2027届高三数学一轮复习课件：第一章　1.2　常用逻辑用语

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.2常用逻辑用语知识清单考点清单目录CONTENTS知识点1充分条件与必要条件记p,q对应的集合分别为A,B,则:p是q的充分条件p⇒qA⊆Bp是q的必要条件q⇒pA⊇Bp是q的充要条件p⇔qA=Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pA⫋Bp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pA⫌Bp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/pA⊈B且A⊉B知识清单知识点2含有量词的命题1.全称量词命题及其否定与存在量词命题及其否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断命题真假∀x∈M,p(x)集合M中的所有x,均使p(x)成立集合M中有1个x,使p(x)不成立∃x∈M,p(x)集合M中有1个x,使p(x)成立集合M中的所有x,均使p(x)不成立注意

p和¬p的真假相反.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)当0<a<1时,ax2+2ax+1>0的解集是实数集.

()(2)“x>0”是“x>1”的充分条件.

()(3)命题p:∀n∈N,

≥1的否定¬p为∃n∈N,

<1.

()(4)“两个三角形中有两边及其中一边的对角分别相等”是“两个三角形全等”的充

要条件.

()

✕

√

✕

√

2.(人教A版必修第一册P22习题T2改编)设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈

M”是“a∈N”的_______条件.(填“充分”“必要”或“充要”)必要

3.(人教A版必修第一册P31习题T3改编)命题p:∃x∈R,x2+2x+5=0是________________

(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它的否定为______________________.

∀x∈R,x2+2x+5≠0

存在量词命题

4.已知命题p:∀a∈R,一元二次方程x2-ax+1=0有实根,则命题p是______命题(填“真”

或“假”),命题p的否定是_____________________________________.

∃a∈R,一元二次方程x2-ax+1=0没有实根

假

5.(易错题)命题“∀x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4<0”为真命题,则实数a的取值范围是______

________.(-2,2]

考点清单考点1充分条件与必要条件角度1充分、必要条件的判断典例1

(2025届湖北黄冈三模,3)给出条件p:△ABC的三边既成等差数列又成等比数

列;q:△ABC为正三角形,则p是q的

()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

C

解析

定义法设△ABC的三边分别为a,b,c.若△ABC的三边既成等差数列又成等比数列,则2b=a+c,b2=ac,∴

=ac,整理得a=c,∴a=c=b,则△ABC是等边三角形,即p是q的充分条件.若△ABC为正三角形,则a=b=c.所以b-a=c-b=0,满足等差数列的定义;又因为a=b=c>0,所以

=

=1,满足等比数列的定义,即p是q的必要条件.所以p是q的充分必要条件,故选C.方法总结充分、必要条件判断的两种方法1.定义法,判断充分条件、必要条件最根本的方法.2.集合法,适用于所要判断的命题与方程的根、不等式的解集相关,或所描述的对象可

以用集合表示的情况.变式训练1.(关键元素变式)(2026届辽宁省重点中学期初考试,3)若p:

≥0,q:x2-5x+6<0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

解析

集合法由

≥0得

≤0,即(x-3)(x-2)≤0且x-2≠0,解得2<x≤3,令A={x|2<x≤3}.由x2-5x+6=(x-2)·(x-3)<0得2<x<3,令B={x|2<x<3},因为B⫋A,所以p是q的必要不充

分条件.【小范围能推大范围】角度2已知充分、必要条件求参数范围典例2

(2025届河南开封等地模拟预测,13)已知p:|2-3x|≤7;q:x2-4x+4-9m2≤0(m>0),若q

是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是_________.解析由p:|2-3x|≤7可得-7≤2-3x≤7,即-

≤x≤3,由q:x2-4x+4-9m2≤0(m>0)可得(x-2)2≤9m2(m>0),即-3m+2≤x≤3m+2(m>0),因为q是p的充分不必要条件,所以[-3m+2,3m+2]⫋

,所以

或

解得0<m≤

.技巧点拨求参数范围需抓住两个关键(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.变式训练2.(关键元素变式)设命题p:|4x-3|≤1,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不

充分条件,则实数a的取值范围是()A.

B.(-∞,0]∪

C.

D.(-∞,0)∪

A

解析设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}.解|4x-3|≤1,得

≤x≤1,故A=

.解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B={x|a≤x≤a+1}.解法一¬p对应的集合为∁RA=

x

x<

或x>1

,¬q对应的集合为∁RB={x|x<a或x>a+1}.由¬p是¬q的必要不充分条件,知∁RB⫋∁RA,∴

或

解得0≤a≤

.故实数a的取值范围是

.解法二由¬p是¬q的必要不充分条件,知p是q的充分不必要条件,得A⫋B,∴

或

解得0≤a≤

.故实数a的取值范围是

.考点2含有量词的命题角度1命题的否定典例3

(2026届辽宁名校联盟联考,1)命题:∃x∈

,sinx+cosx<1的否定为

(

)A.∃x∉

,sinx+cosx<1B.∃x∉

,sinx+cosx≥1C.∀x∈

,sinx+cosx<1D.∀x∈

,sinx+cosx≥1

D解析根据存在量词命题的否定是全称量词命题,同时否定结论,得命题:∃x∈

,sinx+cosx<1的否定为∀x∈

,sinx+cosx≥1.故选D.角度2含有量词的命题的真假典例4

(多选)下列四个命题中为真命题的是(

)A.∀x∈R,2x-1>0

B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lgx<1

D.∃x∈R,tanx=2

ACD

解析对于A,由指数函数的图象和性质可得2x-1>0,正确;对于B,当x=1时,(x-1)2=0,错误;对于C,当0<x<10时,lgx<1,正确;对于D,当x∈

时,tanx∈[0,+∞),故存在x∈R,使得tanx=2,正确.方法总结全称(存在)量词命题真假的判断方法1.判断全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p

(x)成立;要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在集合M中找到一个x,使p

(x)成立即可.2.因为命题p和¬p的真假性相反,所以当直接判断一个命题的真假有困难时,可以先判断

此命题的否定的真假.变式训练3.(关键元素变式)下列四个命题中,是假命题的为()A.∃x>1,x+

≥2

B.∃x>-1,

>2-xC.∀x≥2,

+

≥2

D.∀x<0,x+

<-2

D

解析当x>1时,x+

>2;x>-1时,

+x+1≥4,∴

≥3-x≥2-x;∀x≥2,

+

≥2

,当且仅当x=2时,等号成立;∀x<0,x+

=-

≤-2

=-2,当且仅当x=-1时,等号成立.故选D.角度3含有量词的命题的应用典例5若“∃x∈

,2x2-λx-1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为__________.

(-∞,-1]解析第一步:根据命题为假,得命题的否定为真,所以应先写出命题的否定.若“∃x∈

,2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈

,2x2-λx-1≥0成立”是真命题.第二步:将问题转化为不等式恒成立问题进行求解.由于x∈

,所以λ≤

=2x-

在x∈

上恒成立,则λ≤

,令f(x)=2x-

,x∈

,易得函数f(x)=2x-

在

上单调递增,因此f(x)min=f

=-1,则λ≤-1.解题技巧将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函

数最值等问题,从而根据函数的性质、不等式的有关知识等求解.变式训练4.(关键元素变式)(多选)命题“∀x∈R,2kx2+kx-

<0”为真命题的一个充分不必要条件是

(

)A.k∈(-3,0)

B.k∈(-3,0]C.k∈(-3,-1)

D.k∈(-3,+∞)

AC

解析因为∀x∈R,2kx2+kx-

<0为真命题,