2027届高三数学一轮复习课件：第一章　1.4　基本不等式

第一章集合、常用逻辑用语与不等式1.4基本不等式知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点基本不等式1.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件

≤

a>0,b>0a=b其中

为正数a,b的算术平均数,

为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)

+

≥2(a,b同号).(3)ab≤

(a,b∈R).(4)

≥

≥

≥

(a,b为正实数,当且仅当a=b时等号成立).3.基本不等式与最值已知x>0,

y>0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2

(简记:积定和最小).(2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值

(简记:和定积最大).即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)当x>2时,

+

≥2

.

()(2)若x>0,y>0,则lgx+lgy≥2

.

()(3)函数y=x+

的最小值是2.

()(4)x2+2+

(x∈R)的最小值是2.

()

✕

✕

✕

√

2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是()A.4

B.4

C.9

D.18

D

3.(人教A版必修第一册P49习题T5改编)已知x>0,则2+3x+

的最小值是____________.

2+4 

考点清单考点1利用基本不等式求最值角度1直接法典例1

(求和的最值)(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则

+

+b的最小值为__________.

2 

解析

解法一

(两次利用基本不等式,先消去a,再消去b)因为a>0,b>0,所以

+

+b≥2

+b=

+b≥2

=2

,当且仅当

即a=b=

时等号成立,故

+

+b的最小值为2

.解法二

(n元均值不等式,拆项)∵a>0,b>0,∴

+

+b=

+

+

+

≥4

=2

,当且仅当

=

=

,即a=b=

时等号成立.故

+

+b的最小值为2

.知识拓展

n元均值不等式:

≥

,x1,x2,···,xn>0,当且仅当x1=x2=···=xn时等号成立.易错警示多次使用基本不等式解决同一问题时,要保证每次等号成立条件的一致性

和不等号方向的一致性.变式训练1.(求积的最值)已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为()A.

B.

C.

D.1

A

解析因为0<x<1,所以1-x>0,由基本不等式得x(1-x)≤

=

,当且仅当x=1-x,即x=

时,等号成立,故x(1-x)的最大值为

.故选A.角度2配凑法典例2

(凑配积为定值)当x<

时,函数y=x+

的最大值为_______.

- 

解析由x<

,得2x-3<0,则3-2x>0,则y=x+

=

(2x-3)+

+

=-

+

≤-2

+

=-

,当且仅当

=

,即x=-

时等号成立,即函数的最大值为-

.方法总结配凑是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值

或积为定值的形式.变式训练2.(凑配和为定值)已知0<x<

,则x(3-2x)取得最大值时x的值为

()A.

B.

C.

D.

D

解析∵0<x<

,∴3-2x>0,则由基本不等式得,x(3-2x)=

≤

=

,当且仅当2x=3-2x,即x=

时,等号成立,故x(3-2x)取得最大值时x的值为

.故选D.角度3常数代换法典例3

(“1”的代换)(2025届河南三模)若a>0,b>0,且a+b=1,则-

-

的最大值为

()A.-9

B.-7

C.-5

D.-3

A

解析因为a>0,b>0,且a+b=1,所以

+

=

(a+b)=5+

+

≥5+2

=9,当且仅当

=

,即a=

,b=

时等号成立,所以-

-

的最大值为-9.故选A.方法总结

1.常数代换法求解最值的基本步骤:(1)根据已知条件或其变形确定定值(常

数);(2)把确定的定值(常数)变形为“1”的表达式;(3)把“1”的表达式与所求最值的

表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.2.当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by)

(a,b,m,n为正常数,x,y为正数)的形式,利用(ax+by)

=am+bn+

+

≥am+bn+2

当且仅当

=

时等号成立

得到结果.变式训练3.(关键元素变式)(2025届福建泉州二模)若x≥0,y≥0,且

+

=1,则3x+4y的最小值为

()A.2

B.3

C.4

D.8

B

解析因为x≥0,y≥0,所以x+1≥1,2x+4y≥0,由题意知2x+4y≠0,则2x+4y>0,3x+4y=(3x+4y+1)-1=[(x+1)+(2x+4y)]

-1=2+

+

-1≥2+2

-1=3,当且仅当

即

时,等号成立,所以3x+4y的最小值是3.故选B.角度4消元法典例4已知正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则4x+3y的最小值为

()A.

B.

C.2

D.

