2022年高二数学建模高频考点母题及配套答案

2022年高二数学建模高频考点母题及配套答案

一、单项选择题，20分1.在建立人口阻滞增长模型时，若环境容纳量为K，内禀增长率为r，则Logistic微分方程的解曲线出现拐点时的人口数量为A.0.5KB.0.25KC.0.75KD.K2.用最小二乘法拟合直线y=ax+b时，若所有样本点横坐标均增加常数c，则新斜率a′与原斜率a的关系为A.a′=a+cB.a′=a−cC.a′=aD.a′=a/c3.在层次分析法(AHP)中，若3阶正互反矩阵的最大特征根λmax=3.05，则一致性比率CR约为(RI=0.58)A.0.043B.0.086C.0.129D.0.1724.对同一组数据分别用指数模型y=ae^bx与幂模型y=ax^b拟合，若决定系数R²相同，则两模型残差平方和A.必相等B.指数模型大C.幂模型大D.无法确定5.在传染病SIR模型中，若基本再生数R0<1，则疾病发展趋势为A.迅速爆发B.逐渐消亡C.周期性流行D.呈地方病状态6.用蒙特卡罗方法估算单位圆面积时，若随机投点总数为N，落入圆内点数为M，则面积估计值方差与N的关系为A.∝1/NB.∝1/√NC.∝√ND.与N无关7.在线性规划灵敏度分析中，若某约束右端项增加1单位且影子价格为正，则最优目标值将A.不变B.减少C.增加D.先增后减8.对时间序列做一阶差分后仍呈现明显季节波动，说明原序列A.仅含趋势B.仅含季节C.趋势加季节D.白噪声9.在灰色系统GM(1,1)建模中，若发展系数a∈(−2,0)，则系统预测行为呈A.指数增长B.指数衰减C.线性增长D.振荡发散10.用主成分分析降维时，若前两个主成分累计贡献率已达96%，则舍去其余成分后信息损失约为A.4%B.10%C.20%D.50%二、填空题，20分11.若线性回归残差呈现“漏斗形”扩散，说明误差方差存在________。12.在运输问题表上作业法中，若某空格检验数为−3，则若让该空格进基，可使总运费下降________单位。13.对Logistic映射x_{n+1}=rx_n(1−x_n)，当r=3.5时系统进入________周期。14.用指数平滑法预测时，若平滑系数α=0.8，则最新观测值权重为________。15.在排队论M/M/1模型中，若到达率λ=6人/小时，服务率μ=10人/小时，则系统空闲概率P0=________。16.若某网络图关键路线长为45天，活动(3,5)总时差为5天，则该活动最迟完成时间为第________天。17.对原始数据做标准化处理后，新数据的均值为________，方差为________。18.在整数规划中，若用分支定界法得到某节点目标值上界为120，已知全局下界为115，则该节点________被剪支。19.用马尔可夫链预测市场占有率时，若转移矩阵P为正规矩阵，则极限分布与初始分布________(填“有关”或“无关”)。20.在数据包络分析DEA中，若某决策单元效率值为1且所有松弛变量均为0，则称该单元________有效。三、判断题，20分21.线性回归中，若解释变量与误差项相关，则OLS估计仍无偏。22.对同一组数据，三次样条插值必比多项式插值龙格现象更轻。23.在0-1规划中，若松弛问题最优解全为整数，则该解也是原问题最优解。24.系统动力学模型中，负因果环必导致系统振荡。25.若时间序列自相关系数r1≈0，则序列必为白噪声。26.用遗传算法求解TSP时，交叉算子设计必须保证子代为合法路径。27.在聚类分析中，欧氏距离对量纲不敏感，无需标准化。28.对偶单纯形法在初始解不可行但满足最优检验时可直接使用。29.若灰色预测模型级比σ(k)全部落入可行区间，则可直接建立GM(1,1)。30.在Bootstrap抽样中，样本量必须等于原样本量才能保证估计无偏。四、简答题，20分31.简述建立Logistic人口模型时确定环境容纳量K的三种常用数据方法。32.说明在AHP中引入一致性检验的必要性，并给出CR<0.1的统计依据。33.概括蒙特卡罗积分估计π的基本步骤，并指出其精度与样本量的关系。34.解释SIR模型中“阈值现象”的含义，并给出其公共卫生启示。五、讨论题，20分35.某市共享单车投放量逐年增加，但用户增速放缓，试构建一个带饱和因子的微分方程模型，讨论平衡点的存在性与稳定性，并给出企业投放策略建议。36.对比主成分分析与因子分析在降维思想、数学模型、解释能力三方面的异同，结合学生成绩数据说明何时选用何种方法。37.某电商平台欲预测“双十一”当天GMV，现有历年日销量、促销力度、搜索指数三类数据，讨论如何构建混合时间序列-回归模型，并评估模型过拟合风险。38.在新冠疫情预测中，经典SEIR模型假设常数参数，但实际中传播率随政策变化，试设计一种分段函数或控制变量方式改进模型，并讨论参数辨识的可行性与数据需求。答案与解析一、1A2C3A4A5B6A7C8C9B10A二、11.异方差12.313.414.0.815.0.416.5017.0；118.不会19.无关20.强三、21F22T23T24F25F26T27F28T29T30F四、31.方法一：取历史最大人口观测值作为初估，再用模型回代修正；方法二：利用生态承载力指标如耕地、水资源换算；方法三：作1/P对时间t线性外推，当1/P→0对应的P即为K估计。三种方法均需残差检验与灵敏度分析。32.判断矩阵由专家两两比较获得，受主观影响易出现逻辑矛盾；一致性检验通过CI=(λmax−n)/(n−1)与随机指标RI比较，当CR=CI/RI<0.1时认为矩阵具有可接受一致性，其阈值0.1源于大量随机矩阵模拟的95%分位。33.步骤：1.在单位正方形内均匀投点N个；2.记录落入1/4圆内点数M；3.估计π≈4M/N。估计方差为π(4−π)/N，故误差以1/√N速度下降，需增加100倍样本才能提高1位精度。34.当易感人群比例S(0)低于阈值1/R0时，感染人数单调下降；反之则出现疫情爆发。该现象提示公共卫生可通过提高免疫率使有效再生数<1，从而不依赖全面封控即可控制疫情。五、35.设用户量N(t)，饱和量K，内禀增长率r，投放率u(t)，模型dN/dt=rN(1−N/K)−δN+u(t)。平衡点N=K(r−δ+u/K)/r，稳定性由雅可比系数−(r−δ)判断，若r<δ则稳定。企业策略：当N接近K时降低u，避免过度投放；同时通过提高运维效率降低δ，提高有效K。36.相同：均通过线性变换降维；差异：主成分求方差最大方向，因子分析求公共因子解释协方差；主成分无假设，因子分析假定潜在因子。成绩数据若只为压缩变量用主成分；若需解释“理科因子”“文科因子”则用因子分析。37.先对日销量做STL分解得趋势、季节、残差；将趋势作为因变量，促销力度、搜索指数及滞后项为自变量建多元回归；再把预测趋势与固定季节成分相加得GMV。过拟合风险用滚动窗