2027届高三数学一轮复习课件：第四章　4.2　三角恒等变换

第四章三角函数与解三角形4.2三角恒等变换知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(Sα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;(Cα+β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(Cα-β)tan(α+β)=

;(Tα+β)tan(α-β)=

.(Tα-β)2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α)tan2α=

.(T2α)3.半角公式sin

=±

;cos

=±

;tan

=±

.4.辅助角公式asinα+bcosα=

sin(α+φ),其中cosφ=

,sinφ=

.5.降幂公式sin2α=

;cos2α=

.6.升幂公式1+cosα=2cos2

;1-cosα=2sin2

.7.公式的常用变形tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);tanαtanβ=1-

=

-1;sinαcosα=

sin2α.8.万能公式sinα=

;cosα=

;tanα=

.9.其他常用变形tan

=

=

.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)存在α,β的值,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

()(2)对于任意的α∈R,sin

=

sinα都不成立.()

✕

√

2.

=_______.

-2

3.已知A+B=45°,则(1+tanA)(1+tanB)=_________.

2

4.已知α为第一象限角,cosα=

,则tan

=_________.5.将

cosx-sinx化成Acos(ωx+φ)

的形式为_____________.

2cos 

考点清单考点三角恒等变换角度1三角函数式的化简典例1

(2025届浙江宁波鄞州中学适应性考试,3)已知α为锐角,且sinβcos(α-β)-cosβsin(β-α)=

,则tan

=

()A.

B.

C.

D.

B

解析

解法一

sinβcos(α-β)-cosβsin(β-α)=sinβcos(α-β)+cosβsin(α-β)=sinα=

,由α是锐角,得cosα=

=

,所以tan

=

=

=

.【tan

=

=

=

】故选B.解法二由解法一知sinα=

,cosα=

,所以tanα=

=

,即tanα=

=

【二倍角公式】,因为α为锐角,所以tan

=

.解题技巧

1.三角函数式的化简原则

2.化简方法(1)异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化.(2)“1”的代换,三角公式的正用、逆用.变式训练1.(设问条件变式)(2025届广东茂名高州二模,5)若tan

+

=3,则sin4α=()A.

B.-

C.-

D.-

C

解析因为tan

+

=3,所以

+

=3,【切化弦】所以

=3,所以sin

cos

=

,所以sin

=

,【二倍角的正弦公式的逆用】所以sin4α=-cos

=-1+2sin2

=-1+

=-

.故选C.角度2三角函数的求值典例2

(给角求值)(2026届湖北襄阳四中综合测试,4)sin40°(tan10°-

)=

()A.2

B.-2

C.1

D.-1

D

解析

sin40°(tan10°-

)=sin40°

=sin40°·

=

=

=

=-

=-

=-1.方法总结给角求值的常用方法1.利用诱导公式或三角恒等变换化为特殊角的三角函数值求解.2.化为正负相消的项,消去求值.3.化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值.变式训练2.(关键元素变式)(2026届江苏南京二十九中开学考,13)若

-

=4,则λ=_________.解析由

-

=4,可得

=

-4,所以λ=

=

=

=

=

=

=

.【结合特殊角和分子、分母中出现公约数,约分求值】典例3

(给值求值)(2026届山西大学附中模块检测,7)已知sin

=

+cosα,则cos

=()A.-

B.

C.-

D.

B

解析因为sin

=

+cosα,则

sinα+

cosα=

+cosα,即

sinα-

cosα=

,【辅助角公式的应用】所以sin

=

,则cos

=cos

=1-2sin2

=1-2×

=

.故选B.解题技巧解给值求值问题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把待

求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意角的范围的讨论.变式训练3.(关键元素变式)(2026届福建百校联考,8)已知α,β均为锐角,tanβ=

,sin(α-β)=

,则cos(α+β)=()A.

B.

C.-

D.-

B

解析由题易得tan2β=

=

=

,因为β为锐角,所以sin2β=

,cos2β=

,又α为锐角且sin(α-β)=

,所以(α-β)为锐角,所以cos(α-β)=

=

,所以cos(α+β)=cos(α-β+2β)=cos(α-β)·cos2β-sin(α-β)sin2β=

×

-

×

=

,故选B.典例4(给值求角)(2026届安徽江淮十校联考(一),13)若α∈

,β∈

且cos(α+β)=-

,tanα=3-2

,则2α+β的值为_________.解析因为α∈

,又tanα=3-2

<

,所以α∈

,又β∈

,所以α+β∈

,又cos(α+β)=-

>-

,故α+β∈

,所以sin(α+β)=

=

=

,得到tan(α+β)=

=-

,又tanα=3-2

,所以tan(2α+β)=

=

=-1,又2α+β∈

,所以2α+β=

.解题技巧“给值求角”问题实质上可转化为“给值求值”问题,先计算所求角的某

一三角函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角.变式训练4.(关键元素变式)(2025届重庆十一中第7次检测,5)设tanα,tanβ是方程x2+6

x+7=0的两根,且α,β∈

,则α+β=

()A.

B.-

C.

或-

D.

B

解析因为tanα,tanβ是方程x2+6

x+7=0的两根,所以tanα+tanβ=-6

,tanαtanβ=7,所以tanα<0,tanβ<0,因为α,β