C

解析因为正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则y=

-

,则4x+3y=4x+

-x=3x+

≥2

,当且仅当3x=

,即x=

时,等号成立,所以4x+3y的最小值为2

.故选C.变式训练4.(关键元素变式)已知正实数m,n满足mn=2,则

+

+

的最小值为

()A.2

B.3

C.3

D.4

C

解析由mn=2,得n=

,则

+

+

=

+m+

,设

+m=t,则t≥2,原式=t+

≥2

=3

,当且仅当t=

时等号成立,所以

+

+

的最小值为3

.故选C.5.(关键元素变式)(2025届云南玉溪期中)若正数a,b满足ab+a+b=8,则(a+1)2+(b+1)2的

最小值是

()A.15

B.18

C.24

D.36

B

解析由ab+a+b=8得b=

=-

=-1+

,0<a<8,则b+1=

,∴(a+1)2+(b+1)2=(a+1)2+

≥2(a+1)·

=18,当且仅当(a+1)2=

,即a=b=2时等号成立,所以(a+1)2+(b+1)2的最小值是18.故选B.方法总结当要求最值的代数式中的变量比较多时,通常可以利用已知条件消去部分

变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,再利用基本不等式求最值.考点2基本不等式的综合应用角度1与基本不等式有关的恒成立及有解问题典例5

(恒成立问题)(2025届吉林延边一模,4)已知正实数x,y满足x+y-

xy=0,且不等式x+y-a>0恒成立,则a的取值范围是

()A.(-∞,2)

B.(-∞,8)

C.(-∞,6)

D.(-∞,4)

B

解析因为正实数x,y满足x+y-

xy=0,所以

+

=

,则x+y=2(x+y)

=2

≥8,当且仅当x=y=4时取等号,因为不等式x+y-a>0恒成立,所以a<8.故选B.方法总结

常见不等式恒成立及有解问题的处理策略不等式恒成立及有解问题常常转化为函数的最值问题来处理,具体如下:(1)若对任意的x∈[m,n],a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max;若存在x∈[m,n],a>f(x)有解⇒a>f(x)min;若对任意的x∈[m,n],a>f(x)无解⇒a≤f(x)min.(2)若对任意的x∈[m,n],a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min;若存在x∈[m,n],a<f(x)有解⇒a<f(x)max;若对任意的x∈[m,n],a<f(x)无解⇒a≥f(x)max.变式训练6.(有解问题)两个正实数x,y满足

+

=1,若不等式x+

<m2+3m有解,则实数m的取值范围是____________________.

{m|m<-4或m>1}

解析由于x+

=

=2+

+

≥2+2

=4,当且仅当

=

,即y=4x=8时等号成立.若不等式x+

<m2+3m有解,则m2+3m>4,即m2+3m-4=(m+4)·(m-1)>0,解得m<-4或m>1.故m的取值范围是{m|m<-4或m>1}.角度2基本不等式的实际应用典例6如图所示,利用一堵长8m,高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空间

限制,仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2,仓库底面的建

造成本为600元/m2.整个仓库的建造成本预算为32400元,假设成本预算恰好用完,则仓

库的储物量(即容积)的最大值为__________m3.

36

解析设仓库的长为am,高为bm,则(3b+3b+ab)×900+3a×600=32400.即6b+ab+2a=36,其中0<a≤8,0<b≤3.因为6b+ab+2a=36≥4

+ab,即(

-2

)(

+6

)≤0,所以0<ab≤12,当且仅当a=3b=6时取等号,所以仓库的储物量为3ab≤36m3,即仓库的储物量的最大值为36m3.方法总结应用基本不等式解决实际问题的步骤1.仔细阅读题目,理解题意;2.分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量

表示为关于未知数的函数;3.应用基本不等式求出函数的最值;4.还原实际问题,写出答案.变式训练7.(情境模型变式)(2025届江苏无锡期中,4)一家货物公司计划租地建造仓库储存货

物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x

(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6km处建仓库,

则y2=4y1.要使这家公司的两项费用之和最小,则所建仓库与车站的距离为

()A.2km

B.3km

C.4km

D.5km

B

解析由题意设y1=

,y2=k2x,k1>0,k2>0,x>0,由若在距离车站6km处建仓库,则y2=4y1,得6k2=

,则k1=9k2,设两项费用之和为y元,则y=y1+y2=

+k2x≥2

=6k2,当且仅当

=k2x,即x=3时等号成立,即要使这家公司的两项费用之和最小,所建仓库与车站的距离为3km.故选B.8.(情境模型变式)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100g的

砝码放在天平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100g的砝码

放在天平右盘中,再取出一些中药放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药

品总质量()A.等于200g

B.大于200gC.小于200g

D.以上都有可能

B

解析设天平左臂长为m,右臂长为n,m,n>0且m≠n,左盘放的药品质量为x1克,右盘放的

药品质量为x2克,则

解得x1=

,x2=

,x1+x2=

+

≥2

=200,当且仅当

=

,即m=n时取等号,而m≠n,故等号无法取到,所以x1+x2>200.故选B.角度3基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例7已知随机变量X~N(4,σ2),P(X>6)=m,P(2<X<4)=n,则

+

的最小值为

()A.6+2

B.3+4

C.6+4

D.8+2

C

解析已知随机变量X~N(4,σ2),所以该正态分布曲线的对称轴为直线x=4,则P(2<X<4)=

P(4<X<6),所以P(X>6)+P(2<X<4)=m+n=

,且m>0,n>0,即2m+2n=1,所以

+

=(2m+2n)

=

+

+6≥2

+6=4

+6,当且仅当

=

,即m=

n=

时,取等号.变式训练9.(情境模型变式)(2025届湖北黄冈三模,2)若平面向量a=(x-1,-1)与b=(y,2)平行,则4x+

2y的最小值为

()A.2

B.4