2025北京密云二中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京密云二中高三10月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合则（）A. B. C. D.2.设，且，则（）A. B. C. D.3.下列求导运算中错误的是（）A. B.C. D.4.函数的零点所在区间为（）．A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则（）A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数7.已知，，，则这三个数的大小关系为（）A. B.C. D.8.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）（参考数据：）A. B. C.6min D.10.已知数列满足，且．给出下列四个结论：①；②；③，当时，；④，，当时，．其中所有正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是______．12.若，是第二象限的角，则______，______．13.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为______升．14.在中，，，，则______，的面积为______．15.函数，其中满足且．给出下列四个结论：①当时，的值域为；②当时，恰有三个零点；③若存在最大值，则的取值范围是；④若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.设是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求．17.已知函数.（1）求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围.条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：对任意的，都有成立.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知函数．（1）若，求的最小值；（2）当时，求的单调区间．19.如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足．（1）求仓库到值班室的距离；（2）保安甲沿从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？20.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，（ⅰ）求的极值点；（ⅱ）设函数，证明：．21.设数列，如果，且，对于，，使成立，则称数列A为数列．（1）分别判断数列1，3，5，7和数列2，4，6，8是否是数列（只需写出结论）；（2）若数列A是数列，且，求的最小值；（3）若数列A是数列，且，求的最大值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910BCCCBCDABB二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】令，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：.12.【答案】因为，是第二象限的角，所以，所以，，所以，故答案为：；.13.【答案】由题意竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，且只有，，，，，，共项，因为，，所以，又因为，解得.故答案为：.14.【答案】在中，，，，由正弦定理得出，所以，则或，所以的面积为．故答案为：或；15.【答案】对于①：当时，当时，，单调递增，值域为，当时，，为开口向下且对称轴为的抛物线，所以当时，，即值域为.综上，的值域为，故①正确；对于②：当时，当时，，令，解析，不在范围内，故该段无零点.当时，，令，解得或6，均在范围内，故该段有2个零点，综上，当时，恰有2个零点，故②错误；对于③：当时，当时，，单调递减，无最大值；当时，当，，单调递增，最大值为，当，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以存在最大值，满足题意；当时，当，在上单调递增，所以，当，在上单调递减，则，且，所以此时无最大值.同理，结合的单调性与图象可得，当时，无最大值，当时，，此时存在最大值为1，当时，存在最大值为，满足题意，综上，若存在最大值，则的取值范围是，故③正确：对于④：若存在三个互不相等实数，使得，可转换为与图象有三个不同的交点，不妨设，，当时，如图所示，当时，函数与图象有三个不同的交点，且，即，所以满足题意，当时，且，结合图象可得：当时，函数与图象有三个不同的交点，但，，此时，不满足题意，当时，函数与图象有三个不同的交点，且，，所以满足题意，当时，，且，作图可得当时，函数与图象有三个不同的交点，但，，此时，不满足题意，当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意，综上，的取值范围是，故④正确；故答案为：①③④三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）设为首项为，公比为，则依题意，，解得或，因为，所以，故,所以的通项公式为；（2）因为，所以17.【答案】（1）因为，所以，所以.（2）对于条件①：在上是单调函数，因为在上是单调函数，所以，所以，又因为，解得，因为，解得，所以函数的单调单调递增区间为：，若函数在上单调递增，则，整理有，当时，，解得，当时，无解，得其他值时不等式无解；因为，解得，所以函数的单调单调递减区间为：，若函数在上单调递减，则，整理有，当时，，解得，当时，无解，得其他值时不等式无解；对于条件②：图象的一个对称中心为，因为，解得，所以函数的对称中心为，若是图象的一个对称中心，则，解得；对于条件③：对任意的，都有成立，则时，函数取得最大值，有，解得；若选条件①②，则有，方程无解，或，时，，所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得；若选条件①③，则有有，方程无解，或，时，，所以，因为，所以，因为在区间上仅有一个零点，所以，，解得；若选条件②③，则有，即，方程解不唯一，此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求.18.【答案】（1）时，，定义域为R，，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为；（2）的定义域为R，，时，令得或，若，，故，的单调递增区间为R，无单调递减区间；若，，令得或，令得，故的单调递增区间为，，单调递减区间为；若，，令得或，令得，故单调递增区间为，，单调递减区间为；综上，若，的单调递增区间为R，无单调递减区间；若，的单调递增区间为，，单调递减区间为；若，单调递增区间为，，单调递减区间为.19.【答案】（1）是直角三角形，且，则，，又，在中，；（2）设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为，乙在线段上的位置为，则，且，由（1）可知：，在中，由余弦定理可知：，即：，若甲乙不能通话，则，即，解得或，又，故不能通话的时间为小时.20.【答案】（1）因为，所以，求导得.所以，又，所以切线方程为，即.（2）（i）因为，所以，所以，令，则，解得.令，求导得.因为，所以，所以在上单调递减，且.所以在上大于0，在上小于0，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上取极大值，所以极大值点为.（ii），那么且，当时，，此时，即证.当时，，此时，即证.综上，只需证明在且上恒成立，令，则.当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，故得证.21.【答案】（1）是数列．因为，，，所以是数列.不是数列．因为，所以不是数列．（2）首先证明不能为．假设，由数列为数列知，．所以，与已知矛盾，故假设不成立．所以不能为．因为数列：满足，，此时是数列，所以的最小值为.（3）（i）以下证明：若为奇数，则必为奇数．假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，因为数列是数列，所以，使．因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