故二面角的余弦值为.17.【答案】（1）由图象可知，，，得，当时，，，得，，因为，所以，所以，令，，得，，所以函数的单调递增区间是，；（2），当时，，则，若不等方式对任意成立，则，得.18.【答案】（1）在中，，，由正弦定理得.（2）依题意，，由正弦定理得.选①，，则，三角形不存在，不符合题意.选②，，则，，则为锐角，且.由得，解得，所以，故，此时三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.选③，，由正弦定理得，由于，，所以，则，则为锐角，且.由余弦定理得，即，得，故，所以，故，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.所以.19.【答案】（1）设的方程为且，将两点代入得，解得，故的方程为．（2）依题意，设直线，联立，消去整理得，则，即，且．直线，直线，令，则，令，则，由，得，即，整理得，因为，所以，解得，所以直线的斜率为．20.【答案】（1）当时，，所以，所以，所以切线方程为：；（2）所以，当时，由，所以单调增区间为，单调减区间为；（3）当时，，由（2）有单调增区间为，单调减区间为，又，所以是的一个零点，不妨设，要证，只需证，又因为，且在上单调递减，从而只需证即可，又，令，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.21.【答案】（1）；若