2025北京平谷五中高三10月考数学试题及答案

高中2025北京平谷五中高三10月考数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知向量满足，则（）A. B.0 C.5 D.75.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.7.在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（）A. B. C. D.8.已知正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（）A. B. C. D.10.数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论：①存在正整数，使得；②存在正整数，使得；③记，则数列有最大项和最小项.其中正确结论的个数是（

）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共25分.11.函数的定义域为___________________12.已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为________．13.已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________，_________．14.设函数①若，则函数的零点个数有________个.②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________.15.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.设函数．（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：函数的图象经过点；条件②：时，的值域是；条件③：是的一条对称轴．17.某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求的面积；（2）求点之间的距离．18.已知函数（）在处取得极小值.（1）求a的值，并求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.19.如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．20.已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．21.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．（1）求的方程；（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.12345678910DACCDABABA二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共25分.11.【答案】根据题意，可知，解得，故定义域为.12.【答案】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，因为，，当时，，即不等式的解集为；故答案为：13.【答案】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则.不妨取，即满足题意.故答案为：.14.【答案】①，当时，，由解得；由，解得或.综上所述，的零点个数有个.②，当时，在区间上单调递增，值域为，无最值.当时，，开口向上，对称轴为，，当时，，则，①，的开口向上，对称轴为，，则①不成立.当时，，则，解得.综上所述，.故答案为：；15.【答案】①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于，故①错误；②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）因为，所以．因为，所以．（2）选①，∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；选②，因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，所以，.此时，由三角函数的性质可得，故．因为，所以.选③，因为在区间上单调递减，所以，即，解得．因为是的一条对称轴，所以.所以，即，解得.由，可知.17.【答案】（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面积为．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即点C，D之间的距离为．18.【答案】（1），由题意得，解得，，定义域为R，，令得或，令得，故单调递增区间为，单调递减区间为，此时函数在处取得极小值，满足题意；（2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，又，其中，故在区间上的最小值为1，综上，在区间上的最大值为，最小值为1.19.【答案】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC，E为AC的中点，．∴AC⊥BE，而，∴AC⊥平面BEF．（2）［方法一］：【通性通法】向量法由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-1，c=-4，∴平面BCD的一个法向量，又∵平面CDC1的一个法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．［方法二］：【最优解】转化＋面积射影法考虑到二面角与二面角互补，设二面角为，易知，，所以．故．［方法三］：转化＋三垂线法二面角与二面角互补，并设二面角为，易知平面．如图3，作，垂足为H，联结．则是二面角的平面角，所以，不难求出，所以二面角的余弦值为．（3）［方法一］：【最优解】【通性通法】向量法平面BCD的一个法向量为，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．［方法二］：几何转化如图4，取的中点，分别在取点N，M，使．联结．则平面平面，又平面，平面，故直线与平面相交．［方法三］：根据相交的平面定义如图5，设与交于P，联结．因为，且，所以四点共面．因为，所以．又，所以四边形是梯形，即直线与直线一定相交．因为平面，所以直线与平面相交．【整体点评】（2）方法一：直接利用向量法求出，属于通性通法；方法二：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用面积射影法求出，是该问的最优解；方法三：根据二面角与二面角互补，通过转化求二面角，利用三垂线法求出；（3）方法一：利用向量证明平面的法向量与直线的方向向量不垂直即可，既是该问的通性通法，也是最优解；方法二：通过证明与平面平行的平面与直线相交证出；方法三：构建过直线且与平面相交的平面，通过证明直线与交线相交证出．20.【答案】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）[方法一]：导数法显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.[方法二]【最优解】：换元加导数法．因为为偶函数，不妨设，，令，则．令，则面积为，只需求出的最小值．．因为，所以令，得．随着a的变化，的变化情况如下表：a0减极小值增所以．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，当且仅当，即时取等号．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础